中考数学命题研究第一编教材知识梳理篇第三章函数及其图象第五节二次函数的图象及性质(精讲)试题

1、第五节 二次函数的图象及性质, 贵阳五年中考命题规律)年份题型题号考查点考查内容分值总分(1)求二次函数表达二次函数的式； (2)求2016解答25动点过程线1212图象及性质段的最大值； (3)探索点的坐标给出抛物线经过 x 轴上两点坐标：二次函数的(1)判断字2015解答24母符号；1212图象及性质(2)确定表达式； (3)探索点的坐标给出抛物线经过两点坐标： (1)求二次函数的表达式；(2)求平移2014解答25图象及图象1212后字母的范的平移围； (3)分类讨论以某边为底的等腰三角形2013填空15二次函数的根据性质求4性质字母范围根据图象求： (1)顶解答23二次函数的点坐标；1

2、014图象(2) 直线表达式； (3)直线与抛物1/182012选择解答命题规律命题预测线交点坐标二次函数的根据图象确定最大值、310图象及性质最小值根据图象上的点的坐标求： (1) 二二次函数的次函数表达121525式； (2) 四图象及性质边形的面积； (3) 探索存在性纵观贵阳市年中考，二次函数图象及性质在中考中一般设置 12道题，分值为 12 15分，在解答、选择、填空均有涉及，但在解答题当中必然出现且分值 10 12分预计 2017年贵阳中考，二次函数图象及性质是必考内容，涉及内容为已知抛物线上的点的坐标，求表达式及探索其他问题，学生务必加大训练力度 .2/18, 贵阳五年中考真题及

3、模拟)二次函数的图象及性质(7 次)1( 2013 贵阳 15 题 4 分 ) 已知二次函数y x2 2mx 2，当 x 2 时， y 的值随 x 值的增大而增大，则实数 m的取值范围是_m 2_2( 2012 贵阳 10 题 3 分 ) 已知二次函数y ax2 bx c(a 0) 的图象如图所示，当 5 x 0 时，下列说法正确的是 (B)A有最小值 5、最大值 0B有最小值 3、最大值 6C有最小值0、最大值63/18D有最小值2、最大值63( 2013 贵阳 23 题 10 分) 已知：直线y ax b 过抛物线y x2 2x 3 的顶点 P，如图所示：(1) 顶点 P 的坐标是 _(

4、1， 4) _；(2) 若直线 y axb 经过另一点A(0 ，11) ，求出该直线的表达式；(3) 在 (2) 的条件下，若有一条直线y mxn 与直线 y ax b 关于 x 轴成轴对称，求直线y mx n 与抛物线y x2 2x3 的交点坐标解： (2)y 7x 11； (3) 直线y mx n 与直线y 7x 11 关于 x 轴对称， y mx n 过点P( 1， 4 mn，24) ，A(0 ， 11) ， 11n，m 7， n 11. y 7x11， 7x 11 x 2x 3， x1 7，x2 2， y1 60， y23， 交点坐标为 (7 ， 60) ， ( 2，3) 1 24(

5、2012 贵阳 25 题 12 分 ) 如图 ，二次函数y2x x c 的图象与 x 轴分别交于A、 B两点 ，顶点 M关于 x 轴的对称点是M.(1) 若 A( 4，0) ，求二次函数的关系式；(2) 在 (1) 的条件下，求四边形AMBM的面积；1是否存在抛物线 y 2x2 x c，使得四边形 AMBM 为正方形？若存在 ，请求出此抛物线的函数关系式；若不存在，请说明理由12x 12；(2)121211225解： (1)y 2x y2x x 12 2(x 2x 1) 212 2(x 1) 2 ， 顶点 M的坐标为 (1 ，25125 2 ) ， A( 4， 0) ，对称轴为 x1， 点 B

