2022届北京市西城区156高考全国统考预测密卷数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知，若，则正数可以为（ ）A4B23C8D172设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A是偶函数B是奇函数C是奇函数D是奇函数3设函数（，）是上的奇函数

2、，若的图象关于直线对称，且在区间上是单调函数，则（ ）ABCD4已知函数的一条切线为，则的最小值为（ ）ABCD5已知，则（ ）ABCD6已知，且，则在方向上的投影为（ ）ABCD7执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出属于（ ）ABCD8已知复数z（1+2i）（1+ai）（aR），若zR，则实数a（ ）ABC2D29在平面直角坐标系中，锐角顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴，终边与单位圆交于点，则（ ）ABCD10已知等式成立，则（ ）A0B5C7D1311中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分

3、之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）A每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列12下列命题为真命题的个数是（ ）（其中，为无理数）；.A0B1C2D3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.（1）求直线和曲线的普通方程；（2）设为曲线上的动点，求

4、点到直线距离的最小值及此时点的坐标.14在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3,4），则该双曲线的准线方程为_15在ABC中，a3，B2A，则cosA_16函数的定义域为_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知直线：（为参数），曲线（为参数）（1）设与相交于，两点，求；（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线距离的最小值18（12分）如图，过点且平行与x轴的直线交椭圆于A、B两点，且.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点M且斜率为正的直线交椭圆于段C、D，直线AC、BD分别交直线于点E

5、、F，求证：是定值.19（12分）已知椭圆的右焦点为，过作轴的垂线交椭圆于点（点在轴上方），斜率为的直线交椭圆于两点，过点作直线交椭圆于点，且，直线交轴于点.（1）设椭圆的离心率为，当点为椭圆的右顶点时，的坐标为，求的值.（2）若椭圆的方程为，且，是否存在使得成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.20（12分）已知函数.（1）若，且，求证：；（2）若时，恒有，求的最大值.21（12分）已知函数有两个极值点，.（1）求实数的取值范围；（2）证明：.22（10分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在上恒成立，求的取值范围参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分

6、，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1C【解析】首先根据对数函数的性质求出的取值范围，再代入验证即可；【详解】解：，当时，满足，实数可以为8.故选：C【点睛】本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.2C【解析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论【详解】解：是奇函数，是偶函数，故函数是奇函数，故错误，为偶函数，故错误，是奇函数，故正确为偶函数，故错误，故选：【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键3D【解析】根据函数为上的奇函数可得，由函数的对称轴及单调性即可确定的值，进而确定函数的解析式，即可求得的值.【详解】函数（，）是上的奇函数

7、，则，所以.又的图象关于直线对称可得，即，由函数的单调区间知，即，综上，则，.故选：D【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的综合应用，由对称轴、奇偶性及单调性确定参数，属于中档题.4A【解析】求导得到，根据切线方程得到，故，设，求导得到函数在上单调递减，在上单调递增，故，计算得到答案.【详解】，则，取，故，.故，故，.设，取，解得.故函数在上单调递减，在上单调递增，故.故选：.【点睛】本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.5D【解析】分别解出集合然后求并集.【详解】解：， 故选：D【点睛】考查集合的并集运算，基础题.6C【解析】由向量垂直的向量表示求出

8、，再由投影的定义计算【详解】由可得，因为，所以故在方向上的投影为故选：C【点睛】本题考查向量的数量积与投影掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键7B【解析】由题意，框图的作用是求分段函数的值域，求解即得解.【详解】由题意可知，框图的作用是求分段函数的值域，当；当综上：.故选：B【点睛】本题考查了条件分支的程序框图，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.8D【解析】化简z（1+2i）（1+ai）=，再根据zR求解.【详解】因为z（1+2i）（1+ai）=，又因为zR，所以，解得a-2.故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9A【解析】

9、根据单位圆以及角度范围，可得，然后根据三角函数定义，可得，最后根据两角和的正弦公式，二倍角公式，简单计算，可得结果.【详解】由题可知：，又为锐角所以，根据三角函数的定义：所以由所以故选：A【点睛】本题考查三角函数的定义以及两角和正弦公式，还考查二倍角的正弦、余弦公式，难点在于公式的计算，识记公式，简单计算，属基础题.10D【解析】根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊值法进行求解即可.【详解】由可知：令，得；令，得；令，得，得，而，所以.故选：D【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了特殊值代入法，考查了数学运算能力.11D【解析】由折线图逐项分析即可求解【详解】选项，显然正确；对于，选

10、项正确；1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故错.故选：D【点睛】本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题12C【解析】对于中，根据指数幂的运算性质和不等式的性质，可判定值正确的；对于中，构造新函数，利用导数得到函数为单调递增函数，进而得到，即可判定是错误的；对于中，构造新函数，利用导数求得函数的最大值为，进而得到，即可判定是正确的.【详解】由题意，对于中，由，可得，根据不等式的性质，可得成立，所以是正确的；对于中，设函数，则，所以函数为单调递增函数，因为，则又由，所以，即，所以不正确；对于中，设函数，则，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，所以当时，函数取

