不确定语言判断矩阵的相对熵的群决策方法

1、学号：GSA0803004密级：硕士学位论文不确定语言判断矩阵的相对炳的群决策方法Relative entropy approach to uncertain linguisticjudgement matrice in group decision making姓 名郝江锋学科专业基础数学研究方向运筹与管理指导教师陈华友教授完成时间2010年11月独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得安徽大学或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我

2、一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。学位论文作者签名:签字日期：洞。年月3日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解安微大学有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权安徽大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。（保密的学位论文在解密后适用本授权书）学位论文作者签名;导师签名:签字日期:小卜年n月日签字日期:左国47xo（o年4月/日电话:邮编:学位论文作者毕业去向: 工作单位:通讯地址:摘要判断矩阵是一种

3、常用的决策信息形式。由于决策问题本身的复杂性、决策 环境的模糊性和不确定性，专家就同一决策问题不能给出方案两两比较的精确 的数字信息，而是给出不确定性语言变量的偏好信息。因此，不确定环境下基 于语言信息的群决策方法研究具有重要的理论和应用价值，这方面的研究已成 为热点研究课题之一。本文主要针对不确定性语言判断矩阵的二致性以及和区间型数字判断矩阵 的转换、排序等问题进行了分析和研究，主要工作概括如下：首先在语言判断矩阵的概念基础上，提出不确定性语言判断矩阵的概念， 重点研究了语言判断矩阵和互反判断矩阵、模糊判断矩阵的相互转化关系，探 讨了不确定性语言术语的运算法则，不确定性语言判断矩阵和区间型互

4、反判断 矩阵以及区间型模糊判断矩阵的相互转化关系。其次在信息集结的OWA算子和COWA算子的基础上，利用不确定语言判 断矩阵和区间型模糊判断矩阵的转化公式，将其转化为区间型模糊判断矩阵， 探讨了区间型模糊判断矩阵满足一致性的条件。同时文中利用一致性指标给出 了群决策中专家的赋权的方法。在相对嫡准则下，通过极小化群排序向量和各专家给出的排序向量之间的 差异程度，建立了不确定语言判断矩阵的相对嫡群决策最优化模型，探讨了模 型的求解。并进行了实证分析，分析结果表明该方法具有一定的有效性。最后总结了全文的工作，并对不确定语言判断矩阵的研究前景作了展望。关键词：不确定性，语言判断矩阵；相对嫡；COWA算

5、子AbstractJudgment matrix, which is called preference relation, is a kind of common decision-making information form. Due to the complexity of decision-making problem, fuzziness and uncertainty of decision environment, experts can provide linguistic variable information, not the accurate number infor

6、mation when they have pair-wise comparison to the many alternatives. Thus, in terms of theoretical and practical value,there is a great significance as to the study of group decision-making method which base on linguistic information under uncertain environment; And it has become one of the hot subj

7、ects for researching.This thesis mainly deals with uncertain linguistic preference relation consistence, transformation with interval number judgment matrix and its ranking problems, its summary goes as followsFirstly, the conception of uncertain linguistic judgment matrix is proposed, based on the

8、concept of linguistic judgment matrix. Mutual transformation formulas are given among the linguistic preference relation, reciprocal judgment matrix and fuzzy preference relation. The operational laws are discussed to the uncertain linguistic variables, and mutual transformation formulas are develop

9、ed between uncertain linguistic judgment matrix and numerical judgment matrix.Secondly, based on OWA operator and COWA operator fbr aggregating the information, the interval fuzzy preference relation can be obtained by using the transformation formula between them. The condition of satisfying consis

10、tency of the interval fuzzy preference relation is also investigated. In the meantime, the experts， weighting method is constructed by using consistency index in the group decision-making.Under the criterion of relative entropy, the optimal model is established by the minimizing the difference betwe

11、en group priority vector and the individual priority vector with uncertain linguistic preference relation. The solution of the model is discussed. The numerical example is illustrated to show that this method has certain effectiveness.Finally, the dissertation is summarized, and uncertain linguistic

12、 preference relation research prospects in the future are also given.Keywords: Uncertainty; Linguistic judgment matrix; Relative entropy; COWA operator目录 TOC o 1-5 h z 第一章绪论:.1 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document 1.1若干判断矩阵的决策理论研究现状1 HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 1.2现有语言判断矩阵尚需进一步研究的

13、问题3 HYPERLINK l bookmark33 o Current Document 1.3本文研究的意义及主要内容4 HYPERLINK l bookmark37 o Current Document 第二章预备知识6 HYPERLINK l bookmark40 o Current Document 2.1互反判断矩阵的概念6 HYPERLINK l bookmark52 o Current Document 2.2模糊判断矩阵的概念10 HYPERLINK l bookmark57 o Current Document 2.3互反判断矩阵和模糊判断矩阵的转化10 HYPERLINK

14、 l bookmark60 o Current Document 第三章不确定语言判断矩阵的概念及其性质14 HYPERLINK l bookmark64 o Current Document 3.1语言判断矩阵的若干概念:14 HYPERLINK l bookmark77 o Current Document 3.2语言判断矩阵的几个性质17 HYPERLINK l bookmark80 o Current Document 3.3不确定语言判断矩阵的若干概念及性质19 HYPERLINK l bookmark102 o Current Document 第四章不确定语言判断矩阵的相对炳群决

