塑性成形过程中相场法及其应用论述

1、塑性成形过程中相场法及其应用学 生 姓 名：学 号：学生所在院（系）：第 1 章 相场法的特点1.1 相场法的概念相场法是一种基于经典热力学和动力学理论的半唯象方法 1 。该方法具有以下优点 : 可以通过场变量简单明了地表征出任何一种复杂组织的几何形貌， 包括单个区域或晶粒的几何形状，区域或晶粒的空间分布、体积分数等 ; 可以考虑内部场和外加场 ( 如应变场、电场和磁场 )对组织变化的影响 ; 并且在 2 维和 3 维系统的应用并不增加模型的复杂性2 。相场法已经十分成熟地应用于模拟凝固过程 1,3,4 ，但是在固相 - 固相转变模拟的应用正处在活跃发展的阶段5 。1.2 相场法的特点微观组织

2、演化的经典动力学通过将有着固定结构和成分的晶粒严格区分的尖锐界面的几何形状来描述多相微观组织。 然后微观组织的演化可以通过求解一系列非线性偏微分方程获得 , 其中移动界面满足自相容边界条件 6 。然而 , 对于复杂的微观组织 , 利用传统方法无法求出移动或自由界面的解析解 , 即使是其数值解也很难求出 7 。因此有关粒子形状、粒子数量的问题无法利用传统方法解决。为了解决大部分传统方法面临的困难 , 最近人们越来越有兴趣利用场动力学理论描述任意介观和微观组织以及其随时间的演化, 其主要原因就是与其它模拟方法相比相场法具有一些其它模拟方法所不具备的独特之处: 首先 , 相场法通过场变量可以简单明了

3、地表征出任何一种复杂组织的几何形貌, 而且包括单个区域或晶粒的几何形状 , 区域或晶粒的空间分布、 体积分数、局部表面曲率 ( 如表面的坡口角和二面角 ) 和内界面这样的细节在内 8 。其次 , 相场法可以对与长程和短程相互作用有关的各种热力学驱动力加以考虑 , 所以利用相场法可以研究内部场和外加场 ( 如应变场、电场和磁场 ) 对组织变化的影响。第三 , 相场法可以在相同的物理和数学模型下模拟诸如 : 形核、长大、粗化和外场诱发的组织变化等不同的现象。第四 , 相场法中的时间 , 尺寸和温度的标度可以根据卡恩一希利阿德扩散方程和金兹博格一朗道方程中采用的半唯象常数来确定。从原理上来说 , 这

4、些标度可以和所研究系统的实验测量数据或者更基本的模拟数据相对应。第五 , 相场法是一种相对简单的方法而且它在二维和三维系统的应用并不增加模型的复杂性。2 章 相场法的理论基础相场法模拟的理论基础相场法的理论基础是经典的热力学和动力学理论。例如 : 总体自由能的减少是组织变化的驱动力 , 原子和界面的迁移速率决定组织变化的速率。在组织变化的过程中 , 总自由能的减少通常包括以下的一个或几个部分 : 体化学自由能的降; 表面能和界面能的减少 ; 弹性应变能的松弛以及与外作用场相关的能量的降( 如 : 外加应变场、电场和磁场 ) 。在这些因素的驱动下 , 组织的各个组成部分 ( 如各相和各区域 )

5、将通过扩散和界面控制的动力学过程发生变化 , 达到一种能量较低的新的状态 , 这种变化通常包括新相或新区域的形核( 或连续分解 ) 和新的多相/ 多区域组织随后的长大和粗化。与传统的方法相比， 相场法也是用偏微分方程来描述组织的变化， 但是该方法是通过引入一套与时间和空间有关的场变量把复杂的组织作为一个整体来研究 9 。最熟悉的场变量的例子就是表征成分分布的浓度场和表征多相材料和多晶材料中结构变化的长程有序化参数场 10 。这些场变量随时间和空间的变化提供了关于介观尺寸的组织变化的全部信息。 场变量的变化可以通过求解半唯象的动力学方程来获得。在大多数固态相变中 , 除了结构的变化外还有成分的变

6、化 , 因此还需要引入成分场 c( ?)?作为场变量来描绘组织成分的变化。根据朗道理论可知以上所定义的场变量随时间的变化与系统的热力学驱动力成正比 , 可以通过这一原理确定一系列偏微分方程 , 求解这些偏微分方程可得出场变量随时间的变化 , 从而可以描述出合金组织随时间的变化。2.1.1 朗道相变理论相场模型的理论基础是朗道(Landau) 相变理论 11 , 该理论是建立在统计理论的平均场近似基础上的理论 , 具有形式简单、理论性强等特点。 1937 年, 朗道建立了二级相变的唯象理论 , 把体系的自由能作为温度和序参量的函数展开为幕级数。该理论强调了相变时对称性改变的重要性 , 并采用一个

