直线的倾斜角与斜率、直线的方程(人教A版·数学理)浙江专用

1、第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 完全与教材同步，主干知识精心提炼。素质和能力源于基础，基础知识是耕作“半亩方塘”的工具。视角从【考纲点击】中切入，思维从【考点梳理】中拓展，智慧从【即时应用】中升华。科学的训练式梳理峰回路转，别有洞天。去尽情畅游吧，它会带你走进不一样的精彩！三年3考 高考指数:1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念及相互间的关系，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直；4.掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式等），了解斜截式与一次函数的关系.1.直线的斜率、方程以

2、及两直线的位置关系是高考的重点；2.常与圆锥曲线综合命题，重点考查函数与方程思想和数形结合思想；3.多以选择题和填空题的形式出现，属于中低档题目.1.直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角一个前提：直线l与x轴_；一个基准：取_作为基准；两个方向：x轴正方向与直线l向上方向.当直线l与x轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为_.相交x轴0(2)直线的斜率定义：若直线的倾斜角不是90,则斜率k=_;计算公式：若由A（x1,y1）,B(x2,y2)确定的直线不垂直于x轴，则k=_. tan【即时应用】(1)过点M（-2,m），N(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为_；(2)直线 x-y+1=0的倾斜角

3、为_.【解析】(1)由斜率公式得： =1，解得m=1.(2) x-y+1=0的斜率k= ，即倾斜角的正切值tan= ，又0，= .答案：（1）1 （2） 2.两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系.直线l1 、l2不重合，斜率分别为k1，k2且都存在l1l2k1=k2l1l2k1k2=-1【即时应用】（1）已知直线l1过点A(-1,1)和B(-2,-1),直线l2过点C(1,0)和D(0,a),若l1l2,则a=_；（2）直线l的倾斜角为30，若直线l1l，则直线l1的斜率k1=_；若直线l2l,则直线l2的斜率k2=_.【解析】（1）l1与l2的斜率分别为k1= ，k2= 由l1l2可知：a=

4、-2.（2）由直线斜率的定义知，直线l的斜率k=tan30= ，l1l，k1=k= ,ll2,k2k=-1,k2= =- .答案：（1）-2 （2） 3.直线方程的几种形式【即时应用】(1)思考：过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线方程能否写成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)？提示：能写成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1).当x1x2且y1y2时，直线方程为： 可化为上式；当x1x2，y1=y2时，直线方程为：y=y1也适合上式；当y1y2，x1=x2时，直线方程为：x=x1也适合上式；综上可知：过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线

5、方程能写成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1).(2)已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为- ，则直线l的方程为_.【解析】由直线的点斜式方程得，直线l的方程为：y-5=- (x+2)，即3x+4y-14=0.答案：3x+4y-14=0(3)经过两点M(1,-2)，N(-3,4)的直线方程为_.【解析】经过两点M(1,-2)，N(-3,4)的直线方程为答案：3x+2y+1=0 例题归类全面精准，核心知识深入解读。本栏目科学归纳考向，紧扣高考重点。【方法点睛】推门只见窗前月：突出解题方法、要领、答题技巧的指导与归纳；“经典例题”投石冲破水中天：例题按层级分梯度进行设计，层层

6、推进，流畅自然，配以形异神似的变式题，帮你举一反三、触类旁通。题型与方法贯通，才能高考无忧！ 直线的倾斜角与斜率【方法点睛】1.斜率的求法（1）定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值,一般根据k=tan求斜率；（2）公式法：若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)，一般根据斜率公式k= (x1x2)求斜率. 2.直线的斜率k与倾斜角之间的关系【提醒】对于直线的倾斜角，斜率k=tan（90），若已知其一的范围可求另一个的范围. 0k0不存在k 00909090 180k 0【例1】(1)(2012福州模拟）直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是( )(A)0, (B)

7、 ,)(C)0, ( ,)(D) , ) ,)(2)已知两点A（m,n），B(n,m)(mn)，则直线AB的倾斜角为_；(3)已知点A(2,-3)，B(-3,-2)，直线l过点P(1,1)且与线段AB有交点，则直线l的斜率k的取值范围为_.【解题指南】（1）直线倾斜角与直线的斜率有关，而已知直线的方程，因此可先求直线的斜率，由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围；（2）先由公式法求出斜率，再求倾斜角；（3）直线l的斜率的取值范围，可由直线PA、PB的斜率确定；也可先写出直线l的方程，再由点A、B在直线l的异侧（或A、B之一在l上）求解.【规范解答】(1)选B.因为直线x+(a2+1)y+1=0

8、的斜率k= 且-1 0，所以直线的倾斜角的取值范围是 3,b2.从而SABO 故有SABO=(a-3)+ +6当且仅当即a=6时,(SABO)min=12,此时此时直线l的方程为即2x+3y-12=0.方法二：由题可设直线方程为 (a0,b0),代入P（3,2）,得得ab24,从而SABO= ab12,当且仅当 时,等号成立,SABO取最小值12，此时此时直线l的方程为2x+3y-12=0.方法三：依题意知,直线l的斜率存在.设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k0),则有A（3- ,0）,B(0,2-3k),SABO= (2-3k)(3- )= 12+(-9k)+ 12+2 = (12+1