15、策最优化模型27 HYPERLINK l bookmark106 o Current Document 4.1 OWA 算子 COWA 算子27 HYPERLINK l bookmark115 o Current Document 4.2区间型模糊判断矩阵排序方法和专家权向量的确定方法304.2.1基于COWA算子获得区间型模糊判断矩阵排序方法304.2.2通过一致性指标获得专家的权重31 HYPERLINK l bookmark118 o Current Document 4.3不确定语言判断矩阵的相对炳群决策最优化模型334.3.1相对炳的概念及性质334.3.2基于相对燔的不确定语言判断

16、矩阵的群决策集成方法计算步骤.364.3.3实例分析36 HYPERLINK l bookmark126 o Current Document 第五章总结与展望41参考文献42 HYPERLINK l bookmark182 o Current Document 致谢.46 HYPERLINK l bookmark185 o Current Document 攻读硕士学位期间发表的学术论文47第一章绪论1.1若干判断矩阵的决策理论研究现状决策分析的概念于1966是由Howard首先提出的，但是到了上个世纪七十 年代末，决策理论走向误区，有些人片面地认为决策仅仅依靠建立最优化数学 模型来解决社会

17、、经济和工程问题，从而导致数学模型的变量数量也越来越大, 同时最优化理论和算法发展越来越抽象、复杂。所以一些复杂的数学模型和求 解方法在某种程度上降低了决策的实际应用价值。在这种背景下，一些运筹学 家开始冷静地看待如何正确地评价复杂的数学模型对决策的作用。美国的运筹学家Saaty教授在20世纪70年代初提出了 Analytic Hierarchy Process的分析法囚(简称AHP)。层次分析法提出以后，在经济、管理和军事等 多个领域得到广泛应用，同时越来越多的运筹学的研究学者也开始致力于这方 面的理论与应用的研究。其中最重要的研究是有关决策者或专家给出的判断矩 阵，因判断矩阵的研究是层次分

18、析法研究的理论基础。目前判断矩阵可分为数字型判断矩阵和语言性判断矩阵两大类。数字型判 断矩阵包括互反判断矩阵和模糊判断矩阵囚】。由于人们研究的决策问题的复杂 性、模糊性以及人们思维的局限性，人们还将模糊理论和不确定性理论的研究 引入到判断矩阵中，从而提出了区间型互反判断矩阵、区间型模糊判断矩阵和 不确定型语言性判断矩阵。关于判断矩阵的研究主要涉及到概念、排序方法、 一致性问题、若干类型的判断矩阵的信息的一致性转化方法、灵敏度分析等等 问题【45】。下面分别针对这些问题分别作出综述。若干概念徐泽水在综述论文囹中给出了互反判断矩阵、区间型互反判断矩阵、模糊 判断矩阵、区间型模糊判断矩阵、语言性判断

19、矩阵和不确定型语言性判断矩阵 的概念，同时他还提出了一些新的判断矩阵的概念，例如直觉模糊信息的判断 矩阵、区间型直觉模糊信息的判断矩阵、三角模糊信息的互反判断矩阵、三角 模糊信息的模糊判断矩阵、不完全信息的互反判断矩阵、不完全信息的模糊判 断矩阵以及不完全信息的区间型互反判断矩阵和不完全信息的语言性判断矩阵 等等。排序方法关于判断矩阵的排序方法，从计算的角度看，大致可以分为近似计算和最 优化方法两大类。关于数字型判断矩阵的排序方法，已有大量的文献取得了丰 硕的研究成果。已由单一的特征向量法【璀发展成为最小二乘法、对数最小二乘 法和最小偏差法等多种方法。对于互反判断矩阵，Satty提出了特征向量

20、法，Jensen提出了最小二乘法 和%2法P罚，Cogger等提出了梯度特征向量法叫Crawford等提出了对数最小二 乘法王应明等提出若干最优化模型法6】等。对于模糊判断矩阵，徐泽水等提出了加权最小二乘法、最小偏差法团， Chiclana等提出了多种偏好信息一致化为模糊判断矩阵，给出了群决策的选择 过程。樊治平，姜艳萍在综述文章中概括和评述了模糊判断矩阵的十余种的排 序方法IU,例如线性目标规划法气基于0财集结算子的方案优选方法和多种 最优化模型法等。关于区间型互反判断矩阵的排序问题的研究也取得了很大进展。文献14 采用的梯度特征向量法来确定权重；文献15则是采用特征向量法来确定权重, 文献

21、16给出的方法是将区间型判断矩阵采用中点值的方法将其转化为数值矩 阵，再利用误差传递理论来确定权重；文献17是将区间数判断矩阵的排序转化 为线性规划问题。关于区间型模糊判断矩阵的排序方法，徐泽水使用Yager提出的C0W4 算子功集成方法将其转化为数值型模糊判断矩阵，从而获得了区间型模糊判断 矩阵的排序方法。同时他建立了线性规划模型获得了区间权系数。一致性问题关于判断矩阵的一致性问题的研究主要包含三个方面：判断矩阵的一致性的 定义、一致性的判定和判断矩阵的不一致性调整问题的研究等。互反判断矩阵的一致性概念包含完全一致性、满意一致性等。目前，关于互 反判断矩阵的一致性研究大多集中在完全一致性和满

