第六章5含参变量的积分

1、含参变量的积分连续性可导性公式2013年4月南京航空航天大学 理学院 数学系1一、含参变量积分的连续性a x b , b 设函数 (f上的连续函数.x, y在 ay 在, y是),在矩形R()b上任意确定x 的一个值, 于是上 的一个一元连续函数, , (fx, y是)变量从而积分f定的 x 值.跟着改变.x()存dy在,这个积分的值依赖于取当 x 的值改变时,一般来说这个积分的值也这个积分确定一个定义在 a,b上 的 x的函把它记作(x ),即数, dy( xa b( )xf,y). x2013年4月南京航空航天大学 理学院 数学系2这里变量 x 在积分过程中是一个常量，通常称它为参变量.如

2、果函数 (fx, y 在) 矩形定理1, b a x bR()上连续，那么由积分) f x ()dy (x(y ,ax)b确定的函数(x在) a,b上 也连续.上 的两点，则)设(f证( xx,)y( f ,x)y.dy (12013年4月南京航空航天大学 理学院 数学系3由于 f ( x, y)在闭区域 R上连续，从而一致连续.0 ,存在 0,使得对于 R内因此对于任意取定的的任意两点( x1 , y1 ) 及( x2 , y2 ) ,只要它们之间的距离小于 ,即 y )2 ,( x x )2 ( y2121就有f ( x , y ) f ( x , y ) .2211因为点( x x, y

3、)与 ( x, y) 的距离等于x,所以当x 时,就有f ( x x, y) f ( x, y) .于是由（1）式有2013年4月南京航空航天大学 理学院 数学系4(x)f()ydy( fx,x )在 ay),x).所以(,b上 连续.定理得证b上 连续,那么它在 a既然函数(x )在 a,b上注的积分存在,这个积分可以写为bb( dx) fxx(,yx,)ydy . dydxabaf (dxa对 y 后对 x 的二次积分.右端积分式函数 (fx, y先)2013年4月南京航空航天大学 理学院 数学系5f ( x, y)在矩形定理2如果函数R(a x b, y )上连续,则bbf ( x, y

4、)dydx f ( x, y)dxdy.(2)aa公式（2）也可写成bb(2)f ( x, y)dy dxdyf ( x, y)dx.aa2013年4月南京航空航天大学 理学院 数学系6在实际中还会遇到对于参变量 x的不同的值，积分限也不同的情形，这时积分限也是参变x量的函数.这样,积分 x x x ,ydy 3f x也是参变量 x 的函数.下面考虑这种更为广泛地依赖于参变量的积分的某些性质.2013年4月南京航空航天大学 理学院 数学系7(fx, y 在)矩形定理3如果函数a x b, y R(上连续，又函数(),x )与( x 在)区间 ab上连续，并且 ( )x , (x ) a ( x

5、 bb上 也连续.),则由积分（3）确定的函数 (x 在) a,是 a,b上)dy)证设(的两点，则(x( x )x) x(xyf,f ,x)y.(x( x )x)2013年4月南京航空航天大学 理学院 数学系8 xxx, fx(y )dyx)(x( x( x )x( y (f x ,fx,dy )xydy( x )(xx)(xx) f(x,)x(y)(d, y( x )x )f x( x,y)dyx)(x(xx) fx,x(y )dy( x )( x ) f (xx,)y( f , x)y.dy (4)( x )当x 0时，上式右端最后一个积分的积分限不变，2013年4月南京航空航天大学 理

6、学院 数学系9根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于零.又 ( x ) ( xx ) ( xx )f ( x x, y)dy M ( x x) ( x), ( x )f ( x x, y)dy M ( x x) ( x).f ( x, y) 在矩形 R上的最大值. 根据 ( x)其中M是与 ( x) 在a,b上连续的假定，由以上两式可见，当x 0 时，（4）式右端的前两个积分都趋于零.x 时0，于是，当( x x) ( x) 0所以函数( x) 在a,b上连续.(a x b),定理得证2013年4月南京航空航天大学 理学院 数学系10二、含参变量的函数的微分下面考虑由积分(*)确定的函数(

