微分几何练习试题库及答案

1、-PAGE . z.微积分几何复习题 本科第一局部：练习题库及答案一、填空题每题后面附有关键词；难易度；答题时长第一章1，则这两个向量的夹角的余弦=2，求这两个向量的向量积(-1,-1,-1)3过点且与向量垂直的平面方程为*-Z=04求两平面与的交线的对称式方程为5计算6设，求07，其中，则8，则9，求，其中，10为常向量，求11，为常向量，求12，则第二章13曲线在任意点的切向量为14曲线在点的切向量为15曲线在点的切向量为16设有曲线，当时的切线方程为17设有曲线，当时的切线方程为第三章18设为曲面的参数表示，如果，则称参数曲面是正则的；如果是 一一的，则称参数曲面是简单的19如果曲线族和

2、曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网(坐标网;易;3分钟)20平面的第一根本形式为，面积元为21悬链面的第一类根本量是,22曲面上坐标曲线，的交角的余弦值是23正螺面的第一根本形式是24双曲抛物面的第一根本形式是25正螺面的平均曲率为0正螺面、第一根本量、第二根本量；中；3分钟26方向是渐近方向的充要条件是或27两个方向和共轭的充要条件是或28函数是主曲率的充要条件是29方向是主方向的充要条件是30根据罗德里格定理，如果方向是主方向，则，其中是沿方向的法曲率31旋转极小曲面是平面或悬链面第四章32高斯方程是，因加尔吞方程为，33用表示为34测地曲率的几何意义是曲面上的曲线在点的测地曲

3、率的绝对值等于在点的切平面上的正投影曲线的曲率35之间的关系是36如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 37测地线的方程为38高斯-波涅公式为39如果是由测地线组成，则高斯-波涅公式为二、单项选择题第一章40，则这两个向量的积为 C 积；易；2分钟A 2 B C 0 D 141求过点且与向量平行的直线的方程是 A 直线方程；易；2分钟A B C D 42，则混合积为 D 混合积；较易；2分钟A 2 B C 1 D 43.，则为 A 导数；易；2分钟(，)(-，)(，)(，-)44，为常数，则为 C 导数；易；2分钟 上述为常向量45.，求为 D 微分；较易；2分钟第二章46圆柱螺线的切

4、线与轴 C .(螺线、切向量、夹角；较易、2分钟)平行垂直有固定夹角有固定夹角47设有平面曲线，为自然参数，是曲线的根本向量以下表达错误的选项是C 为单位向量48直线的曲率为 B 曲率；易；2分钟 49关于平面曲线的曲率不正确的选项是 D 伏雷公式；较易；2分钟 ，为的旋转角 50对于平面曲线，曲率恒等于”是曲线是直线的 D 曲率；易；2分钟)充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件充要条件51以下论述不正确的选项是 D 根本向量；易；2分钟均为单位向量 52对于空间曲线，曲率为零是曲线是直线的 D曲率；易；2分钟)A 充分不必要条件B必要不充分条件C 既不充分也不必要条件 D充要条件

5、53对于空间曲线，挠率为零是曲线是直线的 D 挠率；易；2分钟)A 充分不必要条件B必要不充分条件C 既不充分也不必要条件D充要条件54在点的切线与轴关系为 D 垂直平行成的角成的角第三章55椭球面的参数表示为C 参数表示；易；2分钟A B C D 56以下为单叶双曲面的参数表示的是D 参数表示；易；2分钟A B C D 57以下为双叶双曲面的参数表示的是A 参数表示；易；2分钟A B CD 58以下为椭圆抛物面的参数表示的是B 参数表示；易；2分钟A B C D 59以下为双曲抛物面的参数表示的是C 参数表示；易；2分钟A B C D 60曲面在点的切平面方程为B 切平面方程；易；2分钟A

