概率课件：第二章 随机变量及其分布2

1、第三节 随机变量的分布函数一、概念的引入需要知道 X 在任意有限区间(a, b)内取值的概率.分布函数 例如 |x二、定义设X 是随机变量，x为任意实数，称函数为X 的分布函数(distribution function)X 的分布函数是F(x)记作 X F(x) 或 FX(x) 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间的概率.分布函数完整地描述了r.v.的统计规律，只要知道随机变量X的分布函数， 就可以计算它取任何值的概率.三、分布函数的性质1 单调不减即 若 x12时, X x为必然事件,于是 F(x)= PX x=1当x0时，事件Xx为不可能事件

2、，于是 F(x)= PXx=0综上所述 x0 1 2 3F(x)的图形F(x) 11/2【注】本例中分布函数F(x)的图形是一条连续曲线，且除x=2外，补充定义x=2处函数值为0后，得到第四节 连续型随机变量及其 概率密度二、概率密度的概念与性质一、连续型随机变量三、 三种重要的连续型随机变量一、连续型随机变量定性定义 随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间,叫做连续型随机变量.连续型随机变量特点：例：设X为在0，2任意取点的坐标，则X为连续型随机变量, 若其分布函数为 显然，二、概率密度的概念与性质1.定义1probability density.f(x)几何意义：曲线y=f(x)与x

3、轴之间的面积等于1连续型随机变量X的F(x)连续.2. 性质可得计算公式： 几何意义：X落在区间(x1，x2的概率Px10.1。 解: (1)由于 于是X的概率密度为 ，解得k=3.(2)从而 练习解(1)例2: 连续型随机变量X的分布函数（1）求A，B（2）求X的概率密度（3）P-1X0,t0有则称X的分布具有无记忆性.指数分布具有无记忆性 2. 指数分布有着重要应用.如动植物的寿命、无线电元件的寿命，以及随机服务系统中的服务时间等都可用指数分布来描述.解：分析：关键：t0时,Tt=N(t)=0. 时间间隔大于t，在0，t时间内未发生故障。 因为Tt=N(t)=0,服从参数为的指数分布。例4

4、 设设备在任何长为t 时间内发生故障的次数N(t) (t) 的possion分布,求相继两次故障间的时间间隔T的分布函数。 .其中 , ( 0) 为常数, 则称X服从参数为 , 的正态分布，记为 .显然，f(x)0，且可以证明参数 的意义将在后面的章节中给出 (三) 正态分布若随机变量X的概率密度为 正态分布的概率密度函数f(x)的性质(1) 曲线关于直线 x= 对称 .(2) 当 x= 时，f(x)取得最大值;(3) 在 x= 处曲线有拐点，且以x轴为渐近线 ;Of(x)x(4) 对固定的,改变的值,图形沿Ox轴平移;(5) 对固定的,改变, 越小,图形越尖.正态分布的分布函数为:标准正态分

5、布当=0, =1时,称X服从标准正态分布,记作XN(0,1).其概率密度与分布函数分别用 (x),(x)表示.即xOxO-11(1) (x)是偶函数，即 (x)= (x);(x)与(x)的性质(2) 当x=0时， (x) 取得最大值 ， ; (3) (x)=1(x); 例3 已知 , 求为了便于计算, 人们已经编制了 的函数表（382页附表2 标准正态分布表）解: 引理 设 ,则（化为标准正态分布） XN(, 2) 的计算证明2 【注】1若XN(, 2),则正态分布表 第331页附有标准正态分布函数数值表当-x0时表中给的是x 0时, (x)的值.证明:由此知的分布函数为 例4 设XN(1.5

6、，22)，求： (1) PX3.5； (2) PX 2； (4) PX3解 (1) PX3.5=F(3.5)= ( )=(1)=0.8413(2) PX2=1PX2=1F(2)=1( ) =1(0.25) =10.5987=0.4013(4) PX3= P3X0 时, 注意到 Y=X2 0，故当 y 0时，解： 设Y和X的分布函数分别为 和 ，若则 Y=X2 的概率密度为：称Y服从自由度为1的 分布。已知 ，求 的概率密度设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数为2的指数分布，每当设备出现故障时就自动关机，而在无故障的情况下，设备工作8小时便自动关机，试求设备每次开机至关机这段工作时间Y的分布

7、函数-利用数形结合帮助分析！解例：设随机变量X服从参数为2的指数分布，令Y=minX,8，求随机变量Y的分布函数答案答案定理2.公式法证：只证g(x)0的情况。此时g(x)在(-,+ )严格单调增加，它的反函数h(y)存在，且在(，)严格单调增加，可导，现在先来求Y的分布函数FY(y)。因为Y=g(X)在(，)取值，故当y时， FY(y)=PYy=0；此定理的证明与前面的解题思路类似.当y时， FY(y)=PYy=1；当y0(或恒有g(x)0)，此时 若g(x)0, 同理可证若g(x)不是单调函数不能用此定理.设随机变量 . 试证明X 的线性函数 例4 解: X的概率密度为 现在y=g(x)=ax+b, 由这一