解三角形问题 平面向量-教师版

1、 第21练解三角形问题题型一活用正、余弦定理求解三角形问题例1(1)(2013辽宁)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos Ccsin Bcos Aeq f(1,2)b，且ab，则B等于()A.eq f(,6) B.eq f(,3) C.eq f(2,3) D.eq f(5,6)(2)在ABC中，acos Abcos B，则ABC的形状为_破题切入点(1)先由正弦定理对已知三角关系式进行转化，然后利用三角恒等变换公式进行化简，可求得sin B的值，再结合ab的条件即可判断得出结果(2)可以先利用余弦定理将条件化为边的形式，再进行判断；或者先利用正弦定理将条件化为

2、角的形式，再转化判断即可答案(1)A(2)等腰三角形或直角三角形解析(1)由条件得eq f(a,b)sin Bcos Ceq f(c,b)sin Bcos Aeq f(1,2)，依正弦定理，得sin Acos Csin Ccos Aeq f(1,2)，sin(AC)eq f(1,2)，从而sin Beq f(1,2)，又ab，且B(0，)，因此Beq f(,6).(2)方法一因为acos Abcos B，所以由余弦定理，得aeq f(b2c2a2,2bc)beq f(a2c2b2,2ac)，即a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，所以(a2b2c2)(a2b2)0.所以a2b2c2或ab.

3、所以ABC为等腰三角形或直角三角形题型二解三角形中相关交汇性问题例2已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m(sin B,1cos B)与向量n(2,0)的夹角的余弦值为eq f(1,2).(1)求角B的大小；(2)若beq r(3)，求ac的范围破题切入点(1)根据向量的数量积求两向量的夹角，然后利用同角三角函数关系式及二倍角公式进行恒等变形即可解决问题；(2)消元后，利用两角和的正弦公式把sin Asin C化为sin(Aeq f(,3)，并求出sin(Aeq f(,3)的取值范围，再根据正弦定理，求出ac的范围，也可以利用余弦定理结合基本不等式求出ac的范围解(1)

4、因为m(sin B,1cos B)，n(2,0)，所以mn2sin B.又|m|eq r(sin2B1cos B2)eq r(sin2Bcos2B2cos B1)eq r(21cos B) eq r(4sin2f(B,2)2|sin eq f(B,2)|，因为0B，0eq f(B,2)0，因为|m|2sin eq f(B,2).而|n|2，所以cos eq f(mn,|m|n|)eq f(2sin B,4sin f(B,2)eq f(4sin f(B,2)cos f(B,2),4sin f(B,2)cos eq f(B,2)，即cos eq f(B,2)eq f(1,2).由0B，得eq f(

5、B,2)eq f(,3)，所以Beq f(2,3).(2)方法一由Beq f(2,3)，得ACeq f(,3).所以sin Asin Csin Asin(eq f(,3)A)sin A(sin eq f(,3)cos Acos eq f(,3)sin A)eq f(1,2)sin Aeq f(r(3),2)cos Asin(Aeq f(,3)又0Aeq f(,3)，所以eq f(,3)Aeq f(,3)eq f(2,3).所以eq f(r(3),2)beq r(3)，所以eq r(3)ac2，即ac(eq r(3)，2总结提高(1)在根据正、余弦定理解三角形问题中，要结合大边对大角进行判断一般

6、地，斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，有两解，已知大角求小角有一解；在解三角形问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围，确定三角函数值的符号防止增解等扩大范围的现象(2)在求解三角形的实际问题时，首先要准确理解题意，分清已知与所求，关注应用题中的有关专业名词、术语，如方位角、仰角、俯角等，其次根据题意画出其示意图，示意图起着关键的作用，再次将要求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识，建立数学模型，从而正确求解，演算过程要简练，计算要准确，最后作答1(2013陕西)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

7、若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不确定答案B解析由bcos Cccos Basin A，得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，即sin(BC)sin2A，所以sin A1，由0A，得Aeq f(,2)，所以ABC为直角三角形2(2014课标全国)钝角三角形ABC的面积是eq f(1,2)，AB1，BCeq r(2)，则AC等于()A5 B.eq r(5) C2 D1答案B解析Seq f(1,2)ABBCsin Beq f(1,2)1eq r(2)sin Beq f(1,2)，sin Beq f(r(2),2)

