理论力学-静力学：第一章 质点的平衡

1、静力学 STATICS第一章 质点的平衡第二章 刚体的平衡第三章 刚体系与结构的平衡第四章 质点系的平衡7/11/20221第一章 质点的平衡平 衡(equilibrium)：在惯性参考系中处于静止状态。要研究的问题： 如何建立力学模型 如何进行受力分析 如何寻找平衡规律7/11/202221-0 力学模型与力系质点(particle)：具有质量而其形状、大小可以不计的物体。 当物体平衡时，若求绳索的拉力，物体可视为质点。 当研究行星的轨道动力学问题时，行星可视为质点。 研究对象的力学模型：mg7/11/202231-0 力学模型与力系当研究航天器姿态动力学问题时刚体、质点系、刚体系刚 体(r

2、igid body)：特殊的质点系，其上任意两点间的距离 保持不变 。质点系(particle system)：具有一定联系的若干个质点的集合 7/11/202241-0 力学模型与力系质点上述物体静止放在地面上，仅研究地面对其支撑力仅研究铅球质心在空中的运动轨迹刚体仅研究乒乓球、足球和铁饼的质心在空中运动轨迹（其姿态的运动状态与质心的运动有关）讨论：乒乓球、足球、铅球、铁饼的力学模型7/11/202251-0 力学模型与力系 由于球体的旋转，使得球体两侧的压力不同而产生侧向力。7/11/202261-0 力学模型与力系力的作用效应(effects of action of the force

3、): 内效应(internal effect): 物体的变形。外效应(external effect): 物体的运动状态的改变注意：力作用于可变形的物体时，既有内效应，也会有外效应。力作用于刚体时，不会有内效应，只可能有外效应。“勇气号”火星探测器着陆装置7/11/20227 等效力系(equivalent force system): 对同一刚体产生相同作用效应的力系1-0 力学模型与力系 力 系(force system): 作用在物体上的一组力 合力(resultant force) : 与某力系等效的力 平衡力系(force system in equilibrium): 对刚体不产生

4、任何作用效应的力系7/11/202281-0 力学模型与力系 若共点力系中，力的作用线在同一平面内，则称为平面共点力系(concurrent coplanar force system)。 若共点力系中，力的作用线不在同一平面内，则称为空间共点力系(concurrent noncoplanar force system) 。AA共点力系(concurrent force system):力作用线汇交于一点的力系。7/11/202291-1 共点力系的合成一、几何法（矢量法）力多边形设 为作用在A点的力系，求其合力结论：合力为力多边形的封闭边设 为作用在A点的共点力系A7/11/2022101-

5、1 共点力系的合成二、解析法(投影法)xyzA其中： 是合力矢量 与三个坐标轴的夹角7/11/2022111-2 共点力系的平衡条件一、几何平衡条件结论：力多边形自行封闭特点：利用几何法（矢量法），便于定性分析平衡问题。7/11/2022121-2 共点力系的平衡条件二、解析平衡条件有三个独立的平衡方程有两个独立的平衡方程结论：满足平衡方程特点：利用解析法，便于定量分析平衡问题。xyzA空间力系平面力系7/11/2022131-2 共点力系的平衡条件思考题： 空间汇交力系的平衡方程的投影轴必须相互垂直吗？O问题： 根据该思考题，你还能提出什么新问题？7/11/202214在学习理论力学中要多思

6、考问题问题的来源：教材或习题中的力学问题力学发展史中的力学问题身边的力学问题工程中的力学问题新闻中的力学问题7/11/202215主要参考书朱照宣等编的理论力学（上下册）北京大学出版社贾书惠主编的理论力学高等教育出版社梅凤翔主编的工程力学（上下册）高等教育出版社刘延柱主编的理论力学高等教育出版社R.C.Hibbeler, Engineering Mechanics, 高等教育出版社.马尔契夫著，李俊峰译理论力学高教育出版社7/11/202216上节课的主要内容基本概念平衡、质点（系）、刚体、力系、等效力系、合力、平衡力系、共点力系基本方法共点力系的合成（几何法、解析法）共点力系的平衡条件（几何

7、法、解析法）本次课要研究的问题如何进行受力分析如何将基本概念与方法应用于实际问题7/11/2022171-3 平衡问题的解法一、约束与约束力约 束(constraint)：限制物体运动的条件。约束体(constraint body)：约束非自由体运动的物体。列车是非自由体铁轨是约束体约束力(constraint force)：约束体作用在非自由体上的力。铁轨作用在车轮上的力为约束力7/11/2022181-3 平衡问题的解法约束力的方向与限制物体运动的方向相反（一）柔索绳索、 链条、皮带等假设条件：不计质量 。 约束力特点：力沿柔索方向，受拉。限制该方向的运动限制运动的条件7/11/20221