9、2)=12,当且仅当-9k= ,即k=- 时,等号成立，SABO取最小值12.此时，直线l的方程为2x+3y-12=0.方法四：如图所示,过P分别作x轴,y轴的垂线PM,PN,垂足分别为M,N.设=PAM=BPN,显然(0, )，则SABO=SPBN+S四边形NPMO+SPMA= 33tan+6+ 22=6+ tan+ 当且仅当 tan= ,即tan= 时,SABO取最小值12,此时直线l的斜率为- ,其方程为2x+3y-12=0.【反思感悟】1.此题是直线方程的综合应用，解题时，可灵活运用直线方程的各种形式，以便简化运算.2.以直线为载体的面积、距离的最值问题，一般要结合函数、不等式的知识或

10、利用对称性解决.【变式训练】已知直线l:kx-y+1+2k=0(kR).(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围;(3)若直线l交x轴负半轴于A,交y轴正半轴于B,AOB的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程.【解析】（1）直线l的方程是：k(x+2)+(1-y)=0,令无论k取何值，直线总经过定点(-2,1).（2）由方程知，当k0时直线在x轴上的截距为在y轴上的截距为1+2k，要使直线不经过第四象限，则必须有 解之得k0;当k=0时，直线为y=1，符合题意，故k0.(3)由l的方程，得A（ ),B(0,1+2k).依题意得 解得k0.S=

11、|OA|OB|= | |1+2k|= = (4k+ +4) (22+4)=4,“=”成立的条件是k0且4k= ,即k= ,Smin=4,此时l的方程为:x-2y+4=0. 把握高考命题动向，体现区域化考试特点。本栏目以最新的高考试题为研究素材，解析经典考题，洞悉命题趋势，展示现场评卷规则。对例题不仅仅是详解评析，更是从命题层面评价考题，从备考角度提示规律方法，拓展思维，警示误区。【考题体验】让你零距离体验高考，亲历高考氛围，提升应战能力。为你顺利穿越数学高考时空增添活力，运筹帷幄、决胜千里。【创新探究】与直线方程有关的创新命题【典例】(2011安徽高考）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，

12、就称点(x,y)为整点，下列命题中正确的是_（写出所有正确命题的编号）.存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果k与b都是无理数，则直线y=kx+b不经过任何整点直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数存在恰经过一个整点的直线【解题指南】存在性问题，只需举出一种成立情况即可，恒成立问题应根据推理论证后才能成立；注意数形结合，特例的取得与一般性的检验应根据命题的特点选择合适的情形.【规范解答】正确.例如y= x+ ,当x是整数时, y是无理数,（x,y）不是整点；不正确,如y= x- 过整点（1,0）；设y

13、=kx(k0)是过原点的直线，若此直线过两个整点(x1,y1),(x2,y2)，则有y1=kx1，y2=kx2，两式相减得y1-y2=k(x1-x2)，则点(x1-x2,y1-y2)也在直线y=kx上，通过这种方法可以得到直线l经过无穷多个整点，通过上下平移y=kx知对于y=kx+b也成立，所以正确；不正确,如y= x+ ,当x为整数时,y不是整数,此直线不经过无穷多个整点；正确,如直线y= x,只经过整点（0,0）.答案：【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，我们可以得到以下创新点拨和备考建议：创新点拨本题有三处创新点：（1）本题为新定义问题，题目的结构形式、设问方式都有创新；（2）考查内容的

14、创新，在考查直线的斜率、倾斜角、充要条件等知识的基础上，还考查了学生的发散思维，思维方向与习惯思维不同；（3）考查方式的创新，对直线方程的考查，由常规方式转换为以整点为载体考查直线方程的确定方式.备考建议解决与直线方程有关的创新问题时，要注意以下几点：（1）充分理解直线的倾斜角、斜率的意义；（2）掌握确定直线的两个条件；（3）注意数形结合的运用，在平时的学习和解题中，多思考一些题目的几何意义；（4）注意逆向思维、发散思维的训练.1.(2012福州模拟）已知直线l1的倾斜角为 ，直线l2经过点A（3，2），B(a,-1),且l1与l2垂直，则a等于( )(A)-4(B)-2(C)0(D)2【解析

15、】选C.依题意知:直线l1的斜率k1=tan =-1，又因为直线l1与直线l2垂直，直线l2的斜率k2= ，所以k2= =1，解得a=0.2.(2012衢州模拟）直线l经过点A（2，1），B（1，m2）（mR）两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是( )（A）0,）（B）0, ,)（C）0, （D）0, （ ,）【解析】选D.k= =1-m21,又k=tan,0,所以l的倾斜角的取值范围是0，（ ,）, 故选D.3.(2012佛山模拟)若三点A(1,1),B(-1,0)及C(2,k)在同一直线上，则k值等于_.【解析】A(1,1),B(-1,0),C(2,k),又A、B、C三点在一条直线上， =k-1,k= .答案： 4.(2011浙江高考）若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂直，则