8、，Beq f(,4)或eq f(3,4).当Beq f(3,4)时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1225，ACeq r(5)，此时ABC为钝角三角形，符合题意；当Beq f(,4)时，根据余弦定理有AC2AB2BC22ABBCcos B1221，AC1，此时AB2AC2BC2，ABC为直角三角形，不符合题意故ACeq r(5).3(2014江西)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2(ab)26，Ceq f(,3)，则ABC的面积是()A3 B.eq f(9r(3),2)C.eq f(3r(3),2) D3eq r(3)答案C解析c2(ab)26，c

9、2a2b22ab6.Ceq f(,3)，c2a2b22abcos eq f(,3)a2b2ab.由得ab60，即ab6.SABCeq f(1,2)absin Ceq f(1,2)6eq f(r(3),2)eq f(3r(3),2).4在ABC中，ABCeq f(,4)，ABeq r(2)，BC3，则sinBAC等于()A.eq f(r(10),10) B.eq f(r(10),5)C.eq f(3r(10),10) D.eq f(r(5),5)答案C解析设CD为AB边上的高，则由题设知BDCDeq f(3r(2),2)，ADeq f(3r(2),2)eq r(2)eq f(r(2),2)，AC

10、 eq r(f(9,2)f(1,2)eq r(5)，sinBACsin(BAC)eq f(f(3r(2),2),r(5)eq f(3r(10),10).5若ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(ab)2c24，且C60，则ab的值为()A.eq f(4,3) B84eq r(3)C1 D.eq f(2,3)答案A解析a2b22abc24，cos Ceq f(a2b2c2,2ab)eq f(1,2)，eq f(42ab,2ab)eq f(1,2)，abeq f(4,3).6在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C2A，cos Aeq f(3,4)，b5，则ABC的面积为(

11、)A.eq f(15r(7),4) B.eq f(15r(7),2)C.eq f(5r(7),4) D.eq f(5r(7),2)答案A解析cos Aeq f(3,4)，cos C2cos2A1eq f(1,8)，sin Ceq f(3r(7),8)，tan C3eq r(7)，如图，设AD3x，AB4x，CD53x，BDeq r(7)x.在RtDBC中，tan Ceq f(BD,CD)eq f(r(7)x,53x)3eq r(7)，解之得：BDeq r(7)xeq f(3r(7),2)，SABCeq f(1,2)BDACeq f(15r(7),4).7在ABC中，设角A，B，C的对边分别是a

12、，b，c，Ceq f(,3)，ceq r(3)，则eq f(a2r(3)cos A,sin B)的值为_答案4解析由正弦定理，得eq f(a,sin A)eq f(c,sin C)a2sin A.所以eq f(a2r(3)cos A,sin B)eq f(2sin A2r(3)cos A,sin B)eq f(4sinAf(,3),sin B)4.8在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2，Beq f(,3)且sin 2Asin(AC)sin B，则ABC的面积为_答案eq r(3)解析sin 2Asin Bsin(AC)，2sin Acos Asin(AC)sin(AC)

13、，2sin Acos A2cos Asin C.ABC是锐角三角形，cos A0，sin Asin C，即ACBeq f(,3)，SABCeq f(1,2)22eq f(r(3),2)eq r(3).9设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若Aeq f(,3)，aeq r(3)，则b2c2的取值范围为_答案(3,6解析由正弦定理，得eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)2，b2sin B，c2sin C，所以b2c24(sin2Bsin2C)2(1cos 2B1cos 2C)42cos 2B2cos 2(eq f(2,3)B)4eq r(3)

14、sin 2Bcos 2B42sin(2Beq f(,6)又0Beq f(2,3)，所以eq f(,6)2Beq f(,6)eq f(7,6).所以12sin(2Beq f(,6)2.所以3b2c26.10(2014课标全国)已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，则ABC面积的最大值为_答案eq r(3)解析eq f(a,sin A)eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)2R，a2，又(2b)(sin Asin B)(cb)sin C可化为(ab)(ab)(cb)c，a2b2c2bc，b2c2a2bc.eq