7、x)的微分问题.f ( x, y)都在f ( x, y)及其偏导数定理4如果函数x矩形 R(a x b, y )上连续,那么由积分(1)确定的函数 ( x) 在a,b上可微分,并且f ( x, y) dy.d ( x) f ( x, y)dy (5)xdx2013年4月南京航空航天大学 理学院 数学系11() ) x因为(lim,证xx0为了求(x ，)先利用公式(1)作出增量之比f( x x,y ) f(xy(,) dy.xx日中值定理，以及 f 的一致连续性，由有xx ( xxfx ,x)y (ff(x, y)y,)xf (x , (y) ,x, y), x(6)x2013年4月南京航空航

8、天大学 理学院 数学系121， 其中0可小于任意给定的正数，只要x 小于某个正数 . 因此x (y d) y ( dy),x,(x.x ( y , )dy这就是l说im,x0 x0综上所述有 ) fx( y(,) (xy, dy,x)xx令x 0 取上式的极限，即得公式（5）.2013年4月南京航空航天大学 理学院 数学系13三、公式(fx, y)如果函数 (fx, y 及) 其偏导数定理5在都x连) 续，又函数 (a x b, y x )矩形上R(与( x 在)( )区间 a ,b上 可微，并且x , (x ) x 在) aa ( x bb上 可微，并且),则由积分(3)确定的函数 (,)(

9、fdx, yx)( x)x(x() x )f, ydydydx(x)x) f ,f).2013年4月南京航空航天大学 理学院 数学系14由(4)式有证f( x x) f(,yxy(,( x )dyxxdy(x )1(xx)x,fx(y )x1( x )( x )当,x ) yf ( x.dy(8)xx(xx)0时，上式右端的第一个积分的积分限不变，则x , xy) )(f(ff(xy, dy )x, y)( x)( xdy.xx( x )( x )2013年4月南京航空航天大学 理学院 数学系15对于(8)右端的第二项，应用积分中值定理得1(xx)x,fx(y )dyx(x) (),在(x x

10、 )之间. 当x 0时,x与)其中1 ( )( x),x x ,x ) f, xf (x),2013年4月南京航空航天大学 理学院 数学系161 ( x x )f ( x x, y)dy f x, ( x) ( x).于是x ( x )类似地可证,当 x 0 时,1 ( xx )f x, ( x) ( x).f ( x x, y)dy x ( x )因此，令x 0 ，取(8)式的极限便得公式(7).公式(7)称为莱布尼茨公式.2013年4月南京航空航天大学 理学院 数学系17sin xyx 2设 (求 (x )dy,例1x ).yx解应用公式，得si22x) x(coxsydy1x2sin x

11、y2 xsinx3xs2in xxxx3sinx32x2sin.x2013年4月南京航空航天大学 理学院 数学系18xaxb1I (0 a b).dx例2求ln x0 xax yxbbx ydy b,解aln yln xa1bI dxx dy.y0a这里函数 f ( x, y) x y 在矩形R(0 x 1,0 a y b)上连续，根据定理2，可交换积分次序，由此有1 x dy y1dy ln b 1 .1b1I dybbyx dy y 1y 1a 1a0aa02013年4月南京航空航天大学 理学院 数学系191 xln1 ()计算定积分 I 0dx.例31 x2解考虑含参变量( 的积分所确定

12、的函数1xln()1)dx.1 x20(显然0 ，),0( 1I根)据公式.(5)得1) ( .(10)2013年4月南京航空航天大学 理学院 数学系20把被积函数分解为部分分式,得到 x1x.11 x1(2x2于是( dx dx1xdx1111 2 1x2) x1 x21000 , 11 )ln( 12ln1 2242013年4月南京航空航天大学 理学院 数学系21上式在 0,1上对积分,得到1 ln(1 ) d0(1) (0) 1 2d d ,1 ln 2111 1 222400ln 2 4 ln 2ln 2I I I .即284242I ln 2.从而2013年4月南京航空航天大学 理学院 数学系22四、小结1、含参变量的积分所确定的函数的定义 ；2、含参变量的积分所确定的函数的连续性；3、含参变量的积分所确定的函数的微分；4、公式及其应用.2013年4月南京航空航天大学 理学院 数学系23练习题一、求下列含参变量的积分所确定的函数的极限：dy1 x2y2 cos( xy)dy.1 lim;2 lim1 x2 y2x0 xx00二、求下列函数的导数：x ln(1 xy)x 21 ( x) 0三、设 F ( x) 2 ( x) xexy 2dy;dy.yx( x y) f (