阶段质量检测(四)　数列、不等式

1、阶段质量检测(四)数列、不等式(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分在每题给出的四个选项中，只有一项为哪项符合题目要求的)如果一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；数列eq f(2,3)，eq f(3,4)，eq f(4,5)，eq f(5,6)，通项公式是aneq f(n,n1)；数列的图象是一群孤立的点；数列1，1,1，1，与数列1,1，1,1，是同一数列A1B2C3 D4【解析】中aneq f(n1,n2).中显然是两个不同的数列故、正确，应选B.【答案】B2an是等差数列，a415，S555，那么过点P(

2、3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为()A4 B.eq f(1,4)C4 Deq f(1,4)【解析】an是等差数列，S55a355，a311.a4a315114，kPQeq f(a4a3,43)eq f(4,1)4.【答案】A3(柳州模拟)等比数列an中，a1a310，a4a6eq f(5,4)，那么公比q()A.eq f(1,4) B.eq f(1,2)C2 D8【解析】依题意，a4a1q3，a6a3q3，a4a6(a1a3)q3，eq f(5,4)10q3，q3eq f(1,8)，qeq f(1,2).【答案】B4设数列an是首项为m，公比为q(q1)的等比数列，Sn是它的前n项和，对

3、任意的nN*，点eq blc(rc)(avs4alco1(an，f(S2n,Sn)()A在直线mxqyq0上B在直线qxmym0上C在直线qxmyq0上D不一定在一条直线上【解析】eq blcrc (avs4alco1(anmqn1x,f(S2n,Sn)f(f(m(1q2n),1q),f(m(1qn),1q)1qny )由得qny1，代入得xeq f(m,q)(y1)，即qxmym0.【答案】B5数列an中，假设an1eq f(an,2an1)，a11，那么a6等于()A13 B.eq f(1,13)C11 D.eq f(1,11)【解析】eq f(1,an1)eq f(2an1,an)eq

4、f(1,an)2，eq f(1,an)是以1为首项，以2为公差的等差数列eq f(1,an)1(n1)22n1，eq f(1,a6)12111，a6eq f(1,11).【答案】D6如果数列an的前n项和Sneq f(1,2n)(3n2n)，那么这个数列()A是等差数列但不是等比数列B是等比数列但不是等差数列C既是等差数列又是等比数列D既不是等差数列又不是等比数列【解析】依题意，Sneq f(1,2n)(3n2n)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)n1，a1S1eq f(1,2).当n2时，anSnSn1eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)neq blc(

5、rc)(avs4alco1(f(3,2)n1eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)n1.n1时适合，aneq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)n1.故an是等比数列而不是等差数列【答案】B7定义：在数列an中，an0且an1，假设aan1n为定值，那么称数列an为“等幂数列数列an为“等幂数列，且a12，a24，Sn为数列an的前n项和，那么S2 009()A6 026 B6 024C2 D4【解析】aa212416aa324a3，得a32，同理得a44，a52，这是一个周期数列S2 009eq f(2 0091,2)(24)

6、26 026.【答案】A8实数x，y满足不等式组eq blcrc (avs4alco1(y0,xy0,2xy20)，那么meq f(y1,x1)的取值范围是()A.eq blcrc(avs4alco1(1，f(1,3) B.eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，f(1,3)C.eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，) D.eq blcrc)(avs4alco1(f(1,2)，1)【解析】作出可行域如图，由m=，可得m的范围是阴影区域内的点与(-1,1)点连线的斜率的范围，kAB= ，过A点与直线y=x平行的直线斜率为1，m.【答案】D9(哈师大附中模拟)an是递增

7、数列，对任意的nN*，都有ann2n恒成立，那么的取值范围是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(7,2)，) B(0，)C(2，) D(3，)【解析】结合二次函数f(x)x2x，可知开口向上，对称轴是eq f(,2)，要使f(x)在1，)递增，只需eq f(,2)1，但由于ann2n中nN*，故只需eq f(,2)3.【答案】D10(上海春招)函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(3x1x0,log2xx3，那么x0的取值范围是()Ax08 Bx08Cx00 Dx00或0 x03，即x011，x00；假设x03，即x0238，x08(舍去)【答案】C11某公司租

8、地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A5 km处 B4 km处C3 km处 D2 km处【解析】由题意可设y1eq f(k1,x)，y2k2x，k1xy1，k2eq f(y2,x)，把x10，y12与x10，y28分别代入上式得k120，k20.8，y1eq f(20,x)，y20.8x(x为仓库与车站距离)，费用之和yy1y20.8xeq f(20,x)2eq r(0.8xf(20,x)8，当且仅当0

9、.8xeq f(20,x)，即x5时等号成立，应选A.【答案】A12假设钝角三角形ABC三内角A，B，C的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比为m，那么m的取值范围是()Am2 B0m2C1m2 Dm2【解析】设三角形的三边从小到大依次为a，b，c，三内角度数成等差数列，B60，于是b2a2c2ac.又三角形ABC是钝角三角形，假设C为钝角，那么b2a2c20，2a2ac2，即m2.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分请把正确答案填在题中横线上)13关于x的不等式x2(a1)xab0的解集是x|x4，那么实数a、b的值分别为_【解析】由不等式的解集为x|x4可得，1,4