11、得最大值，最大值为，所以，即，即，所以是正确的.故选：C.【点睛】本题主要考查了不等式的性质，以及导数在函数中的综合应用，其中解答中根据题意，合理构造新函数，利用导数求得函数的单调性和最值是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13（1），；（2），.【解析】（1）利用代入消参的方法即可将两个参数方程转化为普通方程；（2）利用参数方程，结合点到直线的距离公式，将问题转化为求解二次函数最值的问题，即可求得.【详解】（1）直线的普通方程为.在曲线的参数方程中，所以曲线的普通方程为.（2）设点.点到直线的距离.当时，所以点到

12、直线的距离的最小值为.此时点的坐标为.【点睛】本题考查将参数方程转化为普通方程，以及利用参数方程求距离的最值问题，属中档题.14【解析】代入求解得,再求准线方程即可.【详解】解：双曲线经过点,解得,即又,故该双曲线的准线方程为： 故答案为：【点睛】本题主要考查了双曲线的准线方程求解,属于基础题.15【解析】由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式即可计算求值得解【详解】解：a3，B2A，由正弦定理可得：，cosA故答案为【点睛】本题主要考查了正弦定理，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，属于基础题16【解析】根据函数成立的条件列不等式组,求解即可得定义域.【详解】解:要使函数有意义,则 ,

13、即.则定义域为: .故答案为: 【点睛】本题主要考查定义域的求解,要熟练掌握张建函数成立的条件.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）；（2）【解析】(1)将直线和曲线化为普通方程，联立直线和曲线，可得交点坐标，可得的值；（2）可得曲线的参数方程，利用点到直线的距离公式结合三角形的最值可得答案.【详解】解：（1）直线的普通方程为，的普通方程联立方程组，解得与的交点为，则（2）曲线的参数方程为（为参数），故点的坐标为，从而点到直线的距离是，由此当时，取得最小值，且最小值为【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的转化及参数方程的基本性质、点到直线的距离公式等，属于

14、中档题.18（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意求得的坐标，代入椭圆方程求得，由此求得椭圆的标准方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，可得关于的一元二次方程，设出的坐标，分别求出直线与直线的方程，从而求得两点的纵坐标，利用根与系数关系可化简证得为定值.【详解】（1）由已知可得：，代入椭圆方程得：椭圆方程为；（2）设直线CD的方程为，代入，得：设，则有，则AC的方程为，令，得BD的方程为，令，得，证毕.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是难题19（1）；（2）不存在，理由见解析【解析】（1）写出，根据，斜率乘积为-1，建立等量关

15、系求解离心率；（2）写出直线AB的方程，根据韦达定理求出点B的坐标，计算出弦长，根据垂直关系同理可得，利用等式即可得解.【详解】（1）由题可得，过点作直线交椭圆于点，且，直线交轴于点.点为椭圆的右顶点时，的坐标为，即，化简得：，即，解得或（舍去），所以；（2）椭圆的方程为，由（1）可得，联立得：，设B的横坐标，根据韦达定理，即，所以，同理可得若存在使得成立，则，化简得：，此方程无解，所以不存在使得成立.【点睛】此题考查求椭圆离心率，根据直线与椭圆的位置关系解决弦长问题，关键在于熟练掌握解析几何常用方法，尤其是韦达定理在解决解析几何问题中的应用.20（1）见解析；（2）.【解析】（1）利用导数分

16、析函数的单调性，并设，则，将不等式等价转化为证明，构造函数，利用导数分析函数在区间上的单调性，通过推导出来证得结论；（2）构造函数，对实数分、，利用导数分析函数的单调性，求出函数的最小值，再通过构造新函数，利用导数求出函数的最大值，可得出的最大值.【详解】（1），所以，函数单调递增，所以，当时，此时，函数单调递减；当时，此时，函数单调递增.要证，即证.不妨设，则，下证，即证，构造函数，所以，函数在区间上单调递增，即，即，且函数在区间上单调递增，所以，即，故结论成立；（2）由恒成立，得恒成立，令，则.当时，对任意的，函数在上单调递增，当时，不符合题意；当时，；当时，令，得，此时，函数单调递增；令

17、，得，此时，函数单调递减.令，设，则.当时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减.所以，函数在处取得最大值，即.因此，的最大值为.【点睛】本题考查利用导数证明不等式，同时也考查了利用导数求代数式的最值，构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于难题.21（1） （2）证明见解析【解析】（1）先求得导函数，根据两个极值点可知有两个不等实根，构造函数，求得；讨论和两种情况，即可确定零点的情况，即可由零点的情况确定的取值范围；（2）根据极值点定义可知，代入不等式化简变形后可知只需证明；构造函数，并求得，进而判断的单调区间，由题意可知，并设，构造函数，并求得，即可判断在内的单调性和最值，进而可得，

18、即可由函数性质得，进而由单调性证明，即证明，从而证明原不等式成立.【详解】（1）函数则，因为存在两个极值点，所以有两个不等实根.设，所以.当时，所以在上单调递增，至多有一个零点，不符合题意.当时，令得，0减极小值增所以，即.又因为，所以在区间和上各有一个零点，符合题意，综上，实数的取值范围为.（2）证明：由题意知，所以，.要证明，只需证明，只需证明.因为，所以.设，则，所以在上是增函数，在上是减函数.因为，不妨设，设，则，当时，所以，所以在上是增函数，所以，所以，即.因为，所以，所以.因为，且在上是减函数，所以，即，所以原命题成立，得证.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的极值点，由导数证明不等式，构造函数法的综合应用，极值点偏移证明不等式成立的应用，是高考的常考点和热点，