微积分基础知识讲座

1、微积分基础知识讲座一：引入【例】问均匀带电的立方体角上一点的电势是中心的几倍。分析：根据对称性，可知立方体的八个角点电势相等；将原立方体等分为八个等大的小立方体,原立方体的中心正位于八个小立方体角点位置；而根据电势叠加原理，其电势即为八个小立方体角点位置的电势之和，即U1=8U2；那么立方体角点的电势的表达式是什么那?令电荷密度；二立方体的边长a；二：导数tv物理量的变化率我们经常对物理量函数关系的图像处理，比如v-t图像，求其斜率可以得出加速度a，求其面积可以得出位移s，而斜率和面积是几何意义上的微积分。我们知道，过v-t图像中某个点作出切线，其斜率即a= eq f(v,t) .下面我们从代

2、数上考察物理量的变化率：【例】若某质点做直线运动，其位移与时间的函数关系为s=3t+2t2,试求其t时刻的速度的表达式。（所有物理量都用国际制单位，以下同）分析：我们知道，公式v= eq f(s,t) 一般是求t时间内的平均速度，当t取很小很小，才可近似处理成瞬时速度。s(t)=3t+2t2s(t+t)=3(t+t)+2(t+t)2s=s(t+t)-s(t)=3(t+t)+2(t+t)2-3t-2t2=3t+4tt+2t2v= eq f(s,t) = eq f(3t+4tt+2t2,t) =3+4t+2t当t取很小，小到跟3+4t相比忽略不计时，v=3+4t即为t时刻的瞬时速度。【练】假设一个

3、闭合线圈匝数为100匝，其磁通量为=3t+4t3,求感应电动势随时间t的函数关系。【小结】回顾我们求物理量y=f(t)的变化率瞬时值z的步骤：写出t时刻y0=f(t)的函数表达式；写出t+t时刻y1=f(t+t)的函数表达式；求出y=y1-y0=f(t+t)-f(t)；求出z= eq f(y,t) = eq f(f(t+t)- f(t),t) ；注意t取很小，小到与有限值相比可以忽略不计。无穷小当t取很小时，可以用V= eq f(s,t) 求瞬时速度，也可用i= eq f(Q,t) 求瞬时电流,用= eq f(N,t) 求瞬时感应电动势。下面，我们来理解t：t是很小的不为零的正数，它小到什么程

4、度呢？可以说，对于我们任意给定一个不为零的正数，都比t大，即：t。或者从动态的角度来看，给定一段时间t，我们进行如下操作：第一次，我们把时间段平均分为2段，每段时间t= eq f(t,2) ；第二次，我们把时间段平均分为3段，每段时间t= eq f(t,3) ；第三次，我们把时间段平均分为4段，每段时间t= eq f(t,4) ；第N次，我们把时间段平均分为N+1段，每段时间t= eq f(t,N+1) ；一直这样进行下去，我们知道，t越来越小，虽然它不为零，但永远逼近零，我们称它为无穷小，记为t0。或者，用数学形式表示为t=0。其中“”表示极限，意思是t的极限值为0。常规计算：（t+C）=C

5、Ct=0f(t)=f(0)f(t+t)=f(t) eq f(sin(t),t) =1附录常用等价无穷小关系（）；导数前面我们用了极限“”的表示方法，那么物理量y的变化率的瞬时值z可以写成:z= eq f(y,t) ,并简记为z= eq f(dy,d t) ,称为物理量y函数对时间变量t的导数。物理上经常用某物理量的变化率来定义或求解另一物理量，如v= eq f(dx,d t) 、a= eq f(dv,d t) 、i= eq f(dq,d t) 、=N eq f(d,d t) 等，甚至不限于对时间求导，如F= eq f(dWF,d x) 、Ex= eq f(dU,dx) 、= eq f(dm,d