22、意一致性上，其研究成果 较为丰富U2】。文献20,21给出了模糊判断矩阵的完全一致性和满意一致性的概 念。文献22给出了区间数互反判断矩阵的一致性定义。关于互反判断矩阵一致性的判定，Saaty提出了利用C.R值对互反判断矩阵 进行一致性检验田，这一指标使用起来比较简便，然而以0.1作为临界值存在理 论依据不足的缺陷。之后，有一些学者采用统计检验方法闵寻求一致性指标。 樊治平、肖四汉等在模糊判断矩阵的一致性判定方面的研究取得了重要的进展 20（4）判断矩阵的信息的一致性转化Chiclana等提出了将互反判断矩阵转化为模糊判断矩阵的公式，并证明了 这种转换可以保持一致性。即完全一致性互反判断矩阵所

23、对应的模糊模糊判断 矩阵也是完全一致性。同时他们还提出了将模糊判断矩阵转化为互反判断矩阵 的公式，这种转换也可以保持一致性。徐泽水等【可提出了将互反判断矩阵转化 为模糊判断矩阵的另一个公式。判断矩阵的信息的一致性转化的意义就在于在 群决策中可以将不同形式的偏好信息进行集结处理。（5）灵敏度分析所谓灵敏度分析就是指在决策分析中，当决策者给出的判断矩阵受扰动的时 候，判断矩阵的某一个或某些元素发生变化时，探讨最终方案的排序结果产生 的影响。也就是说，当判断矩阵有一个小扰动后，判断矩阵的排序向量与原判 断矩阵的排序向量之间会发生怎样的变化。因此，灵敏度分析在决策分析中很 重要。文献24对判断矩阵的排

24、序向量进行了灵敏度分析。1.2现有语言判断矩阵尚需进一步研究的问题由于决策问题本身的复杂性，不同的专家和决策者可能依据相同语言短语表 示的语言评估集给出语言判断矩阵的偏好信息。近年来，对语言判断矩阵偏好 信息的研究引起了国内外众多专家的重视。对于语言判断矩阵相容性问题，文 献24把语言判断矩阵转化成相应的导出矩阵，研究了群体判断一致性，但没有 考虑到不同粒度语言判断矩阵的相容性。文献25定义了一种语言判断矩阵的互 反判断导出矩阵，给出了一种语言判断矩阵的群决策方法；文献26给出基于自 然语言符号表示的比较矩阵的一致性及其方案的排序方法；文献27利用语言下 标和距离偏差公式给出了单个语言判断矩阵

25、与群语言判断矩阵的相容性或一致 性关系；文献28、29利用二元语义的T-OWA算子将各决策者给出的偏好信 息集结为群的偏好，研究了多种粒度的语言判断矩阵决策方法，进行方案的选 择。然而，由于问题的复杂性和不确定性，专家可能给出不确定的语言判断 矩阵，目前这方面的研究还处在探索阶段。如何建立不确定的语言判断矩阵和 区间型互反判断矩阵以及区间型模糊判断矩阵之间的转换关系？如何利用已有 的信息集结算子进行群决策环境下的不确定的语言判断矩阵的信息集成方法等 问题，还是一个值得研究的问题。同时注意到，相对炳原本用来体现两个概率分布的差异程度。群决策问题 本质上是一个集结问题，要想获得群决策目标的一致性，

26、就是要试图使群决策 结果与个人偏好信息的不一致的尽可能达到最小化。因此相对炳的概念为群决 策的优化建模提供了一种较好的分析手段。因此本文试图建立不确定语言判断 矩阵的相对嫡群决策最优化模型，从而获得不确定语言判断矩阵的一种新的群 决策方法。 ，1.3本文研究的意义及主要内容本文在现有文献的基础上，提出了新的不确定语言判断矩阵的导出矩阵的 概念，给出了他们和区间型互反判断矩阵以及区间型模糊判断矩阵之间的转换 公式，得到了一致性的相互关系。同时基于相对炳的概念以及COWA算子，建 立了不确定语言判断矩阵的相对嫡群决策最优化模型，从而为不确定语言判断 矩阵的偏好信息下的群组决策方法的应用提供理论依据

27、。本文的主要内容是第一章对判断矩阵的决策理论研究相关问题的现状做了综述,特别指出语言 判断矩阵的研究尚需进一步深化研究的问题，阐述了本文研究的思路和框架。第二章介绍了预备知识。重点给出了数字型判断矩阵，包括互反判断矩阵、 模糊判断矩阵、区间型互反判断矩阵以及区间型模糊判断矩阵的概念、一致性 的概念以及他们的相互转化关系。第三章在语言判断矩阵的概念基础上，提出不确定性语言判断矩阵的概念, 重点研究了语言判断矩阵和互反判断矩阵、模糊判断矩阵的相互转化关系，探 讨了不确定性语言术语的运算法则，不确定性语言判断矩阵和区间型互反判断 矩阵以及区间型模糊判断矩阵的相互转化关系。第四章在信息集结的算子OWA

