导数的切线方程和图像知识点及习题

1、.PAGE . 导 数导 数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则1. 导数导函数的简称的定义：设是函数定义域的一点，如果自变量在处有增量，则函数值也引起相应的增量；比值称为函数在点到之间的平均变化率；如果极限存在，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.注：是增量，我们也称为改变量，因为可正，可负，但不为零.以知函数定义域为，的定义域为，则与关系为.2. 函数在点处连续与点处可导的关系：函数在点处连续是在点处可导的必要不充分条件.可以证明，如果在点处可导，则点处连续.事实上，令，则相当于.于是如

2、果点处连续，则在点处可导，是不成立的.例：在点处连续，但在点处不可导，因为，当0时，；当0时，故不存在.注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导函数为奇函数.3. 导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点P处的切线的斜率是，切线方程为4. 求导数的四则运算法则：为常数注：必须是可导函数.假设两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；假设两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设，则在处均不可导，但它们和在处均可导.5. 复合函数的求导法则：或复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：函数

3、单调性的判定方法：设函数在*个区间可导，如果0，则为增函数；如果0，则为减函数.常数的判定方法；如果函数在区间恒有=0，则为常数.注：是f*递增的充分条件，但不是必要条件，如在上并不是都有，有一个点例外即*=0时f* = 0，同样是f*递减的充分非必要条件.一般地，如果f*在*区间有限个点处为零，在其余各点均为正或负，则f*在该区间上仍旧是单调增加或单调减少的.7. 极值的判别方法：极值是在附近所有的点，都有，则是函数的极大值，极小值同理当函数在点处连续时，如果在附近的左侧0，右侧0，则是极大值；如果在附近的左侧0，右侧0，则是极小值.也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0.

4、此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小函数在*一点附近的点不同.注： 假设点是可导函数的极值点，则=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点是极值点的必要条件是假设函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数，使=0，但不是极值点.例如：函数，在点处不可导，但点是函数的极小值点.8. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进展比拟，最值是在整体区间上对函数值进展比拟.注：函数的极值点一定有意义.9. 几种常见的函数导数：I.为常数 II. III. 求导的常见方法：常用结论：.形如或两边同取自然对数，可转化求

5、代数和形式.无理函数或形如这类函数，如取自然对数之后可变形为，对两边求导可得.用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：假设曲线在点的切线平行于轴即导数不存在时，由切线定义知，切线方程为下面例析四种常见的类型及解法类型一：切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可例1曲线在点处的切线方程为 类型二：斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决例2与直线的平行的抛物线的切线方程是 类型三：过曲线上一点，求切线方程过曲线上

6、一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法例3 求过曲线上的点的切线方程类型四：过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解例4求过点且与曲线相切的直线方程例5函数，过点作曲线的切线，求此切线方程函数图象及其导函数图象函数在定义域可导，其图象如图，记的导函数为，则不等式的解集为_ 函数的定义域为开区间，导函数在的图象如下图，则函数的单调增区间是_如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为_ _ 假设函数的图象的顶点在第四象限，则其导函数的图象是 函数的图象过原点且它的导函数的图象是如下图的一条直线，则图象的顶点在 A第一象限 B第二象

7、限 C第三象限 D第四象限O12*yO12*y*yyO12yO12*O12*ABCD (2007年)设是函数的导函数,的图象如右图所示，则的图象最有可能的是设函数f(*)在定义域可导，y=f(*)的图象如下左图所示，则导函数y=f(*)的图象可能为()安微省市2010年高三第二次教学质量检测文科函数的图像如下右图所示，则的图像可能是*oy(2010年3月省市高三年级第一次调研考试文科)函数的导函数的图象如右图，则的图象可能是( )2010年省市高三十校联考文科如右图所示是*一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是 (A) (B) (C) (D)(2008二模文

8、、理)二次函数的图象如图1所示 , 则其导函数的图象大致形状是 2009卷文假设函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是 ( )yababao*o*ybao*yo*ybA B C D卷11如果函数的图象如右图，则导函数的图象可能是( )2008年卷12)函数y=f(*),y=g(*)的导函数的图象如下列图，则y=f(*),y=g(*)的图象可能是 (2008一模文、理)设是函数的导函数，将和的图像画在同一个直角坐标系中，不可能正确的选项是 ABCD*y*4OoO(省株洲市2008届高三第二次质检)函数的导函数的图像如下，则 函数有1个极大值点，1个极小值点函数有2个极大值点，2

9、个极小值点函数有3个极大值点，1个极小值点函数有1个极大值点，3个极小值点(2008质检理)函数的定义域为，其导函数的图象如下图，则函数在区间极小值点的个数是 (A).1 (B).2 (C).3 (D).4【市文】函数的图象大致是 【文】如图是二次函数的局部图象，则函数的零点所在的区间是 A. B.C. D.定义在R上的函数满足为的导函数，函数的图象如右图所示.假设两正数满足，则的取值围是 A BCD函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，如下图.求：的值；的值.1解：由则在点处斜率，故所求的切线方程为，即，因而选2 解：设为切点，则切点的斜率为由此得到切点故切线方程为，即，应选评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，应选3解：设想为切点，则切线的斜率为切线方程为又知切线过点，把它代入上述方程，得解得，或故所求切线方程为，或，即，或评注：可以发现直线并不以为切点，实际上是经过了点且以为切点的直线这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法4解：设为切点，则切线的斜率为切线方程为，即又切线过点，把它代入上述方程，得解得，即评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程