概率统计课件：19第八章第一讲

1、数理统计：借助总体(随机变量)X的样本(X1, X2，, Xn) 对总体X的性质进行推断，这类问题统称为统计推断问题。参数估计问题假设检验问题 点 估 计 区间估 计统计推断 的基本问题第八章 参数估计从简单问题入手：假定总体X分布形式已知, 未知的是其中一个或几个参数。对未知参数的值进行估计。 怎样确定：从总体抽取样本值来估计参数， 称为参数估计问题。统计推断：借助总体X的样本(X1, X2，, Xn)推断总体X的分布。点估计 估计未知参数的值区间估计估计未知参数的取值范围， 并给定此范围包含未知参数真值的概率. 参数估计问题:2、极大似然估计法.1、矩估计法一、点估计 (估计未知参数的值)

2、的方法1.矩估计法用样本矩估计相应的总体（随机变量）矩.只要总体的k阶矩存在，样本k阶矩依概率收敛于总体的k阶矩。例1 设 为来自总体 的样本， 求: 和 的矩估计.从总体中抽取样本EX= DX=2样本均值解：样本方差总体均值总体方差样本均值作为总体均值的估计 样本方差作为总体方差的估计 的矩估计量2的矩估计量 的矩估计值2 的矩估计值对于一次具体抽取，就是具体的数值矩的选择： 简单 矩估计的结果不唯一矩估计量和矩估计值，统称为矩估计. 由 得和2的矩估计值分别为13(mm)和0.133(mm)2例2 有一批零件，其长度XN(,2)， 现从中任取4件，测的长度(单位：mm)为 12.6, 13

3、.4, 12.8, 13.2 试估计和2的值。例3 设总体X的概率密度为 X1,X2,Xn为来自于总体X的样本,x1,x2, ,xn为样本值,求参数的矩估计。解 总体矩 令 即 解得为的矩估计量, 为的矩估计值.从总体中抽取样本对于一次具体抽取例4 设总体X的概率密度为求 的矩估计量 解EX不含,不能由此解出, 需继续求总体的二阶原点矩.得的矩估计量为令2、极大似然估计法例 设袋中装有许多白球和黑球。 只知两种球的数目之比为3:1， 试判断是白球多还是黑球多。解: 从袋中有放回的任取3只球. 则XB(3,p)设取到黑球的数目为X, 分别计算p=1/4, 3/4时,X的分布律X0123p=1/4

4、时27/6427/649/641/64p=3/4时1/649/6427/6427/64 若每次取到黑球的概率为p(p= 1/4或3/4)样本中的黑球数为0，（作一次抽取，得到样本观察值：0黑球，3白球）则估计选取使达到最大值的p极大似然估计法的基本思想：根据样本的具体情况，选择总体参数的估计，使得该样本发生的概率最大。结论: p的估计量定义 (1) 若X是离散型随机变量， 分布律 形式已知，参数 未知 x1,x2, ,xn为样本X1,X2,Xn的样本观察值, 取到的概率：选取总体参数的估计值 ，使得此概率达到最大,即达到最大值.记称为似然函数. (2)设X的概率密度函数为f(x,),其中为未知

5、参数落在点的邻域内的概率：选取总体参数的估计值 ，使得此概率达到最大,即达到最大值.记称为似然函数. 定义 如果似然函数 在 时达到最大值， 则称 是参数的极大似然估计。 似然函数离散型连续型因此，求总体参数的极大似然估计值就是求似然函数的最大值问题。必须满足通常求法: 因为与在同一值处达到最大，也可由求得.根据微积分的知识，达到最大值，要使例1 设总体X服从参数为的泊松分布， 即X有分布律 解 样本的似然函数为是未知参数,(0,+),又x1, x2, , xn为来自于总体的样本值，试求的极大似然估计.从可以解出是的极大似然估计。因此例2 设总体 X服从参数为的指数分布，即有概率密度 又x1,

6、x2, ,xn为来自于总体的样本值，试求的极大似然估计.解 ：似然函数为令经验证，在处达到最大，是的极大似然估计。所以例3 设总体X的概率密度为又为来自于总体X的样本值,求参数的极大似然估计。解 似然函数 当时,L()是的单调增函数,处, L()达到最大值，所以的极大似然估计:在例4 设X服从(01)分布, 其中参数p未知， x1,x2, ,xn为来自于总体的样本值 求p的极大似然估计。解:令其中为未知参数为样本观察值,两参数情形的极大似然估计此时似然函数为： 若总体X的概率密度为 ，求解方程组 即可得到极大似然估计数学上可以严格证明：在一定条件下，只要样本容量n足够大，极大似然估计和未知参数的真值可相差任意小。例5 设 为正态总体 的一个样本值， 求: 和 的极大似然估计.解：似然函数为得 例6 设X为离散型随机变量,其分布律 (01/2