工程水文学第四章 水文统计基本方法ppt课件

1、 第四章 水文统计根本方法 概率的根本概念 随机变量及其概率分布 水文频率曲线线型 P型分布参数估计 水文频率计算适线法 相关分析 第一节 概述 一、水文景象的随机性： 二、概率论和数理统计学在水文分析中的运用： 三、水文统计处理的问题： 给定样本，求指定频率的设计值 例：求指定频率的设计洪水。 方法：确定频率曲线。 第二节 概率的根本概念 一、事件 指在一定条件组合下，随机实验的结果。 分为：必然事件、不能够事件、随机事件。 水文检验可看作随机实验。 二、概率 反映随机事件出现的能够性大小的数量规范： 三、频率 对于水文景象，用频率作为概率的近似值： 第三节 随机变量及其概率分布 一、随机变

2、量 随实验结果而发生变化的变量，用 X 表示，取值用 表示 。 例：水文特征值：年径流、洪峰流量。 离散型随机变量： 延续型随机变量：水文特征值属延续型随机变量。 二、随机变量的概率分布 随机变量的取值与其概率的对应关系，称为随机变量的概率分布。 对于水文变量；常研讨大于等于某一取值 x 的概率 ，即： 水文上通常称随机变量的累积频率曲线，简称频率曲线。 三、概率分布函数与概率密度函数的关系 概率分布函数导数负值，称为概率密度函数。 四、随机变量的统计参数 总体统计参数、样本统计参数 均值、均方差、变差系数、偏态系数 总体：随机变量一切取值的全体。 样本：从总体中抽取的一部分。 样本容量：样本

3、包括的项数，样本大小。 水文样本系列： 统计参数是样本统计参数。均值( )：定义模比系数：那么： 反响系列总程度 均方差、变差系数Cv： 反映系列中各变量值集中或离散的程度 例4-2： 5， 10， 15 x=10 =4.08 Cv=0.48 995，1000，1005 x=1000 =4.08 Cv=0.0048 偏态系数Cs: 反映系列在均值两边对称程度正态曲线或正态分布：密度函数：密度曲线：样本系列13002200318541655150 例4-3：计算系列的统计参数均值、变差系数、偏态系数。样本系列统计参数计算（P.40）样本系列(xi-x)2(xi-x)3KiKi-1(Ki-1)31

4、3001000010000001.50.50.1252200001003185225-33750.925-0.075-0.0004218741651225-428750.825-0.175-0.0053593851502500-1250000.75-0.25-0.015625均值20027901657500.10359375均方差52.8 变差系数0.2641021.12 偏态系数1.12 第四节 水文频率曲线线型 一、阅历频率曲线 由实测资料样本绘制的频率曲线。 绘制 设某水文要素如年径流量的实测系列共 n 项，按由大到小的次序陈列为x1、x2、.、x m、.、x n。第m项的阅历频率就是在

5、系列中大于及等于样本 x m 的项数出现次数m次与样本容量n之比值，即 当m=n时，p=100%，即样本的末项 xn是总体中的最小值，显然不符合实践，由于随着观测年数的增多，总会出现更小的数值。对上式进展修正，有：数学期望公式： 在频率格纸上以系列各项的频率为横坐标、各项的值为纵坐标点图，再经过点群中心目估绘光滑曲线即阅历频率曲线。年份年最大洪峰流量序号由大到小排列经验频率（1）（2）（3）（4）（5）1961720126509.1 196210802206018.2 196310303144027.3 196412504142036.4 196514405137045.5 196614206

6、125054.5 196711207112063.6 196820608108072.7 196913709103081.8 197026501072090.9 例4-4：知某水利枢纽，年最大洪峰流量系列，绘制阅历频率曲线。某枢纽年最大洪峰流量阅历频率曲线 二、实际频率曲线：1、皮尔逊型分布曲线 P-)一端有限，一端无限的不对称单峰曲线可以推证： 外形、尺度和位置参数 水文计算： 普通需求出指定频率P所对应的随机变量取值，即 。例如：频率为1%百年一遇的设计洪峰流量 。这就需求对密度曲线进展积分，求出等于及大于 的累积频率 P值。 实际频率曲线绘制： 即求出的 应满足 ：令： ，是均值为零，规