8、91-3 平衡问题的解法（二）光滑面约束约束力沿公法线方向指向被约束的物体BAC公切面公法线假设条件：不计摩擦7/11/2022201-3 平衡问题的解法不计摩擦时，齿轮间的约束也属于光滑面约束。7/11/2022211-3 平衡问题的解法1、固定铰链支座AA固定铰链简图（三）光滑圆柱铰链7/11/2022221-3 平衡问题的解法首都机场二号航站楼顶棚拱架支座7/11/2022231-3 平衡问题的解法2、连接铰链BBB注意：作用力与反作用力的关系7/11/2022241-3 平衡问题的解法3、活动铰链支座AA4、径向轴承7/11/2022251-3 平衡问题的解法固定与可动铰链支座的应用7

9、/11/2022261-3 平衡问题的解法（四）光滑球铰链AA人造髋关节7/11/2022271-3 平衡问题的解法（五）二力构件/二力杆二力平衡原理：作用于刚体上的两个力为平衡力系的充分必要条件是：此二力等值、反向、共线若刚体上只有两点受力且不计其质量，则该刚体称为二力构件或二力杆。作用力沿两点连线、大小相等、方向相反。W不计杆件自重W7/11/2022281-3 平衡问题的解法二、受力图根据约束的类型画出研究对象的受力图例：结构如图所示，不计构件自重，画出AB杆的受力图。DCWABWABDCABWCCD杆为二力杆7/11/2022291-3 平衡问题的解法例：画出AB杆的受力图(b)CBA

10、D(a)ABCD7/11/202230A1-3 平衡问题的解法例：画出滑轮、CD杆、AB杆和整体受力图，不计构建自重。WWWABCD1、研究滑轮2、研究CD杆7/11/2022311-3 平衡问题的解法ABC3、研究AB杆4、研究整体WABCDWWWWCAB研究整体时，不画物体间的内力A7/11/202232例：已知物体的重量为P，求：维持平衡时F 的最小值及其方向。BCAD解：1、取研究对象：销钉C2、受力分析画受力图CBCB3、研究CB杆和销钉B7/11/202233PABCDxyz例：结构如图所示，杆重不计，已知力P，求BC杆的内力和绳BD的拉力。解：研究铰链B空间力系PABCDxyz7

11、/11/2022341-3 平衡问题的解法思考题：机器人的哪些关节是柱链接铰？人手的哪些关节可简化成柱链接铰？7/11/2022351-3 平衡问题的解法米开朗基罗：“石头本身就赋予雕像以生命，我只是把多余的部分敲掉了”哀悼基督（米开朗基罗）人体关节的简化模型科学研究： 客观规律存在于自然界中。在研究问题的过程中，我们要抓住主要矛盾，只是把次要的因素去掉了。7/11/202236本章主要内容基本概念平衡、质点（系）、刚体、自由体、非自由体力系、等效力系、合力、共点力系约束与约束力：柔索、光滑面、光滑柱（球）铰链、 二力构件基本方法共点力系的合成及其平衡条件（矢量法、解析法）受力分析：根据约束的

12、类型和特点画受力图7/11/202237第二章 刚体的平衡习题：1-10、2-3、2-47/11/202238问题的引出研究内容：刚体在各种力系作用下平衡的一般规律桥梁受有：自身重力、铁轨压力、桥墩作用力、风载等机身受有：自身重力、旋翼轴的作用力、空气动力等7/11/202239问题的引出ABABAD问题: 1、如何用数学工具描述非共点力系对刚体的作用效应?2、如何反映力的作用线？根据牛顿第二定律有设：共点力系作用在质量为 m 的质点上。结论：力系中是反映其作用效应的物理量之一A7/11/202240 xyzO2-1 力偶系力偶(couple)：F,F, F = - F 不共线力偶系(coup

13、le system)：作用于刚体上 的一组力偶。一、力对点之矩 ( moment of a force about a point )AB1、力对点之矩的数学描述（1）矢量表示式rFd问题：已知力 F（矢量）以及该力对 O 点的矩 M O （矢量），能否确定力F 的作用线？7/11/2022412-1 力偶系xyzOrF问题：已知作用在长方体上的某个力对A、O 两点之矩的矢量方向，试确定该力的作用线和力的方向。xzyOA7/11/2022422-1 力偶系（2）解析表示式力对点之矩在轴上的投影：xyzijkrFxyz7/11/2022432-1 力偶系2、合力矩定理：则有：若作用在刚体上的力系

14、存在合力7/11/2022442-1 力偶系二、力对轴之矩( moment of a force about an axis )Fzod逆时针，顺时针F7/11/2022452-1 力偶系问题：如果已知：如何求力F 对 z 轴之矩xzijkyFyxz力对轴之矩计算公式问题：力对轴之矩与力对点之矩有什么关系？7/11/2022462-1 力偶系力对轴之矩力对点之矩在各坐标轴上的投影结论：力对轴之矩等于力对轴上任意一点之矩在该轴上的投影推论：力F对A、B两点之矩的关系有xyzOrF7/11/202247xzFyOA2-1 力偶系例：在棱长为 b 的正方体上作用有一力F，求该力对 x、y、z 轴之矩

