化工数学课件：第六章 场论初步

1、第六章：场论初步一、 场若空间某个域内每一点都对应有一个或几个确定值的物理量，这些量值可表示为空间点位置的连续函数，则称此空间域为场 1 数量场和向量场二、数量场三、向量场数量场、向量场可以是时间的函数2.1 向量代数复习一、 向量的点积（2）物理意义：（1）定义表示质点在力 的作用下沿 方向移动距离 所做的功2 向量的导数（3）直角坐标系下的计算 如果设 则 （4）向量的模 （5）单位向量（6）点积的运算性质 交换律： 分配律： 结合律： 二、 向量的叉积（1）定义方向：符合右手螺旋法则 大小：（2）物理意义：（3）直角坐标系下的计算 （4）叉积的运算性质 不满足交换律： 分配律： 结合律：

2、 三、 向量的三重积（1）数乘： （2）三重数性积： 物理意义：直角坐标系下的计算 运算性质 （3）三重矢性积： 计算方法 2.2 向量的导数一、 向量对一纯量的导数（1）定义（2）直角坐标系下的计算 如果设 则 例1 曲线的切线 流体质点运动轨迹曲线 可用一向量函数 （3）向量的求导公式 二、 向量偏导数（1）定义（2）直角坐标系下的计算 若 则（3）求导公式 多元矢函数的求偏导数的法则可参照多元标函数求导法则，当然要考虑到矢函数乘积与标函数乘积的不同 一、 等值面数量场内，使组成的曲面，称为等值面 取相同值的所有点M3 数量场的梯度平推流反应（1）定义记作 二、 方向导数（2）直角坐标系下

3、的计算 所以 台劳展开 方向导数公式例 1 室内温度分布 试求（1）在点（1，1，1）处沿温度变化率；（2）问沿那个方向的温度变化率最大，值为多少？解（1）暂停：休息（2）3、 数量场的梯度（1）定义称为数量场的梯度。 定义一个模值为，方向为的向量，记作 其中 数量场的梯度是向量场。数量场在某点的梯度是沿该点等值面法线方向的向量，它指向增长方向。函数沿梯度方向增长最快，梯度的模值就是该点的法向导数 （2）直角坐标系下梯度的计算 由定义梯度公式x方向导数：由(6-24)可知：y方向导数：z方向导数：代入式（1）（是l与n的夹角）书中有误（3）梯度与方向导数的关系 引进一个向量算符“ ”-称为哈密

4、顿算符在直角坐标系中其表达式为：（4）梯度的运算性质 注意： 则运算性质如下：例 一均匀细杆稳态导热问题。设其杆的一端恒温为T1，另一端恒温为T2，试确定杆温度沿杆的分布情况。 T2T1x=0 x=l一维稳态过程模型的建立第一类边界条件xxx梯度应用4 向量场的散度1、向量场的通量 （1）有向曲面的定义：规定了正方向的曲面（2）向量场的通量的定义 一个向量场，沿着场内某有向曲面的面积分称为向量场 通过曲面一侧的通量 当为封闭的曲面时 ，通量为：例2 解释通量 的物理意义计算流速为 的不可压缩流体流经曲面的质量流量。流体沿法线正向流动，就是流体从曲面所包围的域内流出，而沿法线反向流动就是流体从流

5、入域。Q0 “源” Q0 “沟” 流量2、向量场的散度 （1）平均源强度的定义 设闭曲面所包围域的体积为，则向量 通过其闭曲面的通量除以体积就表示域中“源”（或“沟”）的平均强度，或称为单位体积“源”（或“沟”）的强度，其数学表示为（2）向量场的散度的定义 当区域不断缩小，以至于缩到一个点；取 为包围点M的一个微小闭曲面，是以为界面的微元体体积，则其平均源强度极限值,称为向量场 在点M处的散度 （3）直角坐标系下散度的计算公式记作xyxx-x/2x+x/2散度的计算公式的推导通量： 所以 同样有 引入哈密顿算符，则散度公式又可写作3、散度的运算性质 4、散度定理 设 是连续可微的矢性点函数，是

6、包围域D且体积为的光滑封闭曲面，则散度定理给出 式中 为的外法向单位矢量。 奥高公式 5、散度的应用建立流体的连续性方程 在区域D内流体以流速 连续流动，设流体的密度为 ,区域D内无质量产生，试建立流体的连续性方程：如果为不可压缩流体，则有暂停：休息5 向量场的旋度 ABCDv2v11、向量场的环量 向量场 沿有向闭曲线 的曲线积分称为向量场 沿 的环量 向量场环量的定义2、向量场的旋度 （1）环量面密度 设 M 是向量场 内任意一点， 为包围点的无限小的有向封闭曲线， 为 所包围的有向曲面，其法线正方向与 的正方向形成右螺旋系统 若向量 沿封闭曲线 的线积分（环量）与 所围曲面面积 之比，当

7、 时若其极限存在 则称为环量面密度，写作（2）向量场的旋度 定义一向量称为向量场在点M处的旋度，记作 （3）旋度在直角坐标系下的计算公式例3 设不可压缩的流体以角速度 绕 轴旋转，求流体质点的切向速度的旋度（4）旋度的运算性质 3、斯托克斯定理设为一封闭的有向曲线 （不交叉的）所围的双侧空间曲面。 的正向与曲面的外法线正向成右螺旋系统 为连续可微的矢函数，则矢函数 绕 正向的环流量等于在上的旋度的通量，即其中为面上任一点的外法向单位向量。斯托克斯定理可表示为 6 梯度、散度、旋度在柱、球坐标系的表达式一、球坐标下梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符表达式 单位向量： 二、柱坐标下梯度、散度、旋度及拉

8、普拉斯算符表达式单位向量： 7 三种常用的向量场 一、管形场无源场 对于给定的向量场 ，若在某定义域中每一点处都有：则称 为管形场（或无源场） 无源场内通过任意闭曲面的通量为零，即 1、定义 2、性质 例 如万有引力场(由散度定理可以推论） 若流速场 为管形场，则流体流经任一截面的流量为一常量 证明：由性质 0所以：即：化工原理上的连续性方程二、 有势场无旋场1、定义 对于给定的向量场 ，若在某定义域中每一点处都有：则称 为有势场（或无旋场） 例 如电力场，磁力场均为有势场2、性质 无旋场内通过任意有向曲线的积分为零，即 所以，曲线积分与路径无关，只取决于起点和终点 由斯托克斯定理可以推出 若向量场 为有势场， 称为向量场的势函数则一定存在一数量场使所以，势函数是一簇曲线势函数的两种求取方法 （）曲线积分法 推导设为有势场由性质知必存在势函数，使于是 曲线l M0(x0,y0,z0)M (x, y, z)xyzB(x, y, z0)A(x, y0, z0)由性质，曲线积分与路径无关 例 4 验证下列向量为有势场，并求其势函数解： 由曲线积分法 所以 （）解偏微分方程法 由得到一组偏微分方程 用解偏微分方程法解例4 由：得：（1）（2）对（1）式积分得： 代入（2） （3）（4）积分上式得： （5）将（5）代入（4）积分得： 即： 所以： 得 然后