7、反映体系内部状态的热力学变量即序参量来描述相变时的对称破缺。 序参量反映了系统内部的有序化程度 , 它在高对称相等于零 , 而在低对称相则不等于零。 对称破缺意味着出现了有序相 , 其序参量不为零。因此 , 序参量可以为某一物理量的平均值 , 既可以是标量也可以是矢量 , 在高温相中为零 , 在低温相中为一个有限值。 相变则意味着序参量从零向非零的过渡 , 或其逆过程。朗道二级相变理论假设自由能(f) 为序参量 ( ?) 、温度 (T) 和压强 (P) 的函数 ,并将 f 按 ?的幂级数展开 f(P,T, ?)=f 0+? +A1? 1 +A2? 2 +A3? 3 +?式中 , 系数 ,A 1

8、,A 2 ,A 3 為都是 P 和 T 的函数。2.1.2 扩散界面模型在相转变和微结构演变的传统模拟方法中，不同畴之间的界面是尖锐的, 多畴结构可以用界面的位置来描述12 。每一个畴都可以通过求解一系列微分方程来得到其结构。因此 , 尖锐界面需要直接跟踪动态界面的演化过程。对于具有十分复杂的界面结构的问题 , 釆用经典尖锐界面模型去跟踪界面演化 , 给计算带来很大的困难。真实材料中的相界或晶界实际上并不是严格的零厚度界面 , 而是具有一定厚度的边界层 , 这层厚度控制着材料相变动力学 ( 如凝固中的非平衡效应 , 溶质截流效应等现象。在扩散界面模型中 , 微结构是通过一系列相场变量来描述。引

9、入在空间和时间上都连续变化的相场变量可以把尖锐界面问题转变为弥散界面问题。 在相场模型中 , 系统的自由能在整个模拟区域内用统一的形式来描述 , 因此在组织模拟过程中不再需要追踪复杂的相界面。2.2 相场法模型的基本方程连续场法的基本思想是选择一些场变量 , 这些场变量的动力学演化速度远远慢于微观系统中大量的微观自由度 , 使其在当前计算机处理能力范围内 13 。场变量的选择很重要 , 其原则是既不忽略必要的物理因素也不引入无关的因素。一般来讲 , 场变量应该代表系统的主要动力学特征并且在演化过程中起主要作用。场变量随时间的演化可以通过解偏微分方程获得 , 并假设场变量随时间的变化率正比于热力

10、学驱动力 ( 线性动力学理论 ) 。在相场法中 , 场变量随时间的变化通过唯象的与时间相关的金兹博格一朗道动力学方程求得 :其中 , p 是所选的场变量 , 其准确选择取决于具体情况并且需要能反映系统的特征。一般说来 , 场变量可以是可测量的物理量 , 例如合金成分 , 而在有的情况下则很难定义这样的物理量 , 例如在液 - 固凝固的系统中 , 需要定义一定数量的取向场变量来表示凝固后各个取向的晶体结构 14 。场变量可以是标量、 矢量、张量 ,这取决于具体的系统特征 , 此外我们所提到的标量场变量在像磁场这样的系统中可以表示有三个空间分量的矢量磁矩 ; 该变量也可能是二阶张量例如表示液晶中确

11、定的序列。3 章 相场法的主要步骤及数值解法计算机模拟的主要步骤如下：(1)为所研究的特定的组织特征选择合适的慢速变量。根据系统的对称性和基本的热力学行为求出经晶粒粗化近似的自由能表达式且该表达式要以慢速变量为自变量 15。根据实验数据或更基本的计算结果确定自由能函数中的唯象参数。(4) 确定合适的初始条件和边界条件并用数值方法对场动力学方程( 一系列偏微分方程 )求解。3.2 相场法的数值解法针对研究对象的特征,构建好物理模型后,就需要求解模型的基本方程,并将基本方程所涉及的区域在时间和空间上进行离散化处理16 。求解物理模型通常有两种方法 :(1)解析法 ,其主要特点是通过严格的数学推导求

12、出问题的精确解(又称解析解 );(2)数值法 ,它通过一定的算法和程序,利用计算机计算出问题的近似解(又称数值解 )。在相场模型中 ,材料微结构演化的问题最终转化为求解一系列相场方程。由于体系总自由能 f 通常是非线性方程 ,使得相场方程成为了一系列高度非线性的偏微分方程 ,而这类偏微分方程通常难以得到解析解 17。因此 ,采用计算机数值计算方法对相场方程进行求解就显得十分必要。目前 ,求解偏微分方程的数值计算方法主要包括有限差分法、傅里叶谱方法和有限元方法。3.2.1 有限差分法有限差分法是一种以差分原理为基础的数值计算方法。其基本思想是将整个连续的空间离散成小网格,然后用网格节点中的差商代

