基于摄动法的密频结构可控性

1、基于摄动法的密频结构可控性谢发祥收稿日期：2008-08-26基金项目：国家“八六三”高技术研究发展计划资助项目（2006AA11Z120）作者简介： 谢发祥（1977-），男，工程师，博士生，主要研究方向为桥梁结构振动控制，E-mail：xiefaxiang ,孙利民孙利民（1963-），男，内蒙包头人，教授，博士生导师，工学博士，主要研究方向为结构振动控制和健康监测系统，E-mail:lmsun（同济大学 土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092）摘要：为研究密频结构频率密集度对结构可控性的影响，针对3自由度的密频结构，从结构基本振动方程入手，采用摄动分析方法推导了闭环系统频率、阻尼

2、比和摄动量的相关方程。在速度反馈和状态反馈情况下，讨论了结构频率密集度对结构可控性的影响，并对不确定参数对结构模态阻尼比的影响进行了分析。分析结果表明，对于采用速度反馈、位移反馈的闭环系统，随着结构频率密集度参数的减小，结构的部分模态阻尼比逐渐趋向于零，相应的结构模态趋于不可控。考虑了结构刚度和质量参数不确定性对密频结构可控性的影响，结果表明参数不确定性会影响密频结构不同模态之间的耦合程度，进而改变结构的可控度。关键词：结构振动控制；密频结构；可控性；摄动法中图分类号： TB123, TB53 文献标识码：A 文章编号：On Controllability of Structures with

3、 Closely Spaced Natural Frequencies Based on Perturbation AnalysisXIE Faxiang 1 , SUN Limin 2(State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering, Tongji University, Shanghai 200092, China)Abstract: This paper investigated the influence of frequency intensity on the controllability of s

4、tructures with closely-spaced natural frequencies. The perturbation equations were established for a closed-loop system to study the relationship between frequencies, modal damping ratios and perturbation parameters. The analysis focused on a three-degree-of-freedom structure with closely spaced nat

5、ural frequencies. The velocity and displacement feedbacks were considered in the calculation. Several cases with velocity feedback and state feedback were considered. And the preciseness of perturbation methods was checked. The calculation results showed that the damping ratios of two modes were dec

6、reasing as the decreasing of intensity parameter values of the structure with closely spaced natural frequencies, indicating that the controllability of corresponding modes was losing. The uncertainties in mass and stiffness matrices were also discussed in this paper. The calculation results implied

7、 that the degrees of mode coupling would be changed due to the structural uncertainties and then the controllability would be influenced. Keywords: structure control; structure with closely-spaced natural frequencies; controllability; perturbation method;密频结构是指在很窄的一段频率区间内有很多固有频率的结构。密频结构在工程结构中广泛存在。对于

8、准对称结构、局部准对称结构及其相应的振动控制系统，它们的振动固有频率和闭环特征值也很可能是密集的。对于具有个重频(频率相同)模态的结构，满足可控性要求至少需采用个作动器 ADDIN EN.CITE ADDIN EN.CITE.DATA 1-2 ADDIN EN.CITE ADDIN EN.CITE.DATA 。而对于具有个密集频率(频率接近但不同)模态的结构，根据可控性条件，理论上仅需一个作动器便能控制这些模态。但是，Forward和Swigert ADDIN EN.CITE Forward198111645116451164517R.L. ForwardElectronic damping

9、of orthogonal bending modes in a cylindrical mast experimentJournal of SpacecraftJournal of Spacecraft11-1718119813通过研究具有2个密集频率的圆柱天线结构时发现，采用单输入反馈控制时，一个模态阻尼较高，另一个模态几乎是无阻尼，即该模态可控性很低。刘中生等 ADDIN EN.CITE ADDIN EN.CITE.DATA 4 讨论了密频结构可控可观性的度量以及主模态的概念，提出了采用奇异值分解（SVD）方法来衡量密频结构的可控可观性。K.Xu ADDIN EN.CITE Xu1992

