初升高数学衔接班第4讲——一元二次方程的根与系数的关系

1、PAGE 初升高数学衔接班第4讲一元二次方程的根与系数的关系一、学习目标：1、掌握一元二次方程的根的判别式，并能运用根的判别式判断方程解的个数。2、掌握一元二次方程的根与系数的关系，即韦达定理，并能运用韦达定理处理一些简单问题。二、学习重点：一元二次方程的根与系数的关系三、课程精讲：1、旧知回顾：一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的两个根为：x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a2、新知探秘：对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)，有没有实数根的关键因素是什么？知识点一：一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)，用配方法将其变形为：

2、(x+b2a)2=b2-4ac4a2（1）当b2-4ac0时，右端是正数因此，方程有两个不相等的实数根：x1,2=-bb2-4ac2a（2）当b2-4ac=0时，右端是零因此，方程有两个相等的实数根：x1,2=-b2a（3）当b2-4ac0， 原方程有两个不相等的实数根（2）原方程可化为：4y2-12y+9=0 =(-12)2-449=0， 原方程有两个相等的实数根（3）原方程可化为：5x2-6x+15=0 =(-6)2-4515=-2640k13；（2）4-12k=0k=13；仿练：（3）方程有实数根；（4）方程无实数根解：（3）4-12k0k13；（4）4-12k13点津：求待定字母的取值

3、范围，有时应考虑“一元二次方程”这个隐含条件，即方程中的二次项不能为0。若本题的一元二次方程改为：kx2-2x+3=0，k的取值范围将分别是什么呢？知识点二：一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的两个根为：x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a所以：x1+x2=-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=-ba，x1x2=-b+b2-4ac2a-b-b2-4ac2a=(-b)2-(b2-4ac)2(2a)2=4ac4a2=ca定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的两个根为x1,x2，那么：x1+x2=-ba,x1x2=c

4、a说明：一元二次方程的根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”。上述定理成立的前提是0。【例3】若x1,x2是方程x2+2x-2007=0的两个根，试求下列各式的值：（1）x12+x22；（2）1x1+1x2；（3）(x1-5)(x2-5)；（4）|x1-x2|思路导航：本例若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算本例可利用韦达定理来解答解：由题意，根据根与系数的关系得：x1+x2=-2,x1x2=-2007（1）x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-2)2-2(-2007)=4018（2）1x1+1x2=x1+x2x1x

5、2=-2-2007=22007（3）(x1-5)(x2-5)=x1x2-5(x1+x2)+25=-2007-5(-2)+25=-1972（4）|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2=(-2)2-4(-2007)=22008点津：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2，1x1+1x2=x1+x2x1x2，(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2，|x1-x2|=(x1+x2)2-4x1x2，x1x22+x12x2=x1x2(x1+x2)，x13+x23=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)等等韦达定理体现了整体思想【例4】已

6、知关于x的方程x2-(k+1)x+14k2+1=0，根据下列条件，分别求出k的值（1）方程两实根的积为5；（2）方程的两实根x1,x2满足|x1|=x2思路导航：（1）由方程两实根的积为5，用韦达定理即可求解；（2）有两种可能，一是x1=x20，二是-x1=x2，所以要分类讨论解：（1）方程两实根的积为5 &=-(k+1)2-4(14k2+1)0&x1x2=14k2+1=5k32,k=4k32,且k=4所以，当k=4时，方程两实根的积为5（2）由|x1|=x2得知：当x10时，x1=x2，所以方程有两相等实数根，故=0k=32；当x10k32，故k=-1不合题意，舍去综上可得，k=32时，方程

7、的两实根x1,x2满足|x1|=x2点津：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足0【直击高中】一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系在高中数学中应用非常广泛，它在二次函数、不等式、解析几何等方面都有非常广泛的应用，下面让我们一起来感受一下它的作用。【例5】已知实数x、y满足x2+y2-xy+2x-y+1=0，试求x、y的值思路导航：已知条件中由于只给出了关于x，y的一个关系式，所以并不能用普通的解方程组的方法求x，y，应考虑关系式的特殊性。解：可以把所给方程看作关于x的方程，整理得：x2-(y-2)x+y2-y+1=0由于x是实数，