15、以及对OA轴之矩。解：7/11/2022482-1 力偶系ABABAB力偶对刚体的作用7/11/2022492-1 力偶系ABFF三、力偶矩 ( moment of a couple )FABFdM注：力偶矩矢量垂直于力偶所在的平面，其大小和方向与取矩点无关。O7/11/2022502-1 力偶系四、力偶的等效条件和性质1、力偶的等效条件(定理）作用于刚体上的两个力偶等效的条件是它们的力偶矩相等ABCD7/11/2022512-1 力偶系2、力偶的性质性质一 力偶不能与一个力等效性质二 力偶可在其作用面内任意移动（或移到另一平行平面),而不改变对刚体的作用效应性质三 只要力偶矩矢量的方向和大小

16、不变（F，d 可变），则力偶对刚体的作用效应就不变。7/11/2022522-1 力偶系五、力偶系的合成设作用于刚体上的两个力偶结论：两个力偶的合成仍然为力偶，且7/11/2022532-2 力偶系的平衡平衡的充分必要条件:空间力偶系的平衡条件：平面力偶系的平衡条件：作用于刚体上的力偶系合成为一力偶7/11/2022542-2 力偶系的平衡ABOABO（A）（B）例：结构如图所示，已知主动力偶 M，哪种情况铰链的约束力较小（不计构件自重，AO垂直于BO）。1、研究OA杆2、研究AB杆7/11/2022552-2 力偶系的平衡CADB研究BD研究AC例:求当系统平衡时,力偶 应满足的关系。ABD

17、D7/11/2022562-3 空间一般力系简化空间一般力系(general noncoplanar force system )： 力作用线在空间任意分布的力系？问题：7/11/2022572-3 空间一般力系简化一、力的移动1、力沿作用线移动加减平衡力系原理： 在刚体上增加或减去一组平衡力系，不会改变原力系对刚体的作用效应AB若则FFABFFF”ABFFF”ABFF7/11/2022582-3 空间一般力系简化刚体变形体定理：作用在刚体上的力，沿其作用线移动后，作用效应不变。作用于刚体上力的三要素：大小、方向、作用线7/11/2022592-3 空间一般力系简化2、力的平移FAB FABF

18、ABFF” 力的平移定理：FABMBrBA7/11/2022602-3 空间一般力系简化O二、空间任意力系向一点简化 主矢主矩FR 一个作用在O点上的力, MO 一个作用在刚体上的力偶（与简化点无关）（与简化点有关） OABCoO称为简化点7/11/202261思考题ABO结构如图所示，已知各杆均作用一个主动力偶 M，确定各个铰链约束力的方向（不计构件自重）ABO7/11/202262作业 2-11（d）、2-18、2-27力系的简化与平衡条件7/11/2022632-3 空间一般力系简化O二、空间任意力系向一点简化 主矢主矩FR 一个作用在O点上的力, MO 一个作用在刚体上的力偶（与简化点

19、无关）（与简化点有关） OABCoO称为简化点7/11/2022642-3 空间一般力系简化三、空间任意力系简化结果的讨论空间任意力系简化结果平衡合力合力偶3、1、2、4、?OOOO7/11/2022652-3 空间一般力系简化(1)OOOdOOd合力合力(A)(B)7/11/2022662-3 空间一般力系简化(2)OOOd力螺旋(wrench)oOdOOdO7/11/2022672-3 空间一般力系简化力螺旋的应用实例7/11/2022682-3 空间一般力系简化确定图示力系简化的最简结果平面椭圆A正方体A平面椭圆B正方体B7/11/2022692-3 空间一般力系简化xyzabcO例：求

20、力系Fi向O点简化的结果。解：1、2、3、 根据主矢和主矩的计算结果 判断该力系的简化结果。7/11/202270问题研究 编制一个通用程序，可将空间任一力系向A点简化。给出编程所用的基本理论和使用说明输入量力系中各力的大小、方向、作用点、力系的简化点A。输出结果力系的主矢（大小和方向或用分量表示）力系对A点的主矩（大小和方向或用分量表示）力系简化的最简结果7/11/2022712-4 各类力系平衡条件二力平衡原理 作用于刚体上的二力为平衡力系的充分必要条件是此二力等值、反向、共线。三力平衡定理 作用于刚体上的三个力若为平衡力系，则这三个力的作用线共面且汇交于一点或平行。一、基本原理和定理力系

21、平衡原理：设空间任意力系其平衡的充分必要条件是注：只证明汇交的情况，平行的情况自己证明7/11/2022722-4 各类力系平衡条件证明：设三个力不平行且平衡, 则：三力作用线共面且交于一点ABCBACABCDABCD若三力平衡，有：由此得： 共面因为 不平行，相交于D点 合成为力由二力平衡原理得：三力作用线共面且交于一点7/11/202273例：结构如图所示，已知主动力F， 确定铰链O、B约束力的方向（不计构件自重）2-4 各类力系平衡条件ABO（B）1、研究OA杆2、研究AB杆ABO（A）7/11/2022742-4 各类力系平衡条件二、空间任意力系的平衡条件平衡空间任意力系简化空间任意力