10、11646116461164617K. XuP. WarnitchaiT. IgusaControl of a structure with two closely spaced natural frequenciesJournal of Guidance, Control, and DynamicsJournal of Guidance, Control, and Dynamics1177-117816619925采用摄动法研究了不同控制策略对于具有2个密集频率结构的控制效果以及稳定性条件，结果表明，随着频率间隔的减小，闭环系统的振型对摄动参数敏感，系统的鲁棒性变差。Sun.H.L等 ADD

11、IN EN.CITE Sun200611428114281142817Sun, H. L.Zhang, P. Q.Chen, H. B. Zhang, K.Active control of a structure with continuously closely spaced natural frequenciesJournal of Sound and VibrationJournal of Sound and Vibration15-222941-22006/science/article/B6WM3-4HTCTRJ-5/2/1a31256134aeb0181fd9e9b6c8cd23

12、42 6分析了单独采用速度反馈时，反馈增益对3自由度密频结构阻尼比的影响，但是没有考虑状态反馈。孙涛等 ADDIN EN.CITE ADDIN EN.CITE.DATA 刁7采用极点配置方法将重频结构的反馈控制应用到密频结构，讨论了其稳定预度。陈德成等 ADDIN EN.CITE ADDIN EN.CITE.DATA 封8提出了密频结构分散度和密集度的概念，采用一阶系统模拟二阶系统，通过求解可控性矩阵的特征值说明了控制力个数小于密频子空间维数的时候，该密频空间不可控，然而并没有讨论在不同反馈情况下密频结构的可控性情况。笔者从密集频率结构的基本振动方程出发，采用摄动分析方法，通过直接求解一个3次

13、方程，直观地讨论了在速度反馈和状态反馈情况下结构频率密集度对结构可控性的影响。不需要求解结构的可控性矩阵的特征值，就可以直观地判断密频结构的可控性。对结构的参数不确定性对模态阻尼比的影响进行了分析讨论。通过求解推导的摄动方程，对3自由度密频结构采用速度和状态反馈的计算结果表明，随着结构频率密集度参数的减小，结构的模态阻尼比逐渐趋向于零，相应的模态趋于不可控。而系统参数不确定性的影响的计算结果表明，对于质量和刚度的不确定因素，质量和刚度矩阵的主对角线元素的改变影响结构的频率密集度，而非对角线元素影响结构的耦合程度，进而影响结构的可控度。1 频率间隔对结构阻尼的影响1.1 运动方程对于一个具有自由

14、度的受控结构，其运动方程为 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 1)式中：是质量、阻尼、刚度矩阵，是结构的位移向量，是结构受到的外部激励，是维控制输入的位置向量。是控制力向量，分别是位移和速度反馈增益。通过引入结构的自然频率和模态，可以将方程 GOTOBUTTON ZEqnNum919480 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum919480 * Charformat ! * MERGEFORMAT (1)简化为个模态的

15、模态方程 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 2)等式 GOTOBUTTON ZEqnNum393918 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum393918 * Charformat ! * MERGEFORMAT (2)中为单位矩阵；为模态向量矩阵，；为模态刚度矩阵，；为模态阻尼矩阵，；为模态力向量，；为位移模态控制输入向量，；为速度模态控制向量，；是模态响应向量，是对角化方程： MACROBUTTON MTPlace

16、Ref * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 3)式中是结构各阶自然频率。阻尼结构的模态性质可以由以下的阶的特征值方程来确定 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 4)式中为系统的各阶特征值；是对应的特征向量。方程 GOTOBUTTON ZEqnNum901800 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum901

17、800 * Charformat ! * MERGEFORMAT (4)的特征值是与结构的自然频率及阻尼比直接相关的复数 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 5)式中。摄动法是研究系统或其参数在微小扰动下运动过程的数学方法 ADDIN EN.CITE 胡海昌198711649116491164941胡海昌多自由度结构固有振动理5北京科学出版社13031.3593HU Haichang. The vibrat