6、l) 等。这个dt（也可以是dx、dv、dm等）其实相当于微元法中的时间微元t，当然每次这样用来求物理量变化率的瞬时值太繁琐了，毕竟微元法只是草创时期的微积分。如果能把常见导数计算的基本规律弄懂，那么我们可以简单快速地求解物理量变化率的瞬时值（导数）了。同学们可以课后推导以下公式：导数的四则运算 eq f(d(uv),d t) = eq f(du,d t) eq f(dv,d t) eq f(d( eq f(u,v) ),d t) = eq f( eq f(du,d t) v - u eq f(dv,d t) eq f(u,v) ,v2) eq f(d(uv),d t) = eq f(du,d

7、 t) v+u eq f(dv,d t) eq f(u,v) 常见函数的导数 eq f(dC,dt) =0(C为常数)； eq f(dcost,dt) =-sint； eq f(dtn,dt) =ntn-1(n为实数)； eq f(det,dt) =et； eq f(dsint,dt) =cost；复合函数的导数在数学上，把u=u(v(t)称为复合函数，即以函数v(t)为u(x)的自变量。 eq f(du(v(t),d t) = eq f(du(v(t),d v(t) eq f(dv(t),d t) 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数称为链式法则。

8、【练】1、某弹簧振子在X轴上做直线运动，其位移x与时间t的关系为x=Asint，即，质点在坐标原点附近往复运动，最大位移为A（A称为振幅），周期为 eq f(2,) （称为角频率），物理上把这种运动叫简谐运动。请完成以下几问：求出t时刻的速度v写出合力F与位移x的关系验证简谐运动中质点的机械能守恒。三：微分和积分简单问题Q0Q1q【例】电容器是一种存储电荷的元件，它的基本工作方式为充电和放电，我们先考察电容器放电时的情况。某电容为C的电容器，其已充电的电量为Q0，若让该电容与另一个阻值为R的的电阻串联起来，该电容器将会放电，其释放的电能转化电阻的焦耳热（内能）。试讨论，放电时流过电阻R的电流随

9、时间t的变化关系如何？分析：根据电荷守恒定律，当通过电阻R的电量为q时，电容器的电量从Q0变成Q1，满足Q0=Q1+q，即q=Q0-Q1；流过电阻R的电流i与通过电阻R的电量q满足关系式：i= eq f(dq,d t) 根据电容电量公式Q=CU,有Q1=CU=CRi，那么q=Q0-CRi；联立上式，有i= eq f(dq,d t) = eq f(d(Q0- CRi),d t) =-CR eq f(di,d t) 进行公式变形，令x=- eq f(t,CR) ,则有i=-CR eq f(di,d t) = eq f(di,dx) 同学们思考一下，i应该是什么函数，才能满足i= eq f(di,d

10、x) ？，或者说什么函数的导数等于函数本身？我们观察到，只有y=Cex形式的函数才满足i= eq f(di,dx) 关系，C为待定常数。故可以知道，i=Cex=Ce-t/CR当t=0时，U0= eq f(Q0,C) ，i0= eq f(U0,R) = eq f(Q0,CR) ；而把t=0代人，得i=Ce-t/CR=C；故C= eq f(Q0,CR) 所以，流过电阻R的电流随时间t的变化关系为：i= eq f(Q0,CR) e-t/CR【练】对于上例电容器放电问题，试讨论，放电时电容器的电量Q随时间t的变化关系如何？微分1、从上面式子可以看出，理论上虽然我们说是要经过无穷长的时间电容才放完电，电

11、流为零，但实际上只需要电流减少足够小时，电流计就检测不到有电流了。2、对于i=-CR eq f(di,d t) 或i= eq f(di,dx) ，我们称之为微分方程，最直观的解决方法是观察有哪些函数满足该微分方程的函数关系，当然，我们要注意比如上题中的t=0之类的初始条件。3、一般来说，微积分可以帮助同学们深刻理解物理概念和公式，但微元法可以帮助同学们更细致地明了物理过程。下面我们用微元法的方式来处理这个问题。在t的时间内，通过电阻R的电量为q。虽然电流随时间发生变化，但在很短的时间t内，可以认为电流几乎不变，当成恒定电流处理，故有q=it。对电容有Q=CU=CRi，Q=i；由电量守恒，Q=q