22、系平衡的充分必要条件：7/11/2022752-4 各类力系平衡条件三、其它力系的平衡条件空间问题平面问题空间问题平面问题汇交力系平衡的充分必要条件：力偶系平衡的充分必要条件：7/11/2022762-4 各类力系平衡条件平行力系平衡的充分必要条件：空间问题平面问题7/11/2022772-4 各类力系平衡条件平面任意力系平衡的充分必要条件：一矩式7/11/2022782-4 各类力系平衡条件例：结构如图，已知W，a，求杆A、B处的约束力。ABDaaaCWWABC解：1、画受力图2、建立平衡方程问题：取矩方程中的取矩点是否可以选其它点？7/11/2022792-4 各类力系平衡条件平面任意力系

23、平衡方程二矩式、三矩式的讨论平面任意力系简化ABxOABBA平面任意力系固定端约束力的简化A、B 连线与Ox 轴不垂直7/11/2022802-4 各类力系平衡条件A、B 连线与Ox 轴不垂直二矩式A、B、C三点不共线三矩式平面任意力系平衡的充分必要条件：一矩式7/11/2022812-4 各类力系平衡条件例：已知AB梁长为l，其上受有均布载荷q，求A处的约束力。AB解：研究AB梁，画受力图。AB7/11/2022822-4 各类力系平衡条件例：重为W 的均质正方形板水平支承在铅垂墙壁上，求绳1、2的拉力, BC杆的内力和球铰链A的约束力。 解：取板为研究对象、 画受力图方法一：基本方程 AB

24、CWABCW127/11/2022832-4 各类力系平衡条件方法二：六矩式方程 在同一平面内最多取两个平行的取矩轴在空间内最多取三个平行的取矩轴ABCWD7/11/2022842-4 各类力系平衡条件思考题：下列方程中的投影轴和取矩轴不是同一根轴， 该方程组能否作为空间任意力系的平衡方程。问题：上述方程中x,y,z 是否必须正交？x,y,z轴是否必须正交？7/11/202285作业 2-31、2-33、2-35力学中的摩擦问题更正：习题2-31，力偶矩的单位为：N-m 7/11/202286演示实验实验题目：均质米尺如图所示，两手以不同的速度缓慢向中间运动，当两手合并时，两个手指在尺子的什么

25、位置？如何解释这种现象？7/11/202287摩擦在现实中的应用7/11/202288摩擦在现实中的应用多盘摩擦离合器 单盘摩擦离合器 7/11/202289摩擦在现实中的应用7/11/202290摩擦在现实中的应用7/11/2022912-5 考虑摩擦时物体的平衡一、滑动摩擦1、静滑动摩擦2、动滑动摩擦其中： 静滑动摩擦因数 (coefficient of static friction)其中： 动滑动摩擦因数 (coefficient of kinetic friction)F：摩擦力， ：法向约束力滑动趋势7/11/202292影响摩擦系数的因素湿度、温度、摩擦表面的材料7/11/202

26、293影响摩擦系数的因素刹车盘7/11/202294影响摩擦系数的因素 八达岭高速公路进京方向有十多公里的下坡路，常常有大货车制动失灵引发交通事故。7/11/2022952-5 考虑摩擦时物体的平衡问题：假设墙壁光滑，若使梯子不滑动，地面与梯子间的静滑动摩擦因数 fs 至少为多大。 (不计梯子自重 )AB问题：长轴为 a，短轴为 b ，重为W的均质椭圆盘，一端铅垂吊起，另一端放在倾角为 的固定斜面上，圆盘长轴与水平线的夹角为 ，若椭圆盘处于平衡，椭圆盘与斜面的静滑动摩擦因数最小为多大？7/11/2022962-5 考虑摩擦时物体的平衡二、摩擦角与自锁现象称为摩擦角 (angle of fric

27、tion)（不滑动的条件）自锁条件运动趋势全反力7/11/2022972-5 考虑摩擦时物体的平衡问题：已知静滑动摩擦因数为 f,斜面倾角为多大时,滑块将要滑动。问题：已知静滑动摩擦因数均为 f ，沿垂直于屏幕方向水平推动滑块,哪种情况较易推动？n7/11/2022982-5 考虑摩擦时物体的平衡斜面摩擦自锁的应用n7/11/2022992-5 考虑摩擦时物体的平衡已知：若皮带与固定轮无滑动时, 求： 的最大拉力。 （不计皮带自重）问题研究7/11/2022100BA2-5 考虑摩擦时物体的平衡问题：假设墙壁光滑，若使梯子不滑动，地面与梯子间的静滑动摩擦因数 fs 至少为多大。 (不计梯子自重

28、, 人重为W )ABn解：研究梯子，画受力图7/11/20221012-5 考虑摩擦时物体的平衡问题：长轴为 a，短轴为 b ，重为W的均质椭圆盘，一端铅垂吊起，另一端放在倾角为 的固定斜面上，圆盘长轴与水平线的夹角为 ，若圆盘处于平衡，圆盘与斜面的静滑动摩擦因数最小为多大？不滑动的条件解：研究椭圆盘，受力分析7/11/20221022-5 考虑摩擦时物体的平衡例：重为W长为L的均质梯子靠在光滑的墙壁上(夹角为 ）, 它与地面的静滑动摩擦因数为 f , 梯子上作用一水平力F，BD = a，求维持平衡时的F。解：取梯子为研究对象, 画受力图ABCDBDCAP7/11/20221032-5 考虑摩