18、ion theory of multi-DOFs system, 1987, Beijing, Science Press9。密频结构可以看成相应的重频结构受到微小扰动后的情况，可以用摄动原理求解。对于方程 GOTOBUTTON ZEqnNum901800 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum901800 * Charformat ! * MERGEFORMAT (4)的解可以通过下述的摄动法来确定。对于3自由度的密频系统，设3个密集频率度量值，表示3个密集频率与平均频率的接近程度，实际上表示的是密频结构原频率与平均频率之间的距离。令为3个密集频率的平均值，分别为系统的3阶自然频

19、率。那么有 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 6)这里，表示的同阶无穷小量，即结构的3个频率与平均频率的距离都是小值。可以采用摄动法对方程 GOTOBUTTON ZEqnNum901800 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum901800 * Charformat ! * MERGEFORMAT (4)进行分析，假定结构可解耦并可忽略结构固有阻尼，即结构的阻尼全部由外部反馈产生。设该方程的特征值为，采用式 GOTOB

20、UTTON ZEqnNum721932 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum721932 * Charformat ! * MERGEFORMAT (7)来估计这些特征值 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 7)式中为小的摄动量。对于单个输入的3自由度系统，令，其中为向量的三个分量。带入摄动参数到特征根问题 GOTOBUTTON ZEqnNum901800 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum901800

21、 * Charformat ! * MERGEFORMAT (4)中，保留一阶项，忽略二阶小量，可以得到方程 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 8)式中为小的摄动量闭环系统的频率、模态阻尼与摄动量的近似关系如下 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 9)式中表示闭环。由于

22、速度反馈会给系统带来附加阻尼，而位移的反馈会改变结构的频率，对于密频系统而言，希望结构的模态阻尼能够增大，同时使密集频率之间的间隔变得更大。因此，这里假定引入的反馈具有如下特点。考虑到，带入式 GOTOBUTTON ZEqnNum153953 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum153953 * Charformat ! * MERGEFORMAT (8)，可以得到 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 10)1.2、计

23、算结果及分析1.2.1 情形1 首先考虑，也就是左右2个频率间隔相等，并且假定位移反馈增益为零。固定控制增益，求解方程 GOTOBUTTON ZEqnNum284924 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum284924 * Charformat ! * MERGEFORMAT (10)，可以得到结构的阻尼比和频率与结构密频系数之间的关系。不同频率间隔下的结构模态阻尼比变化（）The change of mode damping ratios with different frequency intensity ()从 REF _Ref200353136 r h * MERGEFO

24、RMAT 图 1可以看出，随着结构频率间隔的减小，结构有2阶阻尼比以几乎完全相同的趋势逐渐趋向于零，也就是逐渐变得不可控。当结构3个频率相等，即的时候，结构成了为重频结构，有2阶阻尼比为零，结构不可控。这和重频结构的可控性判断是一致的 ADDIN EN.CITE Hughes198011644116441164417P.C. HughesR.E. SkeltonControllability and observability of linear matrix second-order systemJournal of Applied MechanicsJournal of Applied M

25、echanics415-41947219801。但是 REF _Ref200353136 r h * MERGEFORMAT 图 1显示，在处频率和阻尼比有“突变”，在物理上无法解释。为了验证摄动分析的正确性，计算了式 GOTOBUTTON ZEqnNum901800 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum901800 * Charformat ! * MERGEFORMAT (4)的精确解和 GOTOBUTTON ZEqnNum284924 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum284924 * Charformat ! * MERGEFORMAT (10)的摄动解，