6、B C D 61球面的第一根本形式为D 第一根本形式；中；2分钟A B C D 62正圆柱面的第一根本形式为 C第一根本形式；中；2分钟A B C D 63在第一根本形式为的曲面上，方程为的曲线段的弧长为B 弧长；中；2分钟A B C D 64设为中的2维正则曲面，则的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是 BA B C D 65以下正确的选项是 D因加尔吞变换；较易；2分钟A B C D66以下正确的选项是 C因加尔吞变换；较易；2分钟A B C D 67以下正确的选项是A因加尔吞变换；较易；2分钟A B C D 68高斯曲率为常数的的曲面叫C 高斯曲率；易；2分钟A 极小曲面 B 球面 C常高

7、斯曲率曲面 D平面第四章B 69第一根本形式；易；2分钟A 1 B 2 C 0 D -1B 70第一根本形式；易；2分钟A B C D A 71克氏符号；较易；2分钟A B C D A 72曲面上直线如果有的话的测地曲率等于A B C D 3B 73当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为维尔定理、测地曲率；中；4分钟A B C D A 74如果测地线同时为渐进线，则它必为测地曲率、法曲率、曲率；中；2分钟A 直线 B 平面曲线 C 抛物线 D 圆柱螺线B 75在伪球面上，任何测地三角形的角之和高斯-波涅定理；中；4分钟A 等于 B 小于 C 大于 D 不能确定三、多项选择题第一章

8、76.假设为向量函数，则以下论述正确的选项是 AD 导数；易；4分钟77为常向量，为向量函数，则下述正确的选项是 ABC 积分的性质；中；4分钟 第二章78以下曲线中为正则曲线的有ACDE。曲线的概念；易；4分钟， ， ，79以下曲线中是正则曲线的有ABCDE。曲线的概念；易；4分钟， ， ， 80以下式子正确的选项是ABCE伏雷公式；中；4分钟 第三章81曲面在点的AD 切平面、法线；中；4分钟A 切平面方程为B 切平面方程为C 法线方程为D 法线方程为E 法线方程为82正螺面的AC 切平面、法线；中；4分钟A 切平面方程为B切平面方程为C 切平面方程为D法线方程为E 法线方程为83以下二次

9、形式中， ABD不能作为曲面的第一根本形式第一根本形式；易；4分钟A B C D E 84一般螺面的第一类根本量是 BCD第一根本量；易；4分钟A B C D E 85以下曲面中， BCD 是旋转常高斯曲率曲面常高斯曲率曲面；易；4分钟A 正螺面 B 平面 C 球面 D 圆柱面 E 悬链面第四章ABC 86对于曲面上的正交坐标网，测地曲率设曲线的切方向与的夹角为A B C D E 87曲面上的曲线是测地线的充分必要条件是ABCD测地线的概念；中；4分钟A 满足方程的曲线B满足的曲线C除了曲率为零的点外，曲线的主法线重合于曲面的法线 D满足的曲线E 满足的曲线四、表达题第三章88曲面。解设是初等

10、区域，如果存在一个连续一一映射使得，则称是一曲面，而叫的参数表示89坐标曲线。【解】曲面，的像叫曲线，的像叫曲线，曲线和曲线都叫坐标曲线90第一根本形式。【解】称二次型其中，为曲面的第一根本形式而、叫曲面的第一类根本量91蕴量。【解】由曲面的第一类根本量所决定的量叫曲面的蕴量92第二根本形式。【解】称二次型其中，为曲面的第二根本形式而，为曲面的第二类根本量93【解】假设在点有，则称点为曲面的椭圆点94法曲率。【解】给定曲面上一点处的一个切向量，则点沿方向的法曲率定义为95主曲率。【解】使法曲率到达极值的方向叫曲面在该点的主方向，而主方向的法曲率叫该点的主曲率96高斯曲率。【解】曲面的两个主曲率