13、替原微分方程中的微分,用网格节点中的函数求和代替原方程中的积分 18 ,由此就把原来求解偏微分方程的问题转换为求解相邻网格点上差分方程组的问题。将整个连续空间离散为许多小网格,原则上讲 ,网格分割是可以任意的。但在实际应用中 ,通常是根据边界形状 ,釆用最简单、最有规律的方法来分割。常用的有矩形分割法 ,三角形分割法和极坐标网格分割法。3.2.2 傅里叶谱方法傅里叶谱方法是另一种重要的求解偏微分方程的数值计算方法19。该方法在求解偏微分方程方面具有很大潜力 ,因为有快速傅里叶变换而具有强大的威力。相场法在处理边界问题时 ,通常釆用周期性边界条件 20 ,而快速傅里叶变换在处理周期性边界条件时非

14、常方便。第 4 章 相场法的应用由于相场法所具备的各种独特优点 ,目前相场法已经在各种不同的材料研究领域内得到了应用 21-23,主要包括以下几个方面 :凝固过程、晶粒长大过程、固态相变和位错演化过程。4.1 凝固模拟凝固过程微观组织模拟己日趋成为当前材料学科的研究热点,目前主要有确定性模型、随机性模型和相场模型。 凝固过程中枝晶的生长是一种分形生长,其固液界面异常复杂 ,而采用一般的方法都必须精确跟踪这一复杂界面的运动,因此使得计算非常复杂 ,难以编程实现。相比之下相场法无需跟踪界面的特点就显得异常吸引人。Wheeler24 等人建立二元合金等温凝固的WBM 模型，后经 Warren 修正，

15、模拟得到了Ni-Cu 等温凝固的枝晶形貌。 Kim 25 等将薄界面处理方法应用于合金的相场模型中，提出了KKS 模型。4.2 晶粒长大模拟晶粒长大是纯金属、 合金、陶瓷等多晶材料在制备和热加工中最普遍的现象,通过相场法可以拟形核， 长大，粗化等转变过程 26 。对材料的性能有着很重要的影响。 Chen27首先提出的以相场模型描述晶粒长大过程的多晶相场模型 ,该模型的特点是将晶界作弥散化 (在含晶界的区域晶体几何结构和物理性质上连续过渡 )处理 , 通过构造具有多个势阱形式的自由能密度函数，模拟了二维理想晶粒长大过程，不必直接跟踪复杂的动态界面演化过程 ,克服了用 Potts28 等尖锐界面模

16、型模拟晶粒长大时存在的问题。 且易于将物理场与晶界几何形态等复杂因素对晶粒长大过程的影响考虑进来 ,物理意义更加明确 ,更适合从热力学角度唯象描述晶粒长大过程方面的模拟计算工作。第二相颗粒钉扎作用也是材料学中常见的现象之一， 弥散分布的第二相粒子已经成为控制晶粒尺寸的常用手段。 Moelans29等人提出了加入第二相颗粒的连续相场模型，采用额外的自由能密度函数来描述第二相， 模拟研究了二维和三维空间下第二相钉扎晶粒长大的现象 30，指出成分和结构影响作用较小， 起决定性作用的是第二相颗粒的尺寸。4.3 固态相变模拟固态相变的最终目标是调整金属及合金的化学成分和组织结研究金属及合金的结构，赋予材

17、料人们所要求的各种性能， 利用相场法研究固态相变得到了广泛的应用在固态相变方面 ,相场法更是得到了广泛的应用 31 。无论是各种扩散型相变 ,如调幅分解、沉淀反应等 ,还是无扩散型相变 ,如马氏体转变、铁电转变及各种结构相变。 Mebed32 等人采用相场法模拟证明了Ti-Cr 二元合金失稳分解的存在 ,并得到了和实验一致的结果。Chen 等研究了 Ti-Al-Nb 合金中 2 相转变为 O型相的过程。 Katzarov33 等利用相场模型模拟了-TiAl合金中层片组织的形成。4.4 再结晶模拟在研究再结晶相关方面， 虽然相场法也得到了一定的应用， 但是由于再结晶过程的复杂性，变量因素较多，限

