北师大版小学数学五年级下册第八单元《平均数的再认识》拓展资源：“去掉最高分和最低分”的启示

1、“去掉最高分和最低分”的启示近几年来，电视屏幕上不断出现各种竞赛的实况。当一个演员表演完毕后，先由10个（或若干个）评委亮分，裁判长用这10个数据判分时，总要去掉最高分和最低分，再用其余的8个数据的平均值作为该演员的最后得分。现在这已是人们的常识了。这一常识背后的数学，就是数据处理中的代表数问题。算术平均数是最常用的技巧，在我国也是最普及的数学知识之一。任何一个干部和工人，至少都懂得平均数和百分比这两个概念。“我厂工人平均工资是多少，这次有百分之几的人可以加工资”这类话人人都能懂。学生的成绩用总分来衡量，也会用总平均来衡量。比较两班学生的某科成绩，也用各班该科得分数的平均数作为衡量标准。至此，

2、人们将平均值奉为至宝，似乎是金科玉律、无可更改的科学定则。实际上不尽然，用算术平均数来作为代表数，有两个缺点：一是容易受异常值的影响；二是计算比较复杂，不能一眼看出。前面所说的去掉最高分和最低分就是为了避免第一个缺点。让我们看一个极端的例子。如果一个班级有30个学生，其中两个学生逃学旷课，数学考试只得2分和10分。此外，有5个学生得90分，22个得80分，1个得78分。此时，该班数学成绩的平均分是：（2+10+590+2280+78）=230076.67(分)确实，如以76.67分作为该班平均分，太受那两个得2分和10分的同学牵连了。结果不能反映大多数人的真实状况。从直观上看，应在80分或80

3、分以上才对。于是我们就去掉一个最低分，总平均约是229879.2分；如果去掉两个最低分，总平均则是228881.7分。这似乎比较符合实际了。但是这种去掉最高分或最低分的方法，在计算全班总成绩时未免有“弄虚作假”之嫌。明明是本班的学生，为何不计入总分呢？所以去掉最高分和去掉最低分的方法，不见得都合适。上述的以平均数作为代表数，由于异常值的影响往往不能反映中等水平，一般以为的平均数就是中等水平，乃是误解。上述30个学生的数学成绩中，总平均数是76.67分。某同学得78分，超过平均数，似乎该是“中上”水平了，其实他是倒数第三名！那么我们用什么办法来刻画“中等水平”呢？这就是数据的中位数。其定义为：设

4、有n个数据，将它们从小到大依次排列为。如果n是奇数，则第项是中位数；若n是偶数，则取第项和第+1项的平均值作为中位数。中位数的特征是比它大的数据个数和比它小的数据个数一样多，它恰在中间位置。例1 在体操比赛中，规定有四个裁判给一个运动员打分。例如： 9.30，9.35，9.45，9.90。其中位数是当中两项的平均值：（9.35+9.45）=9.40（分）。这相当于去掉最低分9.30分和最高分9.90分而得出的平均分。体操比赛规定这样给分，就避免了过高分数9.90分的影响，同时9.40分处于裁判分的中间数，不偏不倚，十分公正。例2 上面的30个学生的数学成绩中，若依大小排列后，第15位和第16位

5、都是80分，所以中位数就是80分。那么78分低于此数，当然是中下水平无疑了。例3 若一个生产小组有15个人工作，每人每天生产某零件的数目是6，7，7，8，8，8，8，9，10，10，11，12，12，17，18。如此平均数作为标准日产量则是15110.07。若取中位数则是第8个数字9。比9大的有7个人，比9小的也有7个人。以9为标准日产量，则有半数人可超产。管理者若希望多数人超产，则应定得比中位数低；若希望少数人超产，则应定得比中位数大一些。这些数都是中位数提供的信息。众数也是常常使用的代表数，即数据中重复出现次数最多的那个数据。例如，全班30人所穿鞋子尺寸为：33号的5人，34号的6人，35

6、号的15人，36号3人和37号1人。如取平均数得34.63，此数没有多大意义，鞋厂不生产34.63号码的鞋。如取众数，则为35号。该班穿35号鞋的人最多。通常评“最佳”“最受欢迎”“最畅销”等往往都和众数有关系。比如，美国某厂职工的月工资数统计如下：如何来选取该厂的月工资代表数呢？经计算，平均值为1387美元，中位数为900美元，众数为800美元。工厂主为了显示本厂职工的收入高，用少数人的高工资来提高平均数，故采用1387美元。工会领导人则不同意，主张用众数800美元（职工中以拿每月800美元的人最多）。而税务官则希望取中位数，以便知道目前的所得税率会对该厂的多数职工有利还是不利，以便寻求对策。我们常说“