12、，故iti，然后把“”形式改写成微积分语言的“d”形式，就有idtdi（dt和di称之为微分）,数学变形为i=-CR eq f(di,dt) ，即以上解法中的微分方程。微分与导数有什么关系呢？对某自变量为时间t的函数F(t)，它的极其微小的变化，我们记它为微分dF，它与时间微分dt满足关系式：dF= eq f(dF,dt) dt，其中 eq f(dF,dt) 为F对t的导数。下面是常见的微分公式与微分运算法则：积分在上例问题中，在t的时间内，通过电阻R的电量为q=it，q称为电量微元。如果我们把0到t时间内的q加起来，用求和符号“”表示，则有：q=it。由于t=Nt,当t取无穷小时，那么it就

13、有N个，也就是，我们要把无穷个it进行相加操作，为了方便，我们用微积分符号表示q=it=，称为对i在时间上求积分。我们来看一下这么做有什么意义：从几何上看，对于i-t图像，q=it=就是图像中的面积。对于恒定电流，很简单，q=it，即小块矩形面积；对于变化的电流，用q=it来计算，发现有一小块近似三角形面积的误差，不过当我们取当t取无穷小时，用极限处理后，该误差会无穷逼近零，可以忽略不计，那么计算的面积就无限精确接近实际面积了。前面我们求导用了i= eq f(dq,dt) ，积分用了q=。可以看出，从某种程度上说，积分实际是求导的逆运算，比如：q=Q0-Q=Q0(1-e-t/CR),i= eq

14、 f(Q0,CR) e-t/CR满足求导和积分的运算关系i= eq f(dq,d t) 、q=。对于一般函数F，如果有f= eq f(dF,dt) ，那么就有=F+C。请思考，为什么积分中会出现常数C？下面是常见的积分公式，请同学们对照求导公式理解：f现在我们用微积分书写方式来来解答上题。怎么来求呢？我们知道 eq f(det,d t) =et，令F(t)=et，有t=lnF；则有 eq f(dF,d t) =F，即 eq f(dF,F) =dt=d(lnF)；那么=lnQ+C。=？请同学们自己推导。由Q0=Q+q；Q=Q0-q；则dQ=-dq=-idt=- eq f(U,R) dt=- eq

15、 f(Q,CR) dt；即 eq f(dQ, Q) =- eq f(1,CR) dt；对等号两边积分：=；有lnQ=- eq f(t,CR) C，或者Q=Ce-t/CR；当t=0时，Q(0)=C=Q0；所以电容器电量为Q=Q0e-t/CR。定积分【例】某质点在X轴上做直线运动，其速度v满足函数关系v=3t2,求从t=1s到t=3s时间内质点发生的位移。分析：在dt时间内，质点可以认为做匀速直线运动，即ds=vdt,那么对等号两边积分，有，则有：s=t3+C；现在有问题了：当t=0时，S(0)等于多少我们不知道！而且已知条件中的时间“从t=1s到t=3s”也没有用上！下面我们从物理上考察C这个常

16、数的意义。t=0时，s(0)=C。当我们令C=0时，相当于质点在零时刻从坐标原点开始运动；当我们令C=1时，相当于质点在零时刻从坐标位置X=1m处开始运动；。tv我们发现，C这常数的取值相当于选取观察质点运动的静止参考系位置，然而所求的从t=1s到t=3s时间内质点发生的位移应该与所选取的静止参考系无关，也就是对任意静止参考系，质点发生的位移应该是一致的，如图所示。那么我们就随便选取某一参考系，使质点在零时刻从坐标位置X=Cm处开始运动，则位移与时间的函数关系式为：s(t)=t3+C。题目中所求的1到3秒的位移为：s1=s(3)-s(1)=（33+C）-（13+C）=8m。题目中所要求的位移（速度积分）与积分式=F+C中的C无关，当要求t=t1到t=t2时间内位移时，s(t1t2)=s(t2)-s(t2)。这个相当于我们用s=vt来求v-t图像中的从t=t1到t=t2范围内的面积。我们用一种简