18、制了相场法在再结晶方面的发展。近年来，在相关工作者的共同努力下，借助相场法研究再结晶过程得到了长足的进步。Wang34 等通过建立相场模型，对 AZ31 镁合金再结晶晶粒长大过程进行了模拟研究。 Gao29 等运用相场动力学方程对变形镁合金静态再结晶过程进行了模拟，研究了静态再结晶过程和储存能的释放规律。 Suwa35等结合统一的亚晶生长理论利用相场模型研究了静态再结晶过程。 然而这些工作只局限于静态再结晶过程，而对于动态再结晶过程， Takaki33 等通过建立多相场动态再结晶模型研究了变形量对动态再结晶过程微观组织与宏观应力 -应变关系的影响， 但是未对变形温度、多阶段变形的影响进行深入研

19、究。参考文献1Nestler B,Wheeler A A 2000 Phvsica D 138 1142Yang Y J,Wang J C，Zhang Y X, Zhu Y C, Yang G C 2009 Acta Phys. Sin. 582797 (in Chinese)3Li J J,Wang J C, Yang G C 2008 Chin. Phys. B17 35164Lu Y,Wang F, Zhu C S,Wang Z P 2006 Acta Phys. Sin. 555GuoW,Zong B Y,Wang G ,Zuo L 2004.J. Mater. Sci Technol

20、.20245Leo PH, Sekerka RF.The effect of elastic fields of the morphological stability of a precipitate growth from solid solution J, Acta Metall., 1989, 37: 3139-3149.Leo P H. Effect of elasticity on Late stage coarsening J, Acta Metall. Mater. 1990 38: 1573 一 1580.Johnson W C. The coarsening kinetic

21、s of two misfitting particles in an anisotropic crystal J, Acta Metall. Mater., 1990, 38:1349-1367.Cahn .J W 1961 Acta Metall. 9 79510 Gunton J D, Miguel M S,Sahni P S 1983 Phase Transitions and CriticalPhenamena ( London:A Academic Press)pp267-466冯端 .金属物理第二卷 (相变 )M. 北京 :科学技术出版社， 2000.Grant M, Gunto

22、n J D. Temperature dependenceof the dynamics of random interfacesJ. Physical Review B, 1983,28(10):5496.13 GuntonJD,ThedynamicsoffirstorderphasetransitionsC,Phase transformations and critical phenomena. Academic press, 1983, 8: 267-466. 14 Boettinger W,J, Beckermann C,et al. Phase-field simulation o

23、fsolificationJ, Annual review of materials research, 2002,32: 163-19415 王明涛 .相场法对 AZ31 镁合金再结晶过程实现真实时空模拟的研究D. 东北大学 ,博士学位论文， 2009.马文淦 .计算物理学 M. 北京 :科学出版社， 2005.Oono Y, Puri S. Computationally efficient modeling of ordering of quenchedphasesJ.Physical review letters, 1987,58(8):836一 839.18 魏承场，李赛毅.温度梯度

24、对晶粒生长行为影响的相场模拟田.物理学报2011,60(10):100701.Chen L Q, Shen J. Applications of semi-implicit Fourier-spectral method to phase field equations J. Computer Physics Communications, 1998,108(2):147-158.罗志荣，高英俊，邱鸿广，张海林 .相场法模拟多个空间取向的棒状第二相粒子对晶粒长大的影响田 .中国有色金属学报， 2010,20(12):2406-2411.Wheeler A A, Boettinger W J,

25、Mcfadden G B, Phase-Field Model of Solute Trapping During Solidification, Phys. Rev. E., 1993,473:1893一 1909Warren J A, Boettinger W J, Prediction of Dendritic Growth and Microsegregation Patterns in a Binary Alloy Using the Phase-Field Method, Acta Metall. Mater.,1995, 432:689-70323 于艳梅，赵达文，杨根仓等，过冷

26、熔体中枝晶生长的数值模拟，物理学报，2001，5012:2423 一 242724 朱昌盛，王智平，荆涛等，二元合金微观偏析的相场法数值模拟，物理学报，2006553:1502-1507Lewis D, Pusztal T, Granasy L, et al., Phase-Field Models for Eutectic Solidification, Simulating Interfaces and Microstructural Evolution,2004,56:33-35Fan D, Chen L Q, Diffusion-Controlled Grain Growth in T

27、wo Phase Solids, Acta Mater,1997, 458: 3297-3310Kim S G, Kim D I, Kim W T, et a1.,Computer Simulation of Two-Dimensional and Three-Dimensional Ideal Grain Growth,Phys. Rev. E.,2006, 746:061605-1061605-14Moelans N, Blanpain B, Wollants P, Phase field simulations of grain growth in two-dimensional systems containing finely dispersed second-phase particles, Acta Materialia,2006,54:1175-1184Suw