15、f(b2c2a2,2bc)eq f(bc,2bc)eq f(1,2)cos A，A60.ABC中，4a2b2c22bccos 60b2c2bc2bcbcbc(当且仅当bc时取“”)，SABCeq f(1,2)bcsin Aeq f(1,2)4eq f(r(3),2)eq r(3).12在ABC中，角A为锐角，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m(cos A，sin A)，n(cos A，sin A)，且m与n的夹角为eq f(,3).(1)求mn的值及角A的大小；(2)若aeq r(7)，ceq r(3)，求ABC的面积S.解(1)因为|m|eq r(cos2Asin2A)1，|n

16、|eq r(cos2Asin A2)1，所以mn|m|n|cos eq f(,3)eq f(1,2).因为mncos2Asin2Acos 2A，所以cos 2Aeq f(1,2).因为0Aeq f(,2)，02A0)，则eq f(1,m)eq f(4,n)的最小值为()A2 B4C.eq f(9,2) D9答案C解析eq o(MO,sup6()eq o(AO,sup6()eq o(AM,sup6()eq f(o(AB,sup6()o(AC,sup6(),2)eq f(1,m)eq o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,m)eq o(AB,sup6(

17、)eq f(1,2)eq o(AC,sup6().同理eq o(NO,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,n)eq o(AC,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()，M，O，N三点共线，故eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,m)eq o(AB,sup6()eq f(1,2)eq o(AC,sup6()eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(1,n)o(AC,sup6()f(1,2)o(AB,sup6()，即eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f

18、(1,m)f(,2)eq o(AB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f(,2)f(,n)eq o(AC,sup6()0，由于eq o(AB,sup6()，eq o(AC,sup6()不共线，根据平面向量基本定理得eq f(1,2)eq f(1,m)eq f(,2)0且eq f(1,2)eq f(,2)eq f(,n)0，消掉即得mn2，故eq f(1,m)eq f(4,n)eq f(1,2)(mn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,m)f(4,n)eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(5f(n,m)f(4m,n)eq f(

19、1,2)(54)eq f(9,2).7(2013江苏)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADeq f(1,2)AB，BEeq f(2,3)BC.若eq o(DE,sup6()1eq o(AB,sup6()2eq o(AC,sup6()(1，2为实数)，则12的值为_答案eq f(1,2)解析如图，eq o(DE,sup6()eq o(DB,sup6()eq o(BE,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(BC,sup6()eq f(1,2)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)(eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6

20、()eq f(1,6)eq o(AB,sup6()eq f(2,3)eq o(AC,sup6()，则1eq f(1,6)，2eq f(2,3)，12eq f(1,2).8(2013四川)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AO,sup6()，则_.答案2解析由于ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AC,sup6()2eq o(AO,sup6()，2.9(2014北京)已知向量a，b满足|a|1，b(2,1)，且ab0(R)，则|_.答案e

21、q r(5)解析ab0，ab，|a|b|b|eq r(2212)eq r(5)，|a|eq r(5).又|a|1，|eq r(5).10在平面内，已知|eq o(OA,sup6()|1，|eq o(OB,sup6()|eq r(3)，eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()0，AOC30，设eq o(OC,sup6()meq o(OA,sup6()neq o(OB,sup6()(m，nR)，则eq f(m,n)_.答案3解析因为AOC30，所以eq o(OA,sup6()，eq o(OC,sup6()30.因为eq o(OC,sup6()meq o(OA,sup6()neq o

22、(OB,sup6()，eq o(OA,sup6()eq o(OB,sup6()0，所以|eq o(OC,sup6()|2(meq o(OA,sup6()neq o(OB,sup6()2m2|eq o(OA,sup6()|2n2|eq o(OB,sup6()|2m23n2，即|eq o(OC,sup6()|eq r(m23n2).又eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()eq o(OA,sup6()(meq o(OA,sup6()neq o(OB,sup6()meq o(OA,sup6()2m，则eq o(OA,sup6()eq o(OC,sup6()|eq o(OA,sup6(

23、)|eq o(OC,sup6()|cos 30m，即1eq r(m23n2)eq f(r(3),2)m，平方得m29n2，即eq f(m2,n2)9，所以eq f(m,n)3.11已知非零向量e1，e2不共线(1)如果eq o(AB,sup6()e1e2，eq o(BC,sup6()2e18e2，eq o(CD,sup6()3(e1e2)，求证：A、B、D三点共线；(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值(1)证明eq o(AB,sup6()e1e2，eq o(BD,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CD,sup6()2e18e23e13e25(e1e2)5eq