29、擦时物体的平衡维持平衡的条件:BDCA求解静滑动摩擦问题应注意：静滑动摩擦力（大小、方向）由平衡条件（方程）确定。只有达到临界状态时，静滑动摩擦力的大小才等于支撑力与摩擦因数的乘积。7/11/20221042-5 考虑摩擦时物体的平衡三、滚动摩阻刚体假设：圆盘为刚体地面为刚体7/11/20221052-5 考虑摩擦时物体的平衡滚动摩阻力偶（couple of rolling resistance）非刚体假设：圆盘为非刚体地面为非刚体 滚动摩阻系数（mm）（coefficient of rolling resistance）滚动摩阻力偶矩的方向与轮子滚动（趋势）的方向相反注意：当滚阻力偶未达到最

30、大值时，其大小由平衡方程确定。7/11/20221062-5 考虑摩擦时物体的平衡例： 圆盘为W，半径为R，水平拉力为F，静滑动摩擦因数为 f 滚动摩擦阻力系数为 ，求维持平衡时最大拉力Fmax。解：研究圆盘，画受力图不滑动条件：不滚动条件：A7/11/2022107思考题思考题1：重为W的滑块在水平推力W的作用下可在粗糙的水平地面上保持平衡，试确定全反力的大小、方向和作用点。7/11/2022108思考题思考题2：已知斧头与树根间的静滑动摩擦因数为f，若斧头不被卡住，求斧头的最小楔角。7/11/2022109思考题AB思考题3：刚性弯杆AB由正方体的三个棱构成，杆的两端用球铰链固定在墙壁上，

31、弯杆上作用有两个力偶（如图所示）。若使弯杆平衡，试确定这两个力偶的大小应满足什么关系。思考题4：能否求出球铰链A、B的约束力？7/11/2022110本章主要内容基本定义力矩(对点、对轴）、摩擦角、自锁条件基本原理和定理合力矩定理、三力平衡定理、加减平衡力系原理、力的滑移和平移定理基本方法力系简化、各种力系的平衡方程、平衡方程的力矩形式（独立条件）7/11/2022111作业：3-9、3-10、3-12 第三章 刚体系与结构的平衡演示实验：判断刚体系能否平衡问 题：用什么方法研究刚体系的平衡7/11/2022112问题的引出问题：飞机、轿车静止停放在水平地面，已知各自的重量和相关尺寸，能否求地

32、面作用在轮胎上的支撑力？ 取整体为研究对象 受力分析：空间平行力系 独立平衡方程个数：3飞机：3个未知力轿车：4个未知力7/11/2022113问题的引出取整体为研究对象，不能求出地面对每个车轮的支撑力7/11/2022114问题的引出ABCDEGH问题：已知塔吊相关重量和尺寸，能否求出绳索AB和AC的拉力7/11/2022115问题的引出 05年9月8日下午2点06分，朝阳区某工地的塔吊在起吊一些预制板构件时，第一根钢绳突然被绷断，紧接着吊臂开始变形，并向西南方向倒下来，但无人员伤亡。7/11/20221163-1 刚体系的平衡一、刚化原理 变形体在某一力系作用下处于平衡，若将处于平衡状态时

33、的变形体换成刚体（刚化），则平衡状态不变。（a）刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件（b）7/11/20221173-1 刚体系的平衡二、静定与静不定问题AB上面两图中存在多余的约束未知量的数目大于独立平衡方程的数目ABABAB7/11/20221183-1 刚体系的平衡静 定 问 题 ( statically determinate problem): 未知量的数目= 独立平衡方程的数目静不定问题( statically indeterminate problem): 未知量的数目 独立平衡方程的数目问题1：对于静不定问题，能否求解出部分未知量问题2：如何解除多余的约束，使其变为静定问题AB

34、C思考题：确定图示系统的静定性。7/11/20221193-1 刚体系的平衡三、刚体系的平衡问题刚体系平衡 系统中每个刚体平衡例：已知 F，M ，AB = BC = L ，F 作用在BC杆的中点， 求：A、C 处的约束力。ABC7/11/20221203-1 刚体系的平衡CLB方法一:解：以每个物体为研究对象, 画其受力图。ABLABC求：A、C 处的约束力。7/11/20221213-1 刚体系的平衡解：1、研究整体（刚化），画受力图2、研究BC杆，画受力图3、再研究整体方法二：ABCCLB7/11/20221223-1 刚体系的平衡例：已知 F，求 AG 杆上的约束力。GDA解：1、研究A

35、G杆， 画受力图.ABCDEHGOaaaa2a7/11/20221233-1 刚体系的平衡2、研究图示构件，画受力图CBDEHOaaa2a求出3、再研究AG 杆，求出pABCDEHGOaaaa2aGDA7/11/20221243-1 刚体系的平衡思考题：系统如图所示。若人重W 板重P且人有足够大的力量。下列两种情况中，哪个系统能在图示位置维持平衡？(a)(b)A：图(a) B：图(b) C：图(a)和(b)杆7内力和B处的约束力零力杆(zero-force member): 在桁架中受力为零的杆件7/11/20221383-2 桁架xyF = 0FPF1 = 0F 2= 0？零杆的判断：7/1