7、范差为1的 规范化变量离均系数那么有: 取决于 四个参数。 该式包含CS、P与 p的关系，根据拟定CS值，可得不同 P 的 p 值，附表。然后利用知的 和CV值，经过下式即可求出与各种P相应的 值，从而可绘出实际频率曲线。 实际频率曲线的绘制： 知统计参数 ，求不同频率 对应的值： 然后在频率格纸上绘曲线，横坐标为频率，纵坐标为水文特征值。 例4-5：某站年径流系列符合P-型分布，知该系列的， , CV=0.25 ，CS=2Cv，试绘实际频率曲线。 解：当CS=2Cv 时，查附表得不同频率下的Kp，代入下式：P0.010.10.20.330.512Kp2.221.961.871.811.771

8、.671.58Xp144312741215.51176.51150.51085.51027P10205075909599Kp1.331.20.980.820.70.630.52Xp864.5780637533455409.5338实际频率曲线 三、频率与重现期的关系 水文上常用“重现期来替代“频率 1. 当研讨暴雨或洪水时普通P50% 2. 当研讨枯水或年径流时普通 P50% 例如: 当某一洪水的频率为P=1%时，那么T=100年，称此洪水为百年一遇洪水，表示大于等于这样的洪程度均100年会遇到一次。 对于p=80%的枯水流量，那么 T=5 年，称作以五年一遇枯水流量作为设计来水的规范。表示小

9、于等于这样的流量平均5年会遇到一次。阐明具有80%的可靠程度。 第五节 P型分布参数估计 用有限的样本观测资料估计总体分布线型中的参数，如P型的 、CV、CS 。 一、矩法 用样本矩估计总体矩，并经过矩与参数之间的关系，来估计频率曲线的参数。 均值 无偏估计： CV的无偏估计量： CS 的无偏估计量： 二、权函数法 马秀峰1984提出。 三、抽样误差 由随机抽样引起的误差，称为抽样误差。 以均值为例；抽样误差定义为： 样本均值是随机变量,抽样误差也为随机变量。抽样误差近似服从正态分布。 可以证明， 系列的均方差 可作为度量抽样误差的目的，称为均方误。 各参数的均方误抽样误差：CV=2CS时样本

10、参数的均方误(相当误差，%）cv 参数均值变差系数偏态系数1005025101005025101005025100.1112371014221261782523990.33469710152351721021620.557101681116254158821300.77101422912172740568012611014203210142032426085134 第六节 水文频率计算适线法配线法 适线法： 是以阅历频率点据为根底，在一定的适线准那么下，求解与阅历点据拟合最优的频率曲线参数，得到一条实际频率曲线。 目估适线法、优化适线法。 一、目估适线法 1将实测资料由大到小陈列，计算各项的阅

11、历频率，在频率格纸上点绘阅历点据。 2选定水文频率分布线型普通选用P-型。 3初估一组参数 、CV、CS。 为了使初估值大致接近实践，可用矩法或其它方法求出3个参数，作为3个参数第一次的假定值。 当用矩法估计时，因CS的抽样误差太大，普通不计算CS，而是根据阅历假定CS为CV的某一倍数如CS =2 CV 。 4根据假定的 、 CV 、 CS ，查附表 ，计算xP值，以x P为纵坐标，p为横坐标，即可得到频率曲线。 将此线画在绘有阅历点据的图上，看与阅历点据配合的情况，假设不理想，那么修正参数再次进展计算。 5最后根据频率曲线与阅历点据的配合情况，从中选择一条与阅历点据配合较好的曲线作为采用曲线

12、。相应于该曲线的参数便看作是总体参数的估值。 二、统计参数对频率曲线的影响： 1均值 对频率曲线的影响 1.均值大的位于小的之上。 2.均值大的较小的陡。2CV对频率曲线的影响 1.随着CV的增大,频率曲线越来越陡。3CS对频率曲线的影响 1. CS越大,均值(K=1)对应的频率越小，频率曲线中部越向左偏，且上段 越陡，下段越平缓。 例4-6：某枢纽处最大洪峰流量频率计算某枢纽处年最大洪峰流量计算表年份洪峰流量序号排序模比系数（Ki)Ki-1(Ki-1)2频率（P）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）19451540127502.207 1.207 1.4562 4.5 19469