28、和COWA算子的基础上，利用不确定语言 判断矩阵和区间型模糊判断矩阵的转化公式,将其转化为区间型模糊判断矩阵, 同时给出了群决策中专家赋权的方法。在相对炳准则下，建立了不确定语言判 断矩阵的相对炳群决策最优化模型，探讨了模型的求解，并进行了实证分析， 分析结果表明该方法具有一定的有效性。第五章总结了全文的工作，并对不确定语言判断矩阵的其他相关研究前景 作了展望。第二章预备知识2.1互反判断矩阵的概念层次分析法(analytic hierarchy process,简称AHP)是由美国著名运筹学 家SaatyU】在20世纪70年代末期提出的一种新的系统分析方法。层次分析决策 方法最大的优点是可以

29、处理定性和定量相结合的问题，可以将决策者的判断与 经验引入到模型中，并加以量化处理。层次分析法的出现给决策者解决那些难 以定量描述的决策问题带来了极大的方便，因而它是一种将定性和定量分析相 结合的多目标决策分析方法。它的基本思想是在分析复杂系统所包含的因素及相关关系的基础上，把一 个复杂的系统按支配关系分组，从而分解成各个组成因素，形成含有若干层次 的有序的递阶层次结构。层次分析法通常按照1-9的标度理论，对每一层次的各 要素进行两两比较，获得了对应的判断矩阵。通过计算判断矩阵的最大特征值 以及属于该特征值相应的特征向量。再对特征向量进行归一化处理，获得了权 重向量，依据此权重向量，可得到各层

30、次中若干要素的重要性次序。同时需要 确定层次中若干准则的相对重要性，然后综合人的判断来确定决策中因素相对 重要的总排序。在决策分析中，常常需要决策者给出一些主观偏好信息，例如，决策者针 对方案集可以给出效用值、序关系、数字型判断矩阵等形式的偏好信息。然而， 由于问题的复杂性，决策者直接给出所有方案的排序结果往往具有一定的难度， 甚至无法给出。但是决策者对两个决策方案的优劣关系的比较可能易于实现， 即很容易做出判断的结果的度量。决策者针对方案集给出两两比较的偏好信息 表达形式通常由一个判断矩阵来刻画。对于一个有限的决策方案集，设其为乂 = 知也,与,决策者针对某个准 则，把X中的任意两个方案玉和

31、的优劣关系进行判断，给出确定的数值来比 较偏好信息。从数字型判断矩阵中元素的表示形式来看，可以分为两大类型：一类是互反判断矩阵，另一类是模糊判断矩阵。记以犬,为所有的n阶正互反判断矩阵所构成的集合。记N=1,2,冲。定义2.1.1珂若矩阵4 = (%*满足非负性：气O,Vi,jeN；(2.1.1)互反性：a-Majt,ati = 1,Vz,j e(2.1.2)则称4 = (%)f是n阶互反判断矩阵。通常钧的取值按照1-9的标度进行，具体参见下表。表2.1.1标度取值参考表为定义普义1同等重要因素4和4.同等重要3-略微重要因素4比4略微重要5相当重要因素耳比4相当重要7明显重要因素W比4明显重

32、要9绝对重要因素4比4绝对重要2, 4, 6, 8介于两个相邻重要程度之间定义若Vi、j,EN,有%勾=为成立，则称4 = (%.)*,为完全一致 性正互反判断矩阵。决策者给出的互反判断矩阵可能出现不一致现象，因此需要利用一致性指标进 行检验。定义2.13(, 一致性指标可以定义为(2.13) 其中;I响为互反判断矩阵/=(勾)时，的最大特征值。定义2.1.4口令C IC.R(2.1.4)则称C.R为一致性比率。其中为随机一致性指标，Saaty教授给出随机一致性指标R.I的数值列表见 表 2.1.2。表2.1.2不同阶的平均随机一致性指标阶数12345678RJ000. 580.891.121

33、.241.321.41阶数9101112131415R.I1.451.491.511.541.561.581.59通过计算一致性比率C.R可以获得正互反判断矩阵一致性的程度。即当 CR = O时，正互反判断矩阵A具有完全一致性；当C.R0.1时，A具有非满意一致性，则应予以调整 或舍弃不用。因为求解正互反判断矩阵的最大特征根和和标准化的特征向量比较麻烦， 从实际应用来看，可采用如下两种方法来近似求出最大特征根和和标准化的特 征向量方根法计算可，其中将可进行规范化获得标准化的特征向量珥(2.1.6)吧=声-/-I（3）计算最大特征根&0和积法(2.1.7)(1)按列将正互反判断矩阵A规范化，即(

34、2.1.8)(2)计算码讦产帛，捉1，2,前J=1(2.1.9)(3)将可进行规范化获得标准化的特征向量叫%=-，沱1,2,./1=1(2.1.10)(4)计算最大特征根；(2.1.12)(2.1.13)定义2.1.5囹若决策者给出两两方案比较的偏好信息形式由判断矩阵%=,为+】，1/9Vo,明 =1 oi=l2.2模糊判断矩阵的概念模糊性是人类思维和客观事物普遍存在的属性之一。因此，有关模糊层次 分析法(FAHP)的研究，近年来受到了国内外学者的重视。目前，在有关判断 矩阵的排序方法的研究中，已经有十多种方法被提出。FAHP与传统的AHP有 许多相似之处，也是将复杂的系统简化为有序的递阶层次