36、1/20221393-2 桁架FPFPABCDEGHI例题： 试确定图示桁架中的零力杆7/11/20221403-2 桁架节点法的特点:1、研究对象为节点（汇交力系） 2、每个节点可以建立两个独立的平衡方程问题1: 在图示桁架中, 哪些杆件为零力杆?问题2: 在图示桁架中, 杆1的内力如何求?17/11/20221413-2 桁架2、截面法(以部分桁架为研究对象计算杆件内力的方法)1例: 求图示桁架中杆1的内力。解: 1、选取截面 2、画受力图 3、建立平衡方程研究整体:研究部分桁架问题： 该桁架的水平杆中是否有零力杆? ?7/11/20221423-2 桁架7/11/2022143湖南耒阳电

37、厂72mX124m大型煤棚 2000年4月14日12点10分，使用近五年大型煤棚突然发生整体倒塌。7/11/20221443-2 桁架截面法特点: 研究对象为部分桁架（平面力系）,有3个独立的平衡方程。思考题：确定图示结构的静定性ABCDE(1)OABCDE(2)OABCDE(3)OABCDE(4)O未知量个数 = 独立平衡方程的个数7/11/20221453-2 桁架ABC思考题：试确定图示桁架中的零力杆。7/11/20221463-2 桁架例: 求图示结构中, CB杆上C端的约束力和杆1的内力 已知:M, P, AE=EC=CD=DB=DH=EG=LABCDEGH1BDHCG解题思路：1、

38、研究销钉G2、研究结构右半部分3、研究整体7/11/20221473-2 桁架ABCDEGH1解: 1、研究整体2、研究分离体3、研究销钉GBDHCG7/11/20221483-2 桁架问题：“鸟巢”钢架结构能否简化成空间桁架？7/11/2022149本章主要内容基本定义刚体系、静定与静不定、桁架基本原理与定理刚化原理基本方法求解刚体系平衡的基本方法选取合适的研究对象，建立其平衡方程求解桁架内力的基本方法节点法、截面法7/11/2022150第四章 质点系的平衡作业：3-20、3-29、3-387/11/2022151问题的引出问题1：系统平衡时两力偶矩的关系如何？7/11/2022152问题

39、的引出FM固定在琴上问题2：如何确定力偶矩M和力F的关系？7/11/2022153问题的引出问题3:已知各均质杆长为L，重为W，求系统在图示位置平衡时，所需水平力F 的大小。 (忽略所有摩擦）7/11/2022154问题的引出7/11/2022155ABC问题的引出问题4:长为L，重为W的均质杆AB在图示位置平衡时, 求水平力FA 。 特点：确定系统平衡时主动力的关系。（1）与（2）等价的条件：约束所容许的微小位移7/11/20221564-1 力的功一、力在曲线路程中的功元功(elementary work):元功的解析表达式AB力F 在曲线上由 A 点到 B 点所作的功：7/11/2022

40、1574-1 力的功二、作用于刚体上力偶的元功力偶的元功:(适用于刚体的任意运动)三、作用于质点系上力系的总元功设：质点系上作用有力系 ; 是力 作用点的矢径。则作用于质点系上力系的总元功为：O O7/11/2022158FsoRr4-1 力的功纯滚动(rolling without slipping): 圆盘相对地面无滑动，与地面接触点速度为零。sFoR问题: 如何求纯滚动圆盘轮心移动 S 距离时, 力 F 所作的功。圆盘转角与轮心移动距离间的关系7/11/20221594-1 力的功纯滚动实例7/11/20221604-1 力的功等效力系作功定理: 若作用于刚体上的力系等效FsoRrsFo

41、RFMFM7/11/20221614-1 力的功四、质点系内力的元功O弹簧刚性杆不可伸长的绳索问题: 判断下列质点系内力元功之和是否为零。结论: 刚体、不可伸长绳索内力的元功之和为零。7/11/20221624-1 力的功五、摩擦力的元功1.动滑动摩擦力的元功（动滑动摩擦因数为f ）2.滚动摩擦力的元功在固定面上纯滚动时：7/11/20221634-2 约束及其分类一、约束与约束方程约 束(constraint)：限制物体运动的条件约束方程(constraint equation)：约束条件的数学表达式7/11/20221644-2 约束及其分类二、约束的分类yxMyxM双面约束(bilate

42、ral constraint)： 约束方程为等式的约束单面约束(unilateral constraint)：约束方程为不等式的约束定常约束(steady constraint)：约束方程中不显含时间t 的约束非定常约束(unsteady constraint)： 约束方程中显含时间t 的约束AM7/11/20221654-2 约束及其分类完整约束(holonomic constraint)： 约束方程中不含速度项的约束（几何约束）非完整约束(nonholonomic constraint)： 约束方程中含有速度项(不可积)的约束soR纯滚动约束方程:7/11/20221664-2 约束及其分