6、 的坐标为 (6 ， 0) ， AB6 ( 4) 6 410， SABM 2 10 242 ， 顶点 M 关于 x 轴的对称点是 M ， S四边形AMBM 2S 2 2 125； (3) 存在抛物线y 2x x 2，ABM使得四边形 AMBM 为正方形理由如下：令12A(x1， 0) ， B(x 2，y 0，则 2xx c 0，设点 A， B 的坐标分别为114ac b22c 10) ，则 x1 x2 2 2，x1 x2 22c， AB ，点 M 的纵坐标为：4a 2 ， 顶点 M 关于 x 轴的对1 2c213称点是 M ，四边形 AMBM 为正方形 ， 2212

7、2，又抛物线，整理得 ， 4c 4c 3 0，解得 c 2， c22113123与 x 轴有两个交点 ， b 4ac ( 1)4 2c0，解得 c2， c的值为 2，故存在抛物线y 2x x 2，使得四边形AMBM为正方形15( 2014 贵阳 25 题 12 分 ) 如图 ，经过点 A(0 ， 6) 的抛物线y2x2 bx c 与 x 轴相交于B( 2， 0) ， C 两点(1) 求此抛物线的函数关系式和顶点D 的坐标；(2) 将 (1) 中求得的抛物线向左平移1 个单位长度 ，再向上平移m(m 0) 个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线 y1 的顶点 P 在 ABC内，求 m的取值范围在

8、 (2) 的结论下 ，新抛物线 y1 上是否存在点 Q，使得 QAB是以 AB 为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m的取值范围解： (1)y121212 2x 2x 6， D(2 ， 8) ； (2) y1 2(x 2 1) 8 m，y 2(x 1) 8 m， P(1 ， m 8) ，1在抛物线12 2x 6中易知 C(6 ，0) ， 直线 AC 为 y x 6，当 x 1 时， y 5， 5m 80，解得y 2x221031033m8； (3) 当 3m18 时，存在两个 Q 点，可作出两个等腰三角形；当m 18 时，存在一个 Q 点，可作出一103个等腰三角形

9、；18 m_0， b 4ac _0； ( 选填 “ ”或 “ ”)若该抛物线关于直线 x 2 对称，求抛物线的函数表达式；(3) 在 (2) 的条件下，连接AC， E 是抛物线上一动点，过点E 作 AC 的平行线交x 轴于点F. 是否存在这样的点E，使得以A， C， E， F 为顶点所组成的四边形是平行四边形？若存在，求出满足条件的点E 的坐标；若不存在，5/18请说明理由1 24解： (2)y 3x 3x 4；(3) 存在 ( ) 假设存在点E，使得以 A， C， E， F 为顶点所组成的四边形是平行四边形，过点C 作 CE x 轴，交抛物线于点E，如图 1，过点 E 作 EFAC，交 x

10、轴于点 F，则四边形ACEF即为满足条124对称， 由抛物线的对称性可知E 点的横坐标为 4，又件的平行四边形 ， 抛物线 y 3x3x 4 关于直线 x 2 OC 4，E 点的纵坐标为 4，存在点E(4， 4) ( ) 假设在抛物线上还存在点E，使得以A， C，F，E为顶点所组成的四边形是平行四边形，如图2，过点 E作 EF AC交 x 轴于点 F，则四边形ACFE即为满足条件的平行四边形， ACEF， ACEF，过点E作 EG x 轴于点 G， ACEF， CAO EFG，又 COA EGF 90，ACEF， CAO EFG， EGCO 4，点 E的124E 的坐标纵坐标是 4，4 3x3

11、x 4，解得 x1 2 2，x2 2 2， 点 E 的坐标为 (2 2， 4) ，同理可得点为(2 2，4) 图 16/18图 27( 2016 贵阳 25 题 12 分 ) 如图，直线y 5x5 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C，过 A，C 两点的二次函数yax24x c 的图象交x 轴于另一点B.(1) 求二次函数的表达式；(2) 连接 BC，点 N 是线段 BC上的动点，作NDx 轴交二次函数的图象于点D，求线段 ND长度的最大值；(3) 若点 H 为二次函数y ax2 4x c 图象的顶点 ，点 M(4， m) 是该二次函数图象上一点，在x 轴、 y 轴上分别找点 F， E，使四

