理论力学A-动力学：d-第五章 Lagrange方程C

1、5-4、哈密顿方程5-4、哈密顿方程简介 第二类Lagrange方程习题课7/11/202215-4、哈密顿方程一、主动力为有势力系统的拉格朗日方程设：LT-V （拉格朗日函数）拉格朗日方程是关于广义坐标的二阶微分方程组AB非线性常微分方程组通常用数值方法求解将二阶微分方程组降阶成一阶微分方程组便于数值计算且可提高计算精度。7/11/202225-4、哈密顿方程二、哈密顿方程简介对于具有理想约束的质点系，其主动力为有势力，若设：哈密顿方程是关于广义坐标和广义动量的一阶微分方程组。则系统的Hamilton方程为：7/11/202235-4、哈密顿方程对于定常约束的质点系，若主动力为有势力，则哈密

2、顿函数H就是系统的动能与势能之和，即：哈密顿方程为数值计算提供了很好的微分-代数结构，在此基础上建立的辛算法可保持长期数值计算的稳定性。对于定常约束的质点系，有：7/11/202245-4、哈密顿方程例：求自由质点在重力作用下的哈密顿函数和哈密顿方程1、系统的广义坐标：2、系统的动能系统的哈密顿函数 H=T+V7/11/202255-4、哈密顿方程例：图示机构在铅垂面内运动，均质杆AB用光滑铰链与滑块连接。杆与滑块用刚度系数为k1的扭簧连接时扭簧无变形求系统哈密顿方程（用矩阵形式给出）。AB2LM是正定对称矩阵，是广义坐标的函数7/11/202265-4、哈密顿方程系统的哈密顿函数 H=T+V

3、用矩阵形式描述方程，便于并行计算，可提高计算速度。7/11/202275-4、哈密顿方程摆杆的运动滑块的运动现象：不同的初始条件，系统的动力学行为不同。算例的数值仿真结果7/11/202285-4、哈密顿方程不稳定区域7/11/202295-4、哈密顿方程问题：研究保守系统动力学方程长期数值计算的稳定性有什么意义？研究太阳系中行星的轨道动力学问题属于保守系统的动力学问题7/11/202210地球太平吗？ 地球并不太平。天文学家们经过观测发现，在火星的外侧和木星的内侧有一个由数目众多的小行星构成的小行星带。 它们一般都是按照正常轨道运行，但是总会有小行星进入近地轨道，给地球带来威胁。1989年曾

4、有一颗小行星与地球擦肩而过，引起人们一阵紧张。 7/11/202211地球太平吗？ 当时国外科学家曾预测：2014年或2017年，地球有可能遭到小行星的撞击。7/11/202212彗星撞击木星的“预测” 1994年7月16日至22日，一颗命名为苏梅克列维9号的彗星断裂成21个碎块（其中最大的一块宽约4公里），以60km/s速度向木星撞去。 “伽利略”号木星探测器7/11/202213木星简介木星：是太阳系行星中最大的一个星球半径：71300公里，是地球的12倍；质量：是地球的318倍，相当于其它8大行星总质量的2.5倍体积：是地球的1316倍公转周期：约29.5年自转周期：10小时14分7/1

5、1/202214太阳系哈密顿系统 在研究星球的运动轨道时，太阳系可视为哈密顿系统，其动力学方程可表示成：问题：如何精确地计算行星的运动轨迹，准确预测行星位置?解决问题的方法：提高计算方法精度和速度、通过数值仿真预测行星的运动轨迹和位置，从而估计小行星撞击地球的可能性。k=3n, n为行星的个数(=9大行星+近百个小行星)7/11/202215哈密顿系统的辛算法冯 康(1920.91993.8) 数学与物理学家、计算数学家。1944年毕业于重庆中央大学物理系。19511953年赴前苏联进修。 曾任中国数学会理事，计算数学分会副理事长，中国计算机学会副主任等职。 1980年被选为中国科学院学部委员

6、(数学物理学部院士)。 在拓扑代数、广义函数和计算数学等领域取得多方面首创性成就，并对我国计算机事业的创建和发展做出了重要贡献。 20世纪80年代，他提出了哈密顿系统的辛算法。该算法可保持长期数值计算的稳定性。7/11/202216例题的数值仿真对角隐式辛RK算法显式RK算法CPU-time:142sCPU-time:7737s(变步长)1994年用当时的PIII计算机（主频266M）计算的结果7/11/202217预测结果 20世纪90年代末，中国科学院计算数学研究所，秦孟兆院士领导的课题组，用Hamiltom系统的辛算法，预测小行星撞击地球的可能性是： 50年内不会发生 50年后，即使有小

7、行星撞击地球的可能性，那时侯人类的科技手段一定能够阻止灾难的发生。7/11/202218习 题 课第二类Lagrange方程7/11/202219第二类拉格朗日方程的总结 对于具有完整理想约束的质点系，若系统的自由度为k，则系统的动力学方程为：其中：T：为系统的动能，V：为系统的势能：为对应于广义坐标 的非有势力的广义力当系统为保守系统时，有：1：若系统存在循环坐标 ，则：2：若系统的拉格朗日函数不显含时间t，则：7/11/202220习 题 课例：系统如图所示，已知： 为弹簧原长。 求滑块的拉格朗日方程首次积分。解：系统（滑块）的广义坐标为q拉格朗日函数 中不显含时间t则Lagrange方程

8、有广义能量积分-T0为牵连惯性力的势能7/11/202221习 题 课例：系统如图所示，求系统动力学方程；维持AB匀角速 转动所需的控制力偶M。已知： 为弹簧原长。解：系统的广义坐标为当 时问题：该题还可以用什么方法求解？7/11/202222习 题 课例：在图示机构中，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。初始时，杆水平，系统静止。求系统在图示位置时，杆的角速度、角加速度以及A点的速度和加速度；。AB=LAB解：系统的主动力均为有势力 7/11/202223习 题 课当：上式对时间求导得：（1）式对时间求导：7/11/202224习 题 课例： 在图示机构中，均质圆盘在地面上纯滚动，均质杆AB用光滑铰链与圆盘连接。图示瞬时系统初速度为零。求该瞬时地面的约束力。AB=L，RAB解：系统的主动力均为有势力 7/11/202225习 题 课求地面的法向力: 研究整体求摩擦力: 研究圆盘AB7/11/202226习 题 课例：系统如图所示，不计质量的绳索绕在均质圆盘上（无相对滑动），另一端悬挂在A点。求系统的运动微分方程。关键问题：求系统的动能和势能P7/11/202227习 题 课例：系统如图所示，均质圆盘可绕O轴转动，不计质量的绳索绕在圆盘上（无相对滑动），另一端与小球A（视为质点）连接，求系统的运动微分方程。已知：m, r，Jo问题：系统有几个自由度？