35、结构。但是FAHP进行 两两评价方案比较的时候，决策者采用的是0, 1上的标度。设有某个决策问题，其方案集表示为论域S=S” &,，S,记N=1, 2,n),二元对比矩阵R = (%L为方案直集SxS上的一个模糊子集，万表示方案S优于的程度。定义221印】若矩阵& = (%)满足如下两个条件：O=0.5,ViwN(2.2.1)% + rjt = l,rtj 0, Pi,jwN,2j(2.2.2)则称R = (%)为模糊判断矩阵。根据定义2.2.1的式(2.2.2)易知:R + RT =E(2.2.3)其中E表示元素全为1的n阶矩阵，即：E =1 1 - 11 1 - 11 11定义2.2.1表

36、明模糊判断矩阵的元素含义是:若5=0.5,则方案品和同样重要，若g（0.5, 1,则方案S比重要，此时。越大表示方案吊和对比就越 重要。若彼0, 0.5）,则方案品比母次重要，此时乌越小表示方案品和5对比就 越不重要。定义2.2.2皿】若矩阵r = （%）为模糊判断矩阵，若有：rikrjgrji =矶.疝冲,并 N,i Agk（2.2.4）则称& =（。）为乘积型完全一致性模糊判断矩阵。定义2.2.3囚2若矩阵R = （）为模糊判断矩阵，若有： J /nxn气=3 一 诳+ 5, Vz, j, keN,（2.2.5）则称R = （。）为加型完全一致性模糊判断矩阵。 /IXW定义2.2.4【33

37、若决策者给出两两方案比较的偏好信息形式由判断矩阵 夫= （%.）满足： /nxn=品一，矿】，且（226） + rji =1，ji + % = 1,=匕；=上=0.5, i = j（2.2.7） 则称R=（勺L z为区间型模糊判断矩阵。其中-, %+分别为乌的上下界定义2.2.5若Rdr为区间型模糊判断矩阵，如果存在一个权向量W = (wpw2,-,wn),满足:乌0.5(叫-叫 +l)+,Vi,JeN(2.2.8)则称R =(司为加型完全一致性区间型模糊判断矩阵. J /nxn定义2.1.6囹若夫=伤)为区间型模糊判断矩阵，如果存在一个权向量 J /nxn甲=(叫，叫，叫)，满足：乌- j,

38、则异” ”s,或Sj,它表示s,劣于异，或s优于Sj,此性质 称为有序性；算子neg(Si)= Sj、i + j = T；称为语言术语的逆运算；若则有maxs”sJ = Sj, max称为极大化运算；若s“Sj,则有mins“Sj = Sj, min称为极小化运算；在决策信息的集结过程中，可以定义一个语言信息的拓展标度评价集 = Sa|ac0,q，这里q是一个充分大的自然数，目的是防止信息丢失，为此 引入如下概念。定义3.1.1在5 = (sojae(0,g)中， 咨渣,令I(s,)= i,(3.1.1)则称函数IiSR是语言信息评价集对应的下标函数。令sQ i七勿，则方案毛优于易，越大表示不

39、优于X,的程度越大；如果则方案号劣于号，I越小表示毛劣于弓的程度越大。定义3.1.3【35】设=(方)呻为基于粒度为7 + 1的语言判断矩阵，令(3.1.4)crr(4) = 0.5 + 2也？-? x0.4, V/,je 1,2,则称b,为语言判断矩阵P的可加性导出函数，定义3.1.3表明导出函数把方案之间的偏好信息进行了合理的量化，将偏好 信息从语言形式合理的转化成了数值形式。定义3.1.4令% =，（&），Vi,je1,2,（3.1.5）称矩阵Q = （%扁为语言判断矩阵P的可加性导出矩阵。容易推出语言判断矩阵的导出函数有下面的性质：1）（有界性）对V5,.eSr,都有0.1 （aT（s

40、fi）可加性导出函数的反函数是存在的，由定义3.1.3和定义3.L4得它的反函数 为。尸（） = ?1 竺专1些，电聂（3.1.6）定义3.1.5 设P=（丹L为语言判断矩阵，若对于W,j,lwN,其元 素满足下列关系：1（两+1（孔）=】（鸟）+2，（3-1.7）则称语言判断矩阵P是满足可加性完全一致的。若,对于语言判断矩阵P当 p/w sr/2, 2”s2 时，有或当 p*” sm，py” 知2 时，有pjy 机，则称矩阵P具有满意一致性。定义3.1.6设P =（丹为基于粒度为r + 1的语言判断矩阵，令：心 m)T(Py) =9 T ，v械(3.1.8)则称为决策者给出的语言偏好信息为的