12、边形 HEFM的周长最小，求出点 F， E 的坐标温馨提示：在直角坐标系中，若点 P， Q 的坐标分别为 P(x 1， y1) ，Q(x 2， y2) ，当 PQ平行 x 轴时 ，线段 PQ的长度可由公式 PQ|x x | 求出；当 PQ平行 y 轴时，线段 PQ的长度可由公式PQ |y y | 求出1212解： (1) 直线 y 5x 5交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 C， A( 1， 0) ， C(0， 5) ， 二次函数 y ax 2 4xc的图象过 A，C 两点 ，0 a4 c，a 1，y x2 4x 5；c2，解得 c 5， 二次函数的表达式为7/18(2) 点 B 是二次函数的

13、图象与x 轴的交点 ， 由二次函数的表达式为y x2 4x 5 得，点 B的坐标 B(5 ，5k b 0，k 1，0) ，设直线 BC表达式为 y kx b，直线 BC过点 B(5 ， 0) ， C(0 ，5) ， b 5，解得 b5， 直线 BC表达式为 y x5，设 ND的长为 d， N 点的横坐标为n，则 N 点的纵坐标为 n 5， D 点的坐标为 D(n ， n2 4n222 5) ，则 d | n4n 5 ( n 5)| ，由题意可知： n 4n 5 n 5， d n 4n 5 ( n 5)2522552525n 5n (n 2) 4 ， 当 n 2时， d 有最大值 ，d 最大 4

14、 ，线段 ND长度的最大值是4 ； (3) 由题意可得二次函数的顶点坐标为H(2 ，9) ，点 M的坐标为 M(4， 5) ，作点 H(2 ， 9) 关于 y 轴的对称点H，则点 H 的坐标为 H( 1112，9) ，作点 M(4， 5) 关于 x 轴的对称点 M1，则点 M1 的坐标为 M1(4 ， 5) ，连接 H1M1 分别交 x 轴于点 F，y 轴于点E，所以 H1M1 HM的长度是四边形HEFM的最小周长 ，则点 F、E 即为所求 ，设直线H1M1 表达式为y k1xb1，直线 H1M1 过点 M1(4 ， 5 4k1 b1，1371313， H1( 2， 9) ，根据题意得方程组

15、9 2k1 b1，解得 ， y 3x 3 ， 点 F， E 的坐标分别为 ( 7 ， 0) ，13(0， 3)8/18, 中考考点清单 )二次函数的概念及表达式1定义：一般地，如果两个变量x 和 y 之间的 函数关系 ，可以表示成y ax2 bx c(a ， b，c 是常数 ，且 a0) ，那么称 y 是 x 的二次函数，其中， a 叫做二次项系数， b 叫做一次项系数， c 叫做常数项2三种表示方法：一般式： yax2 bxc(a 0) ；(2) 顶点式： ya(x h) 2k(a 0) ，其中二次函数的顶点坐标是 ( h， k) ；(3) 交点式： y a(x x1)(x x2)(a 0)

16、 ，其中 x1， x2为抛物线与x 轴交点的横坐标二次函数的图象及性质( 高频考点 )3图象性质9/18二次函数y ax2 bx c(a ， b， c 为常函数图象数， a 0)对称轴顶点坐标增减性最值b直线 x 2ab4ac b2b4ac b2( 2a，4a)( 2a，4a)bb在对称轴的左侧，即x 2a时， y 随在对称轴的左侧，即当 x 2a时， yx 的增大而减小；在对称轴的右侧，即随 x 的增大而增大；在对称轴的右侧，bb当 x 2a时， y 随 x 的增大而增大，即当 x 2a时， y 随 x 的增大而减简记为左减右增小，简记为左增右减bb抛物线有最低点，当 x 2a时， y抛物线