43、类线性速度约束的一般形式：其中:注意：几何约束可以转化成速度约束速度约束不一定能转化成几何约束可积的速度约束（完整约束）可以转化成几何约束不可积的速度约束（非完整约束）不能转化几何约束7/11/20221674-2 约束及其分类约束方程:是可积的充分必要条件是：定理（完整约束的充分必要条件） 若约束方程:中的aj (j=0,1,s)是常数推论: 则该约束方程为完整约束(可积的速度约束)。约束方程:soR纯滚动7/11/20221684-2 约束及其分类证明：冰刀的约束为非完整约束7/11/2022169非完整约束的应用实例7/11/2022170非完整约束的应用实例双拖车倒车的自动控制7/11

44、/20221714-3 广义坐标与自由度问题：用什么量描述质点(系)在空间的位置？ 描述质点(系)在空间位置的量有多少个？7/11/20221724-3 广义坐标与自由度L自由度数（degree of freedom)： 广义坐标的数目(条件：具有双面、完整约束 的质点系) 广义坐标(generalized coordinate)： 确定系统位置的独立参数(坐标）自由度：k确定系统位置的参数数目：N独立的约束方程数：sM7/11/20221734-3 广义坐标与自由度问题: 确定系统的自由度和广义坐标ABOxy图 1yxM图 2 ABA图 3图 4AB7/11/20221744-3 广义坐标与

45、自由度ABCD确定图示系统的自由度7/11/2022175OAB微小位移投影定理定理：刚体在运动过程中，其上任意两点的微小位移 在两点连线上的投影相等。推论：刚体在运动过程中，若其上任意两点的微小位移共面且不平行，则该两点微小位移垂线的交点的位移为零。7/11/2022176 虚位移原理是静力学的普遍原理，它给出了质点系平衡的充分和必要条件。 什么是虚位移 什么是虚功 什么是虚位移原理的适用条件由 伯 努 利（Bornoulli，1717)提出的由 拉格朗日（Lagrange，1764)完善的虚位移原理7/11/20221774-4 虚位移与虚功ABOABO一、虚位移1、不同瞬时或位置，虚位移

46、不同2、必须满足约束条件虚位移（virtual displacement)：在给定瞬时质点(系)为 约束容许 的 任何 微小位移。虚位移特点 3、是无限小的，不是有限位移4、虚位移不只有一个或一组7/11/2022178ABO4-4 虚位移与虚功二、虚功 虚功（virtual work)： 作用于质点(系)上的力在虚位移上所作的功。例：若OA杆的虚位移为 ，OAR ，求力F 的虚功。7/11/20221794-5 理想约束 理想约束(ideal constraint)： 质点系中所有约束力 在任何虚位移上所作虚功之和为零的约束。5、刚体在固定面上纯滚动(不计滚阻力偶)讨论： 哪些约束是理想约束

47、?1、光滑固定面和可动铰链支座2、光滑固定铰链和轴承3、连接物体的光滑铰链4、二力杆和不可伸长的柔索ABO7/11/20221804-5 理想约束例题：若斜块A和滑块B之间 （1）：有摩擦； （2）：无摩擦。 则该系统是否是理想约束AB地面光滑（1）：有摩擦是非理想约束（2）：无摩擦是理想约束7/11/20221814-6 虚位移原理一、虚位移原理(virtual work principle)虚位移原理：具有双面、完整、 定常、理想约束的静止的质点系， 在给定位置保持平衡的充要条件是：该质点系所有主动力在系统的任何虚位移上所作的虚功之和等于零。证明必要性： 平衡 |0i充分性的证明自学教材7

48、/11/20221824-6 虚位移原理例：已知 OA=L，求系统在图示位置平衡时，力偶矩M与力F的关系（不计摩擦）ABO基本步骤：确定系统是否满足原理的应用条件分析主动力作用点的虚位移求主动力的虚功之和 7/11/2022183BO4-6 虚位移原理A7/11/20221844-6 虚位移原理AO研究OA杆研究AB 杆和滑块BABOAB平衡方程的求解方法7/11/20221854-6 虚位移原理ABCDD例：结构及其受力如图所示，求A端的约束力偶。问题：A端约束力偶与作用在BC 杆上的主动力偶 M是否有关？7/11/20221864-6 虚位移原理ABCDD解：固定端A变成固定铰链约束力偶视

49、为主动力偶BC杆的虚位移为平移7/11/20221874-6 虚位移原理问题: 已知各长为L，重为W，平衡位置如图，杆与铅垂线的夹角为。如何求维持平衡时所需水平力F 的大小。困难：用矢量法不易求解系统的广义坐标：？（平衡的充分必要条件）7/11/20221884-6 虚位移原理解：主动力的作用点：1-4主动力的作用点：57/11/20221894-6 虚位移原理压杆结构的失稳演示装置7/11/20221904-6 虚位移原理若质点系有k个自由度，力的作用点的坐标可以表示为：如何求7/11/20221914-6 虚位移原理yxO例如：7/11/20221924-6 虚位移原理其中： 称为对应于