41、乘积型导出函数，令% =W，Pij),Vi,j色1,2,(3.1.9)则称矩阵 = (%*,为语言判断矩阵P的乘积型导出矩阵。事实上导出函数的反函数也是存在的，其反函数为，7(logg+l)Wt (%) =【；-(3.1.10)I )定义3.1.7如果Wt(品)Vt(Pts) *丁(D)，Vr,s,住1,2,/,(3.1.11)则称P为乘积型完全一致性语言判断矩阵。3.2语言判断矩阵的几个性质定理3.2.1语言判断矩阵P = (p的可加性导出矩阵为模糊判断矩阵。证明设任意的语言判断矩阵P = n，pK。它对应的导出矩阵为 。=也扁，1,2,/,则有久+%7 = 0.5 + 2共%二 x 0.4

42、 + 0.5 + 2V 三 x 0.4=1+地亚旦司.4T由(3.1.3)式得i(%)+S=r从而得：%+0少=1，特别地，当时，有 =5, 由定义得语言判断矩阵F的导出矩阵。为模糊判断矩阵。证毕。定理3.2.2语言判断矩阵P = (p)g的乘积型导出矩阵U =，为互反 判断矩阵。证明：设语言判断矩阵P =(巧)风，Pj*,它对应的乘积型导出矩阵为u = u，由定义知:uy 二WtS)，2,?，则有UijXUji=WT(PijWT(Pj)2It (Plj)-T 21t2(& (灼)+& (p/,)-27=9 下_x9 = 92因为Wj)+Ig = T,所以It。X jj = 1 o特别地，当i

43、 = J.时，有,=1,所以乘积型导出矩阵=(与扇为互反判断矩阵。 证毕。定理3.2.3设语言判断矩阵为P=(p,则其满足一致性语言判断矩阵 y /wxn的充分必要条件是其导出矩阵。=(%.)“也为一致性的。证明先证必要性：若P是完全一致的，所以有1(曲+1(物)=1何)+2, Pi,j，WN,由式(3.1.8)可得:2如 m)-T / 2方 g-T 2(4(Ph)-Jt (Pg)qjqq T /9 T =9 r2( (pQ-Et(PQ)2阳(为)+772)一丁=9亍 =9 F2X(PT=9=%即 为=% 成立，。因此由定义知语言判断矩阵的导出矩阵。具有完全一致性。充分性：如果语言判断矩阵P的

44、导出矩阵。为一致性互反判断矩阵，由定义2.1.2和式（3.1.8）,对于Pi,j,leN,有即2町（Ph）-T2, （pg-7 2.（四）9 T =9 T -9 T由此可以得到：匕（丹）+2叫（外）+1（为）因此，由定义3.1.5知矩阵P为一致性语言判断矩阵。证毕。3.3不确定语言判断矩阵的若干概念及性质因为所研究的决策问题的复杂性和不确定性以及信息的有限性等因素的限 制，决策者可能以区间语言变量3刊的形式给出决策信息。为此引入相关的运 算法则。定义3.3.1令：s = sa,spxsa xs2)称为睥2的可能度。其中 4 =岗 一。1 4 = Pl a2 .由定义3.3.3可推得如下结论38

45、】0s2)lt 05!)R+满足：侦=刀(此舟)=(Z(5a)J() = a,P(3.3.3)则称以为不确定性语言信息函数。定义3.3.4表明不确定性语言信息函数是把一个不确定性语言变量转化为 一个区间数。对于不确定性语言信息函数的运算，我们可得如下运算规则：定理3.3.1若3 =成,，E%心,=禺,、亨，且,(0, 1),则有：UI(SYv2)=Wi)+V(2)；W(g)2(g；UI) = UI(sY；UI(s 勇勺=UIs UI(s ;成(log(矽 ) = A, logUI(sx) + logUI(s2);证明，(1)由定义3.3.4得，则有：叫()=以MJ,卬(弓)=屈，属:!.所以由

46、定义3.3.2u海 e2)=(%i中异町羽 叫)=成($&% S褊。$淑2，S标2 D=应(%+标2，标】+雄2 ) = &% +2。2，& 1 + 乃月2】=&%,岗+彼钓,闻=&顷富)+危成(可由定义3.3.2和3.3.4得UI(s2) = UI(sai ,钮扁心)=顷瞄2，物D=12，即2】=0，印也2=,由定义3.3.2和定义3.3.4得顷尸)=因(成,叫)=勿(如，财D = a = a,时=0(砂由定义332和定义3.3.4得5寸=顷区尸J禺，母S(爵，洌京，源)=况(%十，以)=%=妒，妒H%气财2 =%,&% %,&* =/()切偶处由定义3.3.2和定义3.3.4得W(log(

47、* 既2匀)=成(log(&,s J 成2此勺)=UI (log(5a?, sa/2, sp/2 )=成(1迎($*2&，$广财2 D)=弱(临心22)标0陶2)= 10g(f% 勺,10gW&)】=& log %, log J3 +% log a2, log 02 = & log $($) + % log UI(s2), 证毕。定义33.5若语言判断矩阵P =满足： /nxn用=p,p;】盒;(2 ) Pii = s2 ST/2 :(3)P；=s”；P技P；=Sr，则称P = (p.)nn为可加性不确定性语言判断矩阵。定义3.3.6设P = n为基于粒度为T + 1的不确定性语言判断矩阵，令