17、有最高点，当x 2a时， y 有有最小值， y 最小值 4ac b2最大值， y 最大值 4ac b24a4a4系数 a， b， c 与二次函数的图象关系项目字母字母符号图象的特征aa 0a 0bb 0ab 0(b 与 a 同号 )ab 0(b 与 a 异号 )cc 0c 0c 0b2 4ac2b 4ac 02b 4ac 02b 4ac 0特殊关系当 x 1 时， y a b c 当 x 1 时， y a b c若 ab c 0，即 x 1 时， y 0 若 ab c 0，即 x 1 时， y 0开口向上开口向下对称轴为y 轴对称轴在y 轴左侧对称轴在y 轴右侧经过原点与 y 轴正半轴相交与

18、y 轴负半轴相交与 x 轴有唯一交点 ( 顶点 ) 与 x 轴有两个不同交点与 x 轴没有交点10/18二次函数与一元二次方程的关系5当抛物线与x 轴有两个交点时，两交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个不相等的实数根6当抛物线与x 轴只有一个交点时，该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根7当抛物线与x 轴没有交点时，对应的一元二次方程无实数根, 中考重难点突破)二次函数的图象及性质【例 1】 ( 2016 兰州中考 ) 二次函数yx2 2x 4 化为 ya(x h) 2k 的形式 ，下列正确的是()A y(x 1) 2 2B y (x 1) 23C y(x 2) 22D y

19、 (x 2) 2411/18【解析】根据配方法进行配方可解【学生解答】 B1( 2016 上海中考 ) 如果抛物线y x2 2 向下平移 1 个单位长度 ，那么所得新抛物线的表达式是(C )A y(x 1) 22B y (x 1) 222 4x 4 向左平移Cy x2 1D y x232( 2016 山西中考 ) 将抛物线 y x3 个单位长度 ，再向上平移 5个单位长度 ，得到抛物线的表达式为 ( D )A y(x 1) 2 13B y (x 5) 23 y(x 5) 2 13 y (x 1) 232CD3( 2016 贵阳适应性考试 ) 若二次函数 9的图象经过A( 1， y ) ， B(

20、1， y ) ， C(3 ， y ) 三点，yx 6x123则关于 y1，y2，y3 大小关系正确的是 ( A ) y1y 2y3 y1y3y2ABC y2y 1y3D y3y1y2抛物线 yax2 bx c(a 0) 的图象与a，b， c 的关系12/18【例2】( 2016 泰安中考 ) 二次函数y ax 2 bxc 的图象如图所示，那么一次函数y ax b 的图象大致是( ),A),B),C),D)b【解析】由二次函数的图象可知a0， 2a0，所以 b 0，所以 yax b 经过一、二、四象限【学生解答】 A13/18c4( 2016 贺州中考 ) 抛物线 yax2 bxc 的图象如图所

21、示，则一次函数y ax b 与反比例函数y x在同一平面直角坐标系内的图象大致为(B ),A),B)14/18,C),D)a5( 2016 自贡中考 ) 二次函数y ax 2 bx c 的图象如图 ，反比例函数yx与正比例函数y bx 在同一坐标系内大致图象是(C ),A),B)15/18,C),D)6( 2016 烟台中考 ) 二次函数yax2 bxc 的图象如图所示，下列结论： 4acb； 2a b0.其中正确的是 (B )ABCD二次函数表达式的确定【例3】 ( 2015宁波中考 ) 如图 ，已知二次函数 y ax2 bx c 的图象过A(2， 0) ， B(0 ， 1) 和 C(4， 5) 三点(1) 求二次函数的表达式；(2) 设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为 D，求点 D 的坐标；16/18在同一坐