26、比较结果如 REF _Ref214972814 r h * MERGEFORMAT 图 2、 REF _Ref214972819 r h * MERGEFORMAT 图 3所示。用Numerical和Perturbation分别表示公式的数值解和摄动解，定义为量纲归一化频率。从 REF _Ref214972814 r h 图 2和 REF _Ref214972819 r h 图 3的比较可以看出，在数值精确解中并不存在突变的情况，而且数值精确解和摄动分析的解的吻合程度很好，进一步分析表明，摄动分析中的“伪突变”是计算中的0/0分式导致的，并不是结构真正的阻尼比有突变。其实质是中间模态的阻尼一直

27、最大，这与数值解的结果是一致的。因此，摄动法分析的结果是有效的。结构阻尼比数值精确解和摄动解的比较Comparison of damping ratios between numerical and perturbation results结构广义频率数值精确解和摄动解的比较 Comparison of frequencies between numerical and perturbation results1.2.2情形2考虑一定的位移反馈增益，令，为位移增益，其余情况与情形1相同。不同频率间隔下的结构模态阻尼比变化（） Change of damping ratios with diff

28、erent frequency intensity（）从 REF _Ref200354859 r h * MERGEFORMAT 图 4可以看出，结构的两阶阻尼比逐渐趋向于零，同时由于位移反馈的引入，成为状态反馈，在的时候结构出现了“负阻尼”，这表明此时结构已经不可控了。1.2.3 情形3考虑频率间隔不相等，假定。仍然首先令位移增益，速度反馈增益。不同频率间隔下的结构模态阻尼比变化（） Change of damping ratios with different frequency intensity(）与情形1类似，随着频率间隔的减小，结构的有两阶阻尼比趋向于零，趋于不可控，而由于频率间隔

29、，对应的两阶结构频率的变化速度不同。1.2.4 情形4考虑频率间隔不相等，令的情况。假定位移增益，速度反馈增益。不同频率间隔下的结构模态阻尼比变化（） Change of damping ratios with different frequency intensity()同情形2类似， REF _Ref200444001 r h * MERGEFORMAT 图 6显示随着频率密集度的减小，结构趋于3阶重频，结构的2个阻尼比迅速趋于零，结构趋于不可控。在时，与情形2类似，结构也出现了“负阻尼”的情况，表示该模态已经不可控。2 参数不确定性对结构模态阻尼比的影响一般说来，真实结构的质量、阻尼和刚

30、度只能够近似地获得，而模型结构参数和真实结构之间必定存在一定的差异。本文仅考虑真实结构的刚度、质量和计算模型之间的差异。对于一个自由度的无阻尼系统，考虑两组动力学方程，假定的结构方程，也就是模型方程，包含建模的误差，用于实际结构的控制。真实结构的方程，不存在误差，但是难以获得。首先，具有单个控制力输入的假定结构方程为 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 11) MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT

31、 SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 12)令为系统的正则化模态矩阵，满足。利用模态变换，则方程 GOTOBUTTON ZEqnNum483474 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum483474 * Charformat ! * MERGEFORMAT (11) GOTOBUTTON ZEqnNum827370 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum827370 * Charformat ! * MERGEFORMAT (12)可以转换为个模态方程： MACROBUTTON M

32、TPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 13)式中，为系统的第i阶固有频率；，。在实际的情况中，结构的质量、刚度和阻尼矩阵都只是可以近似地获得。假定实际系统的质量、阻尼和刚度矩阵为，利用模态转换矩阵，可以得到具有个自由度的模态方程： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 14)式中，。一般来说，是非对角

33、矩阵，但是是对称正定矩阵，是对称半正定矩阵。同样假定频率采用式 GOTOBUTTON ZEqnNum893974 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum893974 * Charformat ! * MERGEFORMAT (6)的形式，即，那么具有扰动的系统参数可以定义为 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 15) MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * M

34、ERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 16)式中分别为假定模型质量和刚度矩阵的扰动。这里假设扰动为小量，同时假定结构的控制输入增益和频率间隔参数也是小量，即 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 17)在式 GOTOBUTTON ZEqnNum520355 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum520355 * Charformat ! * MERGEFORMAT

35、(14)左乘，同时仅保留一阶小量，可以得到 MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 18) MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 19)其中各参数的表达形式为， MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFO

36、RMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 20)式中：是模态刚度矩阵对角上的包含不确定因素的等效频率间隔，仅仅与系统的不确定参数和频率间隔有关；为非对角上的不确定参数，仅仅与系统的不确定参数有关。通过求解方程 GOTOBUTTON ZEqnNum679072 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum679072 * Charformat ! * MERGEFORMAT (18)的特征方程，可以得到模态阻尼比和不确定参数之间的关系。（1）对角元素的影响。在的情况下，方程 GOTOBUTTON ZEqnNum679072 * MERGEFORMA

37、T REF ZEqnNum679072 * Charformat ! * MERGEFORMAT (18)的特征方程可以写为： MACROBUTTON MTPlaceRef * MERGEFORMAT SEQ MTEqn h * MERGEFORMAT ( SEQ MTEqn c * Arabic * MERGEFORMAT 21)式中为特征频率，为对角矩阵，且，为特征向量。直接求解式 GOTOBUTTON ZEqnNum322181 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum322181 * Charformat ! * MERGEFORMAT (21)的特征方程，按照式 GOTOB

38、UTTON ZEqnNum469260 * MERGEFORMAT REF ZEqnNum469260 * Charformat ! * MERGEFORMAT (5)可以求得结构频率和阻尼比的解。为简单起见，这里假定。计算得到的结果如图7所示：阻尼比随等效频率间隔的影响The change of mode damping ratios with equivalent frequency intensity 由 REF _Ref202513243 r h * MERGEFORMAT 图 7可见，在包含不确定参数的等效频率间隔为零的时候，有2阶模态的阻尼比为零，这与前述的情况是一致的。同时，因为

39、频率间隔本身是小量，如果受到扰动使得频率间隔变得更小，将导致结构的可控性变差。但是，不管扰动的情况如何，只要结构的等效频率间隔减小了，结构的模态阻尼比将会降低，结构的可控性必然变差。（2）非对角元素的影响。现在考虑非对角元素的影响，这里假定，仅仅考虑。模态阻尼随着的变化曲线如 REF _Ref202515083 r h * MERGEFORMAT 图 8所示。模态阻尼随不确定参数的变化The change of mode damping ratios with uncertainties parameter 由 REF _Ref202515083 r h * MERGEFORMAT 图 8可见

40、，随着的增加，结构的低频的模态阻尼比总会减小，而在时会减小，而在的时候会增加，这表明时会增加结构的耦合程度，结构可控度降低，出现2阶模态的阻尼比趋于零；而则会降低耦合程度，表现为结构的可控性增强，只有1阶模态的阻尼比趋于零。3 结论本文推导了3自由度系统频率密集度和结构可控度之间的摄动方程，讨论了密频结构模态阻尼比和摄动参数之间的关系，以及在不同反馈情况下闭环系统的可控性和频率密集度的关系，并且进一步探讨了结构参数不确定性和对结构可控性的影响，得到了以下结论：（1）利用摄动法和数值方法，对密频结构在位移和速度反馈下的结构阻尼比进行了计算，验证了摄动分析的有效性。（2）对3自由度密频系统，在不同

41、反馈和不同频率密集度下的计算结果表明，随着结构频率密集度参数的逐渐减小，采用单个作用力控制的3阶密集频率结构有两阶模态的阻尼比趋于零，结构的可控度逐渐降低；当密频结构变为重频结构时，结构两阶模态不可控，而只有一阶模态可控。（3）分析了结构质量和刚度的参数不确定性对密集频率结构阻尼比的影响，结果表明等效的频率密集度为零时，3阶密频结构有两阶模态不可控，而模态刚度矩阵的非对角的不确定元素将影响结构的耦合程度，进而影响结构的可控度。参考文献: ADDIN EN.REFLIST 1HUGHES P C，SKELTON R EControllability and observability of linear matrix second-order systemJournal of Applie