48、 % 四=0.5 + 之写)M 0.4,=0.5+2/-x0A o.5+2)NxO.4,，既*1,2广挪(3.3.4)_ 则称“巴为不确定性语言判断矩阵=(孔)响的可加性导出函数。定义3.3.7令 备=皿%以1,2,/(3.35) 称矩阵。=(%)吨为不确定性语言判断矩阵的，=(孔扁可加性导出矩阵。定理33.2不确定性语言判断矩阵=(瓦)响的可加性导出矩阵Q = （%）口为区间型模糊判断矩阵。证明设任意的语言判断矩阵声=（耳）时,，其中凡=可齿,它对应的导出 矩阵为Q = （%）g，其中=西，由可加性导出函数的定义可知% = y （耳）=0.5 + 2绑）-，x0.4，即有：.5+竺铲；0.4

49、, *0.5+竺户、0.4,由不确定性语言判断矩阵的定义可知所以WE + O.5+竺x0.4I+业地地.4类似的，我们有qj + q； = 0.5 + 2 捋）二三 X 0.4+ 0.5 + 殳学。x0.4=3（处心m 5普*.4 =显然Kw挡Q&所以。=（%）为区间型模糊判断矩阵。 定义33.8设=（耳底为基于粒度为T + 1的不确定性语言判断矩阵，令2UItT阿 7（R）= 9T21 面）-21t（P）-T9, 9 厂（3.3.6）（3.3.7）则称岬7为乘积型不确定性语言判断矩阵声=（孔）睥的导出函数。徐=研（万V）, V/J61,2,-,，则称矩阵行=（耳）响为乘积型不确定性语言判断矩

50、阵户=啊）响的导出矩阵。定理3.3.3不确定性语言判断矩阵方=”的乘积型导出矩阵U =（号）响为区间型互反判断矩阵。证明设任意的语言判断矩阵p=（m，其中用 部航】，它对应的乘积 型导出矩阵为。=（礼）“其中海二阮，妇由乘积型导出函数的定义可知2（用）-叩r （丹）=9 t2心（应）-7,97即有:2& （而）-丁K=9 T2 如）-T9?_,由不确定性语言判断矩阵的定义可知耳p；=s” pp=sTf所以2gT 2It（p；）-T2（方（p&）+-（p；）-2T9 亍. 9 1 = 9_2（用。以）7）2（临）-7）97=9 T 1类似的，我们有2&（P；T 2冲 T 2（/心；）+如3）-2

51、7 iQ = 9 T -9 T =9 T（用 P；）T）2（1）-7）=9 亍=9 厂=1显然“5=1,所以为区间型互反判断矩阵。证毕。定义3.3.9 不确定性语言判断矩阵D =（m的乘积型导出矩阵为 行=（弓）吨，其中若因=（叫,叫，一，叫）为导出矩阵右= （%*”对应的权重向 量，满足yj 1 - - -_ %；-二ujNi,jeN,Wi则称不确定性语言判断矩阵声=满足一致性。定理3.3.4若不确定性语言判断矩阵,=（万扁满足一致性，则乘积型导出 矩阵为。=（礼扁有下式成立：m窘 &巧）nun （妃与+）Ni,jN证明：因为不确定性语言判断矩阵, =满足一致性，所以由定义3.3.9知：其导

52、出矩阵1=（ 对应的权重向量w=32，m）满足uik iijNi, kwN,叫类似的有uJ u,Vk,j e N现把上面两式相乘得：-0 ，/=1 i=l,2,.,n,例如，设坦=0.3 , %=。4，吗=。2，4=0.1，则由定义4.1.1得4(2,5,1,6) = 6x03 + 5x0.4 + 2x0.2 + 1x0.1 = 43 .定义4.1.1表明0WA算子是对h个数据%,%,%的值按从大到小的顺序排序后进行有序加权平均的，权向量系数吗与数据4无关，而是与的值按从大小顺序排序的第i个位置有关.OWA算子具有如下性质：性质4.1.1 （单调性）设（%,%）和（4，以“0）是任意两个数据向

53、量, 且有,；, Vie（1,2,则fw （】，,，”）2 fw （%，2，%（4.1.2）性质4.1.2 （置换不变性）设是（，%”）的任一置换，则=70，,，）,（4.1.3）性质4.13 （幕等性） 设（巧,/,）是任一数据向量，若对任意 iwl,2,./, q=a,则有，（用，/,，咀二。.（4.1.4）性质4.1.4 设甲, = （1,0,（）,则4.（q,q,.,%） = mq.（4.1.5）性质4.1.5 设吼=（）,0,1）,则原（用,。2，.,%）=啪 0（4.1.6）性质 4.1.6 设 WAVE1,则n n n）扁*2,-2X （4L7） Z=1性质4L7 （介值性）设（

54、,；%）是任一数据向量，贝IJ（巧,。2，%） fw（巧，。2，”）2 fw.（角，角，%）.（4.1.8）权系数归=（叫，的，叫可由模糊语义量化算子。4。】来确定的，即： .一。-1、(4.1.9)其中函数Q：0,1t0,1满足00) = 0, 01) = 1，当xy时Q(x)Q(y)fQ(x)称为基本的单位区间单调(BUM)函数。例如，一种形式的基本的单位区间单调(BUM)函数0)可由下面的分段函数 给出:fo0 x) =x-ab-a1axb(4.1.10)0 xa式中参数a,B,xe0, 1,对应于模糊语义量化准则的“大多数”、“至少半数”、“尽可能多的算子。的参数对S，B)分别为(0.