13、80223901.918 0.918 0.8424 9.1 19471090318601.493 0.493 0.2426 13.6 19481050417401.396 0.396 0.1570 18.2 19491860515401.236 0.236 0.0556 22.7 19501140615201.220 0.220 0.0483 27.3 1951790712701.019 0.019 0.0004 31.8 19522750812601.011 0.011 0.0001 36.4 1953762912100.971 -0.029 0.0008 40.9 195423901012

14、000.963 -0.037 0.0014 45.5 195512101111400.915 -0.085 0.0073 50.0 195612701210900.875 -0.125 0.0157 54.5 195712001310500.843 -0.157 0.0248 59.1 195817401410500.843 -0.157 0.0248 63.6 1959883159800.786 -0.214 0.0456 68.2 19601260168830.709 -0.291 0.0849 72.7 1961408177940.637 -0.363 0.1317 77.3 19621

15、050187900.634 -0.366 0.1340 81.8 19631520197620.611 -0.389 0.1510 86.4 1964483204830.388 -0.612 0.3751 90.9 1965794214080.327 -0.673 0.4524 95.5 总计261702617021.00 0.000 4.252 均值1246 变差系数0.46 1、矩法估计参数洪峰频率曲线选配计算表频率 P（%）第一次配线第二次配线第三次配线Q=1246 CV=0.5 CS=2CV=1.0Q=1246 CV=0.6 CS=2CV=1.2Q=1246 CV=0.6 CS=2.5

16、CV=1.5（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）12.513127 2.893601 33738 51.942417 2.152679 2.172704 101.672081 1.82243 1.82243 201.381719 1.441794 1.421769 500.921146 0.891109 0.861072 750.64797 0.56698 0.56698 900.44548 0.35436 0.39486 950.34424 0.26324 0.32399 990.21262 0.13162 0.24299 2、权函数法估计参数：序号排序Qi(m3/s)（1）（2）（3

17、）（4）（5）127500.00069429 -3.42 0.03 2.26 2.73 3.292 223900.00069429 -1.98 0.14 9.57 8.79 8.065 318600.00069429 -0.57 0.57 39.24 19.33 9.520 417400.00069429 -0.37 0.69 47.99 19.02 7.536 515400.00069429 -0.13 0.88 60.92 14.36 3.386 615200.00069429 -0.11 0.89 61.98 13.62 2.992 712700.00069429 0.00 1.00 6

18、9.37 1.33 0.025 812600.00069429 0.00 1.00 69.41 0.77 0.009 912100.00069429 0.00 1.00 69.29 -2.01 0.058 1012000.00069429 0.00 1.00 69.21 -2.57 0.095 1111400.00069429 -0.02 0.98 68.25 -5.82 0.496 1210900.00069429 -0.04 0.96 66.91 -8.39 1.051 1310500.00069429 -0.06 0.94 65.50 -10.31 1.623 1410500.00069

19、429 -0.06 0.94 65.50 -10.31 1.623 159800.00069429 -0.11 0.90 62.37 -13.32 2.845 168830.00069429 -0.20 0.82 56.86 -16.57 4.829 177940.00069429 -0.31 0.73 50.94 -18.48 6.707 187900.00069429 -0.32 0.73 50.66 -18.55 6.789 197620.00069429 -0.36 0.70 48.68 -18.91 7.349 204830.00069429 -0.88 0.41 28.74 -17

20、.60 10.779 214080.00069429 -1.06 0.35 23.96 -16.12 10.839 总和2617015.6649261087.60785-79.0174747189.90943292均值1246.19 E-4689.1 G6648976.8 CS1.6 两种参数估计方法配线结果对比 第七节 相关分析 一、相关关系的概念 1、相关分析： 研讨两个或多个随机变量之间的联络。例如：降雨与径流之间、上下游洪水之间、水位与流量之间等。 水文计算中的运用：资料的插补展延、水文预告等。 2、留意的问题： 必需先分析变量在成因上能否有联络。 3、两变量之间关系(简单相关) 二、简单直线相关关系 方法： 相关图解法 相关分析法 1、相关分析法 最小二乘法确定参数a、b。 设：两变量之间的相关关系为： 原理：在一切观测点与配合的直线在纵轴方向的离差平方和最小的前提下求a、b：观测点与配合的直线在纵轴方向的离差为：在：为极小值的条件下求a、b 。 欲使上式获得极小值，可分别对a和b求一阶导