50、的广义力BA例题：套筒A和小球B的重力分别为W1和W2 ，求系统对应于坐标yA的广义力。问题：广义力的物理含义是什么？7/11/20221934-6 虚位移原理广义坐标形式的虚位移原理：具有双面、定常、完整、理想约束的静止质点系，在给定位置保持平衡的充要条件是：该质点系所有的广义力均为零。是相互独立的二、虚位移原理的广义坐标形式7/11/20221944-6 虚位移原理例：求系统的平衡位置。若已知：yxO解：方法一根据 独立性7/11/20221954-6 虚位移原理yxO解：方法二yxO7/11/2022196思考题AB地面光滑 质点系由圆盘B和斜块A组成，圆盘与斜块间有足够大的摩擦力使圆盘

51、在斜块上纯滚动，不计滚动摩阻。试分析该系统具有的约束是否为理想约束。7/11/2022197习题：4-7、4-12、4-15变形体的虚位移原理质点系平衡的稳定性7/11/20221984-6 虚位移原理三、变形体的虚位移原理变形体的虚位移原理：具有双面、定常、完整、理想约束处于静止的质点系，在给定位置处于平衡的充分必要条件是，其所有外力和内力在该位置任意给定的虚位移上所作的虚功之和等于零。外力(external force)：质点系外部的物体作用于质点系上的力内力(internal force)：质点系内部的作用力7/11/20221994-6 虚位移原理例：机构如图所示，不计构件自重。 已知

52、 AB = BC = l, 弹簧刚度为k，当 AC = a 时，弹簧无变形。设在滑块上作用一水平力F，求该机构处于平衡时，A和C两点间的距离（xC=？）ABCDE内力虚功：ABCDE7/11/20222004-6 虚位移原理外力虚功：ABCDE内力虚功：7/11/20222014-7 平衡的稳定性演示实验：分析钢丝在杯口平衡位置的稳定性。思考：分析双轮车是如何实现平衡的7/11/20222024-7 平衡的稳定性 平衡的稳定性(stability of equilibrium)：质点系处于某一平衡位置，若受到微小干扰偏离平衡位置后总不超出平衡位置邻近的某个微小区域，则称质点系在该位置的平衡是稳

53、定的(stable)，否则是不稳定的(unstable)。7/11/20222034-7 平衡的稳定性一、势力场及势能力 场(force field)：质点（系）所受力完全由其所在位置决定，这样的空间称为力场。势力场(potential force field)：场力所做的功与质点经过的路径无关，这样的力场称为势力场或保守力场。势 能(potential energy)：质点系从某一位置A 到基准点 A0 ，有势力所做的功，称为质点系在该位置的势能。基准点的势能为零。7/11/20222044-7 平衡的稳定性二、势力场的特性设作用在质点上的有势力为：设质点的势能函数为： 则有关系式mgMO举

54、例说明：7/11/20222054-7 平衡的稳定性三、具有理想约束的质点系在势力场中的平衡条件设质点系中有n个质点,每个质点的势能为函数(可微)为：质点系的总势能为:有势力与势能函数的关系式:根据虚位移原理：平衡的充分必要条件：质点系在平衡位置的势能变分等于零7/11/20222064-7 平衡的稳定性质点系的总势能为:若质点系的广义坐标为:质点系在平衡位置有:对于具有完整约束质点系的广义坐标的虚位移（变分）是独立的(*)式成立的充分必要条件：平衡的充分必要条件：质点系在平衡位置的势能取驻定值7/11/20222074-7 平衡的稳定性质点系在势力场中平衡的充分必要条件是：注意：质点系势能函

55、数（可微）取得驻值是平衡的充分必要条件，但平衡并不一定是稳定的。ABCx=0是平衡位置且是稳定的x=0是平衡位置且是不稳定的7/11/20222084-7 平衡的稳定性四、质点系在势力场中平衡的稳定性定理：质点系在势力场中的平衡位置是稳定的充分必要条件是系统在平衡位置的势能为极小值。质点系在势力场中平衡及其稳定性分析的基本步骤：1、给出系统的势能函数2、确定系统的平衡位置3、讨论平衡位置的稳定性7/11/20222094-7 平衡的稳定性解：取 =0 为系统的零势位若：平衡位置是稳定的。例：系统如图所示，滑块的质量为m,杆长为L(不计质量)，当杆铅垂时弹簧无变形，求系统的平衡位置并分析其稳定性

56、。7/11/20222104-7 平衡的稳定性讨论平衡位置的稳定性：在任何位置均能平衡7/11/20222114-7 平衡的稳定性分析平衡是如何实现的？7/11/2022212问题讨论ABCDEaa问题: A端的约束力偶与主动力F的作用点和主动力偶M是否有关ABCDEaa7/11/2022213问题讨论BA问题：板用销钉约束在滑道内，若在图示位置给A点一个虚位移 ，确定板上B点的虚位移与A点虚位移的关系，并指出在图示位置，板上哪点的虚位移为零？微小位移投影定理的推论： 若刚体上两点微小位移共面且不平行，则该两点微小位移垂线的交点其微小位移为零。P7/11/2022214问题讨论ABCDD问题：结构及其受力如图所示，如何用刚体系平衡的方法（写平衡方程）求解 A 端的约束力偶。问题：如何求铰链 C 的约束力？要求：用最少的平衡方程求解7/11/2022215问题讨论问题：结构由均质杆构成，其受力如