55、3,0.8), (0, 0.5), (0.5, 1)。定义4.L2四设0,可为区间数，0a)必(4.1.12)为 Q(x)的态度参数(attitudinal character)o对于基本单位区间单调(BUM)函数0 x),在引入Q(x)的态度参数后， Yager1191证明了 FQ(a,bJ)另一表达式可以表示成如下定理。定理4.1.1如果人二。3)力，则有与(以)=(1-九)白 + 而(4.1.13)其中人为Q(x)的态度参数。特别的，当a = b的时候，区间口,可退化为一个实数。此时FQ(a,a) = ao特别地，如果基本单位区间单调(BUM)函数Q(y) = y (心+)。此 时= t

56、yn(y =将其代入得：土72 + 1FQ(a,b) = (1-X)a + 人方=就参数r的取值范围分为四种讨论：当f 0时，(口,可) = 8,此时连续区间数据用进行集结的结果取 到最大值；当=?时，与(。,可)=竺|/;当” =1 时，(么可)=%;当T+oo时，FQ(a,b) = a,此时连续区间数据o,b进行集结的结果 取到最小值。4.2区间型模糊判断矩阵排序方法和专家权向量的确定方法4.2.1基于COWk算子获得区间型模糊判断矩阵排序方法设X =(私可，”)是有限方案集，E = (e2,e”)是专家有限集。徐泽水囹提出了模糊判断矩阵的概念来描述专家在方案比较时的偏好关系， 然而由于在

57、方案比较时存在一些模糊因素，使得决策者不能用精确的数值表达 这种偏好关系，为此徐泽水引进了区间型模糊判断矩阵的概念。定义4.2.1网设肿=(兽扇表示第k个专家给出的区间型模糊判断矩阵，令 TOC o 1-5 h z Fq （号“）=（1 - 2片 +, ij421则称与侬）=（%（胃）”“，为区间型模糊判断矩阵必）的对应的期望值模糊判断 矩阵。定义421给出了区间型模糊判断矩阵转化为数字型模糊判断矩阵的一种 方法，即利用COWA算子来集成区间型模糊判断矩阵，从而获得其期望值。 由其定义知，因为#c0, 1, e0, 1,且态度参数A s0, 1,所以驰勺20, g（#） = （l-；l片+日0

58、, 1且时）+ %（）= 】，显然，%（酣）=（1 一 A）rf + 人职=（1 一人）x 0.5 + 人 x 0.5 = 0.5从而（砂）=（以营成”是模糊判断矩阵。Xu利用COWA算子获得区间型模糊判断矩阵排序方法，且证明了如下结 论：定理4.2.1网知肿） = （%（糖）吨为区间型模糊判断矩阵肿的对应的期望 值模糊判断矩阵，则有 力与（职）=（4.2.2）1=1 ;=1乙根据上述结论，可得区间型模糊判断矩阵黄的排序方法：时）2 ”靖= =彳扁（枝）/ = 1,2,.弘,i =（4.2.3）孚研） gM J=I其中甘）,埠）,.,“?）表示第k个专家给出的区间型模糊判断矩阵砂）=（粉对应的

59、排序向量。4.2.2通过一致性指标获得专家的权重Herrera-Viedma等32】提出基于可加性模糊判断矩阵的一致性指标，由此来构 建一致性模糊判断矩阵，他们获得了如下定理：定理4.2.2模糊判断矩阵R =是一致的充要条件是3%+。光+上=5, Pijk（4.2.4）且上式等价于下式/ _ j +1 J.（，+】）+ %+1）（，+2） + + D-DJ +七=-Y，Wj,（425）基于上述定理，Chiclana等45】给出了如何从非一致性模糊判断矩阵来构建一致性 模糊判断矩阵的方法。假设给定非一致性模糊判断矩阵T个元素山，必,为一欣，令：rtj, i.j i +1（4.2.6）E，ji则根

60、据定理知4（ 为一致性模糊判断矩阵。设职肿）=（席（芽成“是区间型模糊判断矩阵超的对应的期望值模糊判断 矩阵，可以利用上式建立与%（萨）对应的一致性模糊判断矩阵，记为 伊） = （树）扁,其中与（职）if /J/ + 1如状）=（%（湍）+勺喝炉2）+ + 习（出订 / + 1（427）J-如旁）if为此引进区间型模糊判断矩阵的一致性指标来反映群决策中每个专家的提供信 息的可靠性。定义4.2.2 令(4.2.8)况=1-也(破世-用铲)2 ,Sl,2,.gy f=i则称a为区间型模糊判断矩阵秒）的一致性指标。显然a越接近于1,则第k个专家提供信息的可靠性和一致性更高。既然带）反映了第k个专家的