一元二次方程地解法与韦达定理

1、WORD格式1/21印象剑桥培训讲义专用-九年级数学一元二次方程的解法及韦达定理编号：撰写人：一、一元二次方程的解法：例题1：2-5x+6=0用配方法、因式分解、公式法解方程：x【总结】以上的三种方法之中，最简单的方法是哪一种？一元二次方程专题-1-印象剑桥培训讲义专用-九年级数学【一元二次方程的解法总结】1、直接法：对于形如x2=a的方程，我们可以用直接法。方程的解为x=a推论：对于形如(x+a)2=b的方程也是用直接开方的方法。注意点：二次项的系数为1，且a0如果a为根式，注意化简。2例1：解方程：5x=12=423例2：解方程：x2+12x+9=12例3：解方程：4x2、配方法：对于形如

2、：ax2+bx+c=0（其中a0）的方程，我们可以采用配方法的方法来解。步骤：把二次项的系数化为1.两边同时除以a，可以得到：X2+bax+ca=0配方：（x+b2a2+c-）b()2a2=0移项：（x+b2a）b2=()22a-c用直接法求出方程的解。X=-b2ab()2a2c一元二次方程专题-2-印象剑桥培训讲义专用-九年级数学注意点：解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。例：2+x=1解方程：x3、公式法：对于形如：ax2+bx+c=0（其中a0）的方程，我们也可以采用公式法的方法来解。根据配方法，我们可以得到方程的解为：X=-b2ab()2a2c进一步变形，就可以知道：形如：a

3、x2+bx+c=0（其中a0）的方程的解为：x1=24bbac2a，x2=24bbac2a注意点：解除方程的解后，要检查根号内是否要进一步化简。解题步骤要规X。例:2+5x+2=0解方程：x一元二次方程专题-3-印象剑桥培训讲义专用-九年级数学除了以上几种教材里的方法，一元二次方程还有其他的解法。4、换元法对于一个方程，如果在结构上有某种特殊的相似性，可以考虑用换元法；或者，当这个题目有比较复杂的根式，换元法也是可以考虑的解法。例1：2+5x+2）2+(x2+5x+2)-2=0解方程：（x例2：解方程：33x453x15、有理化方法：对于一个方程，如果含有两个根式，并且这两个根式内的整式的和或

4、者差是特定的数值，那就可以考虑用有理化的方法。例：解方程：27102764xxxx一元二次方程专题-4-印象剑桥培训讲义专用-九年级数学6、主元法：对于一个方程，如果有两个未知数，那么，我们可以确定其中的一个为“主元“，将另一个未知数设定为常数，用公式法可以解出结果。2y2xy例：解方程x4250除了这种方法，遇到这种题目，你还有别的解法吗？二、判别式的运用：2+bx+c=0（其中a0）的解为：我们知道：方程axx1=24bbac2a，x2=24bbac2a2-4ac称之为判别式其中，我们把：=b(1)当0的时候，方程有两个不同的实数根。(2)当=0的时候，方程有两个相同的实数根。(3)当0,

5、b0,且a+2b+ab=30,求a、b为何值时，ab取得最大值。三、韦达定理2+bx+c=0（其中a0）的解为：对于方程axx1=24bbac2a，x2=24bbac2a那么就有：x1+x2=ba,x1x2=ca.除了这两个式子之外，还有几个，我们也必须要熟悉的：（1）|x1-x2|=a1（2）1x1+2x=ab1(3)1x12x=ac注：以上的几个公式，教材没有提及，所以，运用的时候要加以证明，在做选择题或者填空题时可以直接运用。下面给出公式（1）的推理：|x1-x2|=2bcb4ac222（=xx)(xx)4xx()4()1212122aaaa韦达定理的应用：1、运用韦达定理求方程的解或者

6、系数的X围。一元二次方程专题-7-印象剑桥培训讲义专用-九年级数学例题1：如果关于x的方程：220-2axxa的一个根是1，求方程的另一个根及的值。2-1)x2-(a+1)x+1=0的两个根互为倒数，求a的值。例题2：已知关于x的方程(a2、构造方程进行计算：2+2a-1=0,3b2+2b-1=0。求|a-b|的值例题1：已知3a一元二次方程专题-8-印象剑桥培训讲义专用-九年级数学例题2：已知a,b,c都是整数，且有a+b+c=0,abc=16,求a、b、c三个数中的最大数的最小值。例题3：已知在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且SAOB=4,SCOD=9,求四边形ABCD面积

7、的最小值。一元二次方程专题-9-印象剑桥培训讲义专用-九年级数学一元二次方程习题1、等腰ABC两边的长分别是一元二次方程x2-9x+18=0的两个解，求这个三角形的周长。【举一反三】例题1：RtABC两边的长分别是一元二次方程x2-5x+6=0的两个解，求这个三角形的面积。例题2：矩形的两边的差为2，对角线的长为4，求矩形的面积。一元二次方程专题-10-印象剑桥培训讲义专用-九年级数学2、解方程：（1）x2-2=-2x；（2）x（x-3）+x-3=0；（3）4x2+12x+9=813、先化简，再求值：（a-1）（2a1-1），其中a为方程x2+3x+2=0的一个根2+3x+2=0的一个根【举一

8、反三】例题1：设a,b分别是方程x2+3x+1=0的两个根，求：(1)a2+b2+ab的值；（2）求a3+b3的值一元二次方程专题-11-印象剑桥培训讲义专用-九年级数学例题2：已知：5a2+12a-1=0,b2-12b-5=0,且：ab1，求：2ab5ab5b2b的值。4、关于x的方程（a-5）x2-4x-1=0有实数根，求a的取值X围。【举一反三】例题1：已知关于x的方程x2-2（k-3）x+k2-4k-1=0（1）若这个方程有实数根，求k的取值X围；（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；（3）若以方程x2-2（k-3）x+k2-4k-1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数ym

9、x的图象上，求满足条件的m的最小值一元二次方程专题-12-印象剑桥培训讲义专用-九年级数学例题2：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？例题3：已知a0,b0，且:a+2b+ab=30,求ab的最大值。5、若n（n0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，求m+n的值。6、关于x的方程a（x+m）1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a0），2+b=0的解是x解方程方程a（x+m+2）2+b=0。一元二次方程专题-13-印象剑桥培训讲义专用-九年级数学7、设方程（x-a）（x-b）-x=0的两根是c、d，解方程（x-c）（x-d）+x=0。8、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人欢乐流感，每轮传染中平均一个人传染了几