11、之积叫曲面的高斯曲率97极小曲面。【解】平均曲率的曲面叫极小曲面五、计算题第二章98求旋轮线的一段的弧长弧长；中；5分钟【解】旋轮线的切向量为，则它的一段的弧长为：99求曲线在原点的切向量、主法向量、副法向量根本向量；中；10分钟【解】由题意知，在原点时有。又，所以有。100圆柱螺线为。根本向量、曲率、挠率；中；15分钟求根本向量，；求曲率和挠率；【解】由题意有，又由公式有由一般参数的曲率公式及挠率公式有，。第三章101求正螺面的切平面和法线方程切平面、法线；中；5分钟【解】，切平面方程为法线方程为102求球面上任一点处的切平面与法线方程【解】，球面上任意点的切平面方程为即，法线方程为即103

12、求旋转抛物面的第一根本形式第一根本形式；中；5分钟【解】参数表示为，104求正螺面的第一根本形式第一根本形式；中；5分钟【解】，105计算正螺面的第一、第二根本量第一根本形式、第二根本形式；中；15分钟【解】，106计算抛物面的高斯曲率和平均曲率高斯曲率、平均曲率；中；15分钟【解】设抛物面的参数表示为，则，107计算正螺面的高斯曲率高斯曲率；中；15分钟【解】直接计算知，第四章108求位于正螺面上的圆柱螺线=常数的测地曲率测地曲率、维尔定理；中；15分【解】因为正螺面的第一根本形式为，螺旋线是正螺面的v-曲线，由得由正交网的坐标曲线的测地曲率得六、证明题第二章109证明曲线的切向量与曲线的位

13、置向量成定角切向量、夹角；较易；5分钟【证】对曲线上任意一点，曲线的位置向量为，该点切线的切向量为：，则有：，故夹角为。由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角110证明：假设和对一切线性相关，则曲线是直线曲率；中；10分钟【证明】假设和对一切线性相关，则存在恒不同时为0的使。则。又，故。于是该曲线是直线111证明圆柱螺线的主法线和z轴垂直相交主法线、夹角；中；10分钟【证明】由题意有。由知。另一方面轴的方向向量为，而，故，即主法线与轴垂直112证明曲线的所有法平面皆通过坐标原点法平面；较易；5分钟【证明】由题意可得，则任意点的法平面为将点0,0,0代入上述方程有左边右边，故结论成立1

14、13证明曲线为平面曲线，并建立曲线所在平面的方程。挠率；中；10分钟【证明】设，整理比拟两边同次项可得，则有，即曲线为直线，且有第三章114求证正螺面上的坐标曲线即曲线族曲线族互相垂直坐标曲线、夹角；5分钟【证明】设正螺面的参数表示是，则，故正螺面上的坐标曲线互相垂直115证明马鞍面上所有点都是双曲点点的分类、第二根本量；中；15分钟【证明】参数表示为，则，故马鞍面上所有点都是双曲点116如果曲面上*点的第一与第二根本形式成比例，即与方向无关，则称该点是曲面的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的试证球面是全脐的脐点；难；15分钟【证明】设球面的参数表示为，则，故球面是全脐的117证

15、明平面是全脐的脐点；易；5分钟【证明】设平面的参数表示为，则，故平面是全脐的118设有曲面，试证曲面的第二根本形式与函数的二阶微分成比例第二根本形式；较难；10分钟【证明】设曲面的参数表示为，则，119证明曲面的所有点为抛物点点的分类、第二根本量；中；15分钟【证明】记曲面的参数表示为，则，曲面的所有点为抛物点120求证正螺面是极小曲面平均曲率；中；15分钟【证明】，故正螺面是极小曲面121证明极小曲面上的点都是双曲点或平点点的分类、平均曲率；中；5分钟【证明】，当时，极小曲面的点都是平点；当时，极小曲面的点都是双曲点第四章122证明假设曲面上有两族测地线交于定角，则曲面的高斯曲率为零高斯曲率；难；10分钟【证明】在每族测地线中任取两条，围成曲面上的曲边四边形根据条件，曲边四边形的外角和为由高斯-波涅公式