24、o(AB,sup6()，eq o(AB,sup6()与eq o(BD,sup6()共线，且有公共点B，A、B、D三点共线(2)解ke1e2与e1ke2共线，存在，使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2.由于e1与e2不共线，只能有eq blcrc (avs4alco1(k0，,k10，)k1.第23练关于平面向量数量积运算的经典题型题型一利用平面向量数量积求两向量夹角例1若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|a|，则向量b与ab的夹角为()A.eq f(,6) B.eq f(5,6) C.eq f(,3) D.eq f(2,3)破题切入点先把向量模之间的关系平方之后转化为向量

25、数量积之间的关系，然后分别求出所求向量的数量积与模，代入公式求解即可；也可利用向量的几何意义转化为三角形中的问题求解答案A解析方法一由已知，得|ab|ab|，将等式两边分别平方，整理可得ab0.由已知，得|ab|2|a|，将等式两边分别平方，可得a2b22ab4a2.将代入，得b23a2，即|b|eq r(3)|a|.而b(ab)abb2b2，故cosb，abeq f(bab,|b|ab|)eq f(b2,r(3)|a|2|a|)eq f(3a2,r(3)|a|2|a|)eq f(r(3),2).又b，ab0，所以b，abeq f(,6).故选A.方法二如图，作eq o(OA,sup6()a，

26、eq o(OB,sup6()b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则eq o(OC,sup6()ab，eq o(BA,sup6()ab.由|ab|ab|2|a|，可得|eq o(OC,sup6()|eq o(BA,sup6()|2|eq o(OA,sup6()|，所以平行四边形OACB是矩形，eq o(BC,sup6()eq o(OA,sup6()a.从而|eq o(OC,sup6()|2|eq o(BC,sup6()|.在RtBOC中，|eq o(OB,sup6()| eq r(|o(OC,sup6()|2|o(BC,sup6()|2)eq r(3)|eq o(BC,sup6()|，故

27、cosBOCeq f(|o(OB,sup6()|,|o(OC,sup6()|)eq f(r(3),2)，所以BOCeq f(,6).从而b，abBOCeq f(,6)，故选A.题型二利用数量积求向量的模例2已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|eq o(PA,sup6()3eq o(PB,sup6()|的最小值为_破题切入点建立平面直角坐标系，利用点坐标表示出各向量，或用向量的关系一一代换得出最简式，从而求出最小值答案5解析方法一以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPx.D(0,0)，A(2,0

28、)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，eq o(PA,sup6()(2，x)，eq o(PB,sup6()(1，ax)，eq o(PA,sup6()3eq o(PB,sup6()(5,3a4x)，|eq o(PA,sup6()3eq o(PB,sup6()|225(3a4x)225，|eq o(PA,sup6()3eq o(PB,sup6()|的最小值为5.总结提高(1)平面向量数量积的运算有两种形式：一是依据长度和夹角，二是利用坐标运算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择，注意两向量a，b的数量积ab与代数中a，b的乘积写法不同，不应该漏掉其中的“”(2)求向量的夹角时要注意：向

29、量的数量积不满足结合律，数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角为钝角1(2014课标全国)设向量a，b满足|ab|eq r(10)，|ab|eq r(6)，则ab等于()A1 B2 C3 D5答案A解析|ab|2(ab)2a22abb210，|ab|2(ab)2a22abb26，将上面两式左右两边分别相减，得4ab4，ab1.2(2014四川)平面向量a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m等于()A2 B1C1 D2答案D解析因为a(1,2)，b(4,2)，所以cma

30、b(m,2m)(4,2)(m4,2m2)根据题意可得eq f(ca,|c|a|)eq f(cb,|c|b|)，所以eq f(5m8,r(5)eq f(8m20,r(20)，解得m2.7(2014江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB8，AD5，eq o(CP,sup6()3eq o(PD,sup6()，eq o(AP,sup6()eq o(BP,sup6()2，则eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()的值是_答案22解析由eq o(CP,sup6()3eq o(PD,sup6()，得eq o(DP,sup6()eq f(1,4)eq o(DC,sup6()eq f(1,4)eq o(AB,sup6()，eq o(AP,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(DP,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,4)eq o(AB,sup6()，eq o(BP,sup6()eq o(AP,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(1,4)eq o(AB,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq f(3,4)eq o(AB,sup6().因为eq o(AP,sup6()eq o(BP,sup6()2，所以(