高等数学 第一章 第一节 函数通用PPT课件

1、高等数学 第一章 第一节 函数第一章 函数与极限函数数列的极限函数的极限无穷小与无穷大极限的运算法则极限存在准则与重要极限无穷小比较函数的连续性一、集合二、函数概念三、函数的简单性态五、反函数四、复合函数六、初等函数第一节 函数1.集合:集合：具有某种特定性质的事物全体。例： 集合 元素 特定性质 华工全体学生 学生 华工的 我班全体同学 学生 我班的 全体实数 数 实的但：所有高档商品不是一个集合，是一个模糊集合。元素：组成集合的事物。一、基本概念集合的表示 :描述法： 列举法： 文氏图：平面区域。集合的关系 :N-自然数集Z-整数集Q-有理数集R-实数集例题：例题：例题：注：数集是今后主要

2、研究的集合。2.区间特殊的数集: 是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间：称为开区间,称为闭区间,无限区间：4.邻域特殊的区间:为什么要讲邻域？答：函数的极限、连续、导数均讨论函数在一点附近的特征。4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意常量与变量是相对“过程”而言的.例如：重力g。通常用字母a, b, c等表示常量,而数值变化的量称为变量.用字母x, y, t等表示变量.二、函数概念 在同一自然现象中，往往同时存在几个变量一起变化，这几个变量不是孤立的变化，而是相互联系，遵循一定的规律。解释：

3、变量 ；对应法则 ； 定义域 。例如：自由落体运动 。例如：圆面积 。 解释：变量 ；对应法则 ； 定义域 。 定义：设 和 是两个变量， 是一个给定的数集。如果对于每一个数 ，变量 按照一定的对应法则总有确定的值与它对应， 则称 是 的函数，记作: , 数集D数集E按对应法则教学：将函数定义进行展开，能知道。因变量自变量定义域自变量因变量对应法则f1.函数概念的两要素:定义域与对应法则.定义域和对应法则都相同的函数，称为相同的函数。例2.函数的定义域D:自变量的取值范围。约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值. 3. 对应法则f：由自变量决定因变量取值的法则。常用的表现形式：

4、公式法、图形法、表格法。分段函数：在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数.不能看成两个函数！在分段点两侧，函数的表达式不同! (1) 符号函数特殊分段函数举例1-1xyo(2) 取整函数 y=xx表示不超过 的最大整数 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线有理数点无理数点1xyo(3) 狄利克雷函数(4) 取最值函数yxoyxo答： （2） 答： ；先小后大。 （1） （3）答： ；由外到内。 例题求下列函数的定义域答案例题1函数的单调性:三、函数的简单性态xyoxyo说明：1 单调增与单调减的函数，统称为单调函数。使函

5、数单调的区间，称为单调区间。2 单调性与函数本身有关，也与所考虑的区间有关。3 就上述例题，再谈谈连续性与单调性关系。M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX2函数的有界性:教学：详细讨论，引出抽象概念。(下界) (上界)3. 借助记号，进一步谈谈有界、无界的定义，举例说明。3函数的奇偶性:偶函数图形关于y轴对称。yxox-x奇函数图形关于原点对称。yxox-x4函数的周期性:显然，若T是周期，则kT也是。通常说的周期，是指其最小正周期.例1解有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期)不是单调函数,四、复合函数定义:例如：注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.3.常见的函数一般是复合函数，可以分解成一系列简单函数.例3解故五、反函数DEDE直接函数与反函数的图形关于直线 对称.六、初等函数1.幂函数2.指数函数3.对数函数4.三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数5.反三角函数 定义：幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.6.初等函数由常数和基本初等函数，经过有限次四则运算及有限次复合运算，且能够用一个式子表达的函数, 称为初等函数.（幂指函数