8、所以上述方程有实数根，因此：=-(y-2)2-4(y2-y+1)=-3y20y=0，代入原方程得：x2+2x+1=0 x=-1综上知：x=-1,y=0点津：转化的思想是高中数学的一个基本思想，可以把复杂问题简单化，也可以把不常见的问题转化成常见的问题，解题时要注意转化思想的运用。【例6】（1）判断直线y=2x+1与抛物线y=x2-3x+1 的交点的个数；（2）若直线y=2x+b与抛物线y=x2有两个不同的交点，求b的取值范围思路导航：求直线与抛物线交点的个数，第（1）小题可以转化为方程组&y=2x+1&y=x2-3x+1的解的个数；第（2）小题可以转化成方程组&y=2x+b&y=x2有两个不同

9、的解时，求b的取值范围。解：（1）依题意，联立方程组&y=2x+1&y=x2-3x+1，消元得，x2-5x=0，此时=(-5)2-410=250，故方程组有两个不同的解，即有两个不同的交点。（2）由&y=2x+b&y=x2得x2=2x+b，即x2-2x-b=0依题意知，=(-2)2-41(-b)0，b-1点津：判断两曲线交点个数的常用方法有直接求解法、判别式法及图像法。其中判别式法是把图像交点个数的判断转化为判断方程组的解的个数，体现出解析几何的思想用代数的方法研究几何问题。【例7】已知x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根（1）是否存在实数k，使(2x1-x2)(x

10、1-2x2)=-32成立？若存在，求出k的值；若不存在，请您说明理由（2）求使x1x2+x2x1-2的值为整数的实数k的整数值思路导航：对于存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在解：（1）假设存在实数k，使(2x1-x2)(x1-2x2)=-32成立 一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0有两个实数根 &4k0&=(-4k)2-44k(k+1)=-16k0k0，又x1,x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根 &x1+x2=1&x1x2=k+14k (2x1-x2)(x1-2x2)=2(x12+x22)-5x1x2=2(x1+x

11、2)2-9x1x2=-k+94k=-32k=95，但k0不存在实数k，使(2x1-x2)(x1-2x2)=-32成立（2） x1x2+x2x1-2=x12+x22x1x2-2=(x1+x2)2x1x2-4=4kk+1-4=-4k+1 要使其值是整数，只需k+1能被4整除，故k+1=1,2,4，注意到k2B. k2,且k1C. k2,且k12. 若x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两个根，则1x1+1x2的值为（ ）A. 2B. -2C. 12D. 923. 已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程x2+(2m-1)x+m2+3=0的根，则m等于（

12、）A. -3B. 5C. 5或-3D. -5或34. 若t是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的根，则判别式=b2-4ac和完全平方式M=(2at+b)2的关系是（ ）A. =MB. MC. MD. 大小关系不能确定5. 若实数ab，且a,b满足a2-8a+5=0,b2-8b+5=0，则代数式b-1a-1+a-1b-1的值为（ ）A. -20B. 2C. 2或-20D. 2或20（二）填空题6. 如果方程(b-c)x2+(c-a)x+(a-b)=0的两根相等，则a,b,c之间的关系是 _。7. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2x2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜

13、边长是 _。8. 若方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根之差为1，则k的值是 _。9. 设x1,x2是方程x2+px+q=0的两实根，x1+1,x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两实根，则p = _ ，q = _。10. 已知实数a,b,c满足a=6-b,c2=ab-9，则a = _ ，b = _ ，c = _。（三）解答题11. 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根（1）x23x30； （2）x2ax10； （3）x2ax（a1）0； （4）x22xa012. 关于x的方程x24xm0的两根为x1，x2，满足| x1x2|2，求实数

14、m的值13. 已知关于x的方程x22（m2）xm240有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值【试题答案】1. B 2. A 3. A 4. A 5. A6. a+c=2b,且bc7. 3 8. 9或-3 9. 1,-310. 3，3，011. 解：（1）3241330，原方程没有实数根（2）该方程的根的判别式a241（1）a240，所以原方程一定有两个不等的实数根：x1=a+a2+42，x2=a-a2+42（3）由于该方程的根的判别式为a241（a1）a24a4（a2）2，所以，当a2时，0，所以原方程有两个相等的实数根x1x21；当a2时，0，所以原方程有两个不相等的实数根x11，x2a1（4）由于该方程的根的判别式为2241a44a4（1a），所以当0，即4（1a） 0，即a1时，原方程有两个不相等的实数根x1=1+1-a， x2=1-1-a；当0，即a1时，原方程有两个相等的实数根x1x21；当0，即a1时，原方程没有