10、是方程x2(a1)xab0的两根，eq blcrc (avs4alco1(14(a1),14ab)，解得a4，b1.【答案】4,114x、y满足eq blcrc (avs4alco1(yx,xy1，,y1)那么z2xy的最大值为_【解析】不等式组所表示的可行域如下列图，当平行直线系z=2x+y经过点A(2，-1)时，目标函数z=2x+y取得最大值，z最大值=22+(-1)=3.【答案】315(汤阴模拟)正数a、b满足abab3，那么ab的取值范围为_，ab的取值范围是_【解析】由abab32eq r(ab)3，即ab2eq r(ab)30，(eq r(ab)3)(eq r(ab)1)0，eq

11、r(ab)30，ab9.由ab3abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2，(ab)24(ab)120，(ab2)(ab6)0，ab2(舍去)，ab6.【答案】9，)6，)16.某人按如下列图的规那么练习数数，记在数数过程中对应中指的数依次排列所构成的数列为an，那么数到2 010时对应的指头是_，数列an的通项公式an_.(填出指头的名称，各指头的名称依次为大拇指、食指、中指、无名指、小指)【解析】注意到数1,9,17,25，分别都对应着大拇指，且18(2521)2 009.因此数到2 010时对应的指头是食指对应中指的数依次是：3,7,11,15，因此数列an的通项公式

12、是an3(n1)44n1.【答案】食指4n1三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)函数yx2pxq，当y0时，有eq f(1,2)x0.【解析】当y0时，有eq f(1,2)x0可变为eq f(1,6)x2eq f(1,6)x10，即x2x60，2x0的解集为x|2x57时n的取值范围【解析】(1)n，an，Sn成等差数列，Sn2ann，Sn12an1(n1)(n2)，anSnSn12an2an11(n2)，an2an11(n2)两边加1得an12(an11)(n2)，eq f(an1,an11)2(n2)又由Sn2ann得a11.数

13、列an1是首项为2，公比为2的等比数列an122n1，即数列an的通项公式为an2n1.(2)由(1)知，Sn2ann2n12n，Sn1Sn2n22(n1)(2n12n)2n110.Sn1Sn，Sn为递增数列由题设，Sn57，即2n1n59.又当n5时，26559，n5.当Sn57时，n的取值范围为n6(nN*)19(12分)设f(x)eq f(50 x,x21).(1)求f(x)在0，)上的最大值；(2)求f(x)在2，)上的最大值【解析】(1)当x0时，有xeq f(1,x)2，f(x)eq f(50 x,x21)eq f(50,xf(1,x)25.当且仅当xeq f(1,x)，即x1时等

14、号成立，而当x0时，f(0)0，所以f(x)在0，)上的最大值是25.(2)函数yxeq f(1,x)在2，)上是增函数且恒为正，f(x)eq f(50,xf(1,x)在2，)上是减函数，且f(2)20，所以f(x)在2，)上的最大值为20.20(12分)(天门模拟)二次函数f(x)x22(103n)x9n261n100(nN*)(1)设函数yf(x)的图象的顶点的横坐标构成数列an，求证数列an是等差数列；(2)设函数yf(x)的图象的顶点到y轴距离构成数列dn，求数列dn的前n项和；(3)在(1)的条件下，假设数列cn满足cn1eq f(1,4nf(25,2)an)(nN*)，求数列cn中

15、值最大的项和最小项【解析】(1)yf(x)顶点横坐标为xeq f(b,2a)eq f(2(103n),2)，an103n，anan13，an是等差数列，且an103n.(2)设dn的前n项和为Sn.yf(x)的顶点坐标到y轴的距离dn|103n|eq blcrc (avs4alco1(103n(n3),3n10(n4)，当n3时，Sneq f(n(7103n),2)eq f(n(173n),2)，当n4时，d42，Sneq f(n3)(d4dn),2)S3eq f(n3)(3n8),2)12eq f(1,2)(3n217n48)Sneq blcrc (avs4alco1(f(n(173n),2

16、)(n3),f(1,2)(3n217n48)(n4).(3)cn1eq f(1,4nf(25,2)an)1eq f(1,4nf(25,2)103n)1eq f(2,2n5)，cn中的最小项为c21，cn中的最大项为c33.9102.59)【解析】设每年还款x元，需10年还清，那么每年还款及利息情况如下：第10年还款x元，此次欠款全部还清第9年还款x元，过1年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(110%)元第8年还款x元，过2年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(110%)2元第1年还款x元，过9年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(110%)9元根据题意可得：xx(110%)x(1

17、10%)2x(110%)920 000(110%)10 x10101)3 258.每年应还款3 258元22(12分)(南京模拟)数列an中，a22，前n项和为Sn，且Sneq f(n(an1),2).(1)证明数列an1an是等差数列，并求出数列an的通项公式；(2)设bneq f(1,(2an1)(2an1)，数列bn的前n项和为Tn，求使不等式Tneq f(k,57)对一切nN*都成立的最大正整数k的值【解析】(1)由题意，当n1时，a1S1eq f(a11,2)，那么a11，a22，那么a2a11，当n2时，anSnSn1eq f(n(an1),2)eq f(n1)(an11),2)eq f(1,2) nan(n1)an11，an1eq f(1,2) (n1)an1nan1，那么an1aneq f(1,2) (n1)an12nan(n1)an1，那么(n1)an12(n1)an(n1)an10，即an12anan10，即an1ananan1，那么数列an1an是首项为1，公差为0的等差数列从而anan11，那么数列an是首项为1，公差为1的等差数列所以ann(nN*)(2)bneq f(1,(2an1)(2an1)eq f(1,(2n1)(2n1)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2n1)f(1,2n1)，所以Tnb1b2bneq