5+梁弯曲时的位移

1、第 五 章梁弯曲时的位移15-2 梁的挠曲线的近似微分方程及其积分5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角第五章 梁弯曲时的位移 *5-4 梁挠曲线的初参数方程5-1 梁的位移-挠度及转角5-5 梁的刚度校核提高梁的刚度的措施5-6 梁内的弯曲应变能2弯曲变形5-1 梁的位移挠度及转角 若变形过大，会引起较大的振动，破坏起吊工作的平稳性。一、工程中的弯曲变形问题3弯曲变形若变形过大，不仅会影响齿轮的啮合和轴承的配合，使传动不平稳，磨损加快，而且还会严重地影响加工精度。 又如，车床主轴： 4弯曲变形又如，如图所示轮轴： 若轮轴的变形过大，会使轮子不能正常啮合，影响工作的平稳性等。 5弯曲变形但有时又

2、有相反要求，要求构件有适当变形，才能符合使用要求。如汽车叠板弹簧，要求产生较大变形，才能在车辆行驶时发挥缓冲减振作用符合使用要求。此外，弯曲变形的计算还经常应用于超静定系统的求解。二、弯曲变形的量度挠度和转角FAB 原为直线的轴线AB弯曲成光滑而连续的曲线， 该曲线称为该梁的挠曲线； 在对称弯曲的情况下，挠曲线是位于载荷平面内的平面曲线。 也称弹性曲线。6竖直位移 w 称为挠度，取向下为正。x横截面的转角，和挠曲线在该截面形心处的切线与x 轴的夹角相等。小变形：弯曲变形FABwx挠曲线方程：C任意截面形心C三位移：水平位移x，竖直位移w角位移，忽略 = w角位移 称为转角，顺时针方向为正。反之

3、为负7弯曲变形5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分前一章已得到：纯弯曲梁横力弯曲梁（近似）任意曲线曲率或则有一、挠曲线近似微分方程8转角方程挠度方程弯曲变形二、用积分法求梁的变形EI为常量EI为常量通过积分求弯曲位移的特征：1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对 称弯曲。2、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连 续处，其挠曲线的近似微分方程应分段列出，并相 应地分段积分。3、积分常数C、D由位移边界条件确定。9确定积分常数的边界条件包括约束条件和连续性条件。约束条件: 固定端：w0；0；铰支座：w0；弯曲变形的对称点：0。连续性条件: 挠曲线上任意点的挠度和转角只有一个值弯

4、曲变形xwxw10AC弯曲变形例5-2-1 画出下列梁的挠曲线大致形状。AmmCBLL解: 建立坐标系并作弯矩图wxAB段: w上凸BC段:同时B处须满足连续光滑条件，即曲线与直线在B点相切。边界条件: w=0mMACB11弯曲变形例5-2-2 等截面直梁，其挠曲线 ，长度为l，确定梁的载荷、支撑情况。故可确定其为悬臂梁。解: 作弯矩图、剪力图6FFs+边界条件M12lABq例5-2-3用积分法求挠度方程和转角方程，并确定绝对值最大的转角和最大的挠度。设EI为常量。解：(1) 求支反力，列弯矩方程(2) 建立挠曲线近似微分方程，并积分(3) 利用边界条件确定积分常数弯曲变形RBRA13(5)

5、求最大值 (4) 求转角方程、挠度方程弯曲变形的对称点：0。弯曲变形边界条件：或lABq14例5-2-4 用积分法求C截面的转角和挠度，EI为常量。alABFC解：(1) 分段写弯矩方程(2) 分段建立挠曲线近似微分方程，并积分RARB弯曲变形15(3) 确定积分常数约束条件:连续性条件:(4) C截面的挠度和转角弯曲变形AC段：AB段：（1）（2）（3）ABFCal16叠加原理：当梁上同时作用几个载荷时，梁的某一参量（反力、内力、应力、变形）等于每个载荷单独作用时所引起的该参量的代数和。应用叠加原理条件：小变形，材料服从虎克定律。* 附录弯曲变形5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角17=+例

6、5-3-1 用叠加法求C点挠度。解： 简单载荷引起的变形弯曲变形 叠加附录表第10行附录表第8行FqaaACBFaaACBqaaACB18例5-3-2 用叠加法求C截面的转角和挠度。解：(1) 假设CA段为刚性，研究简支梁AB的变形所引起的C截面的转角和挠度FFaalABFCABCFAC(2) 假设AB段为刚性，外伸段CA看作悬臂梁：附录表第2栏附录表第6行(3) 叠加法求C截面的挠度和转角弯曲变形192aABq例5-3-3 用叠加法求中点C挠度和梁端截面B的转角。CDE2l解： C为对称点，故C截面的转角为0。附录表第 2 栏在RB作用下：附录表第 4 栏在 q 作用下：BEqBElqBEa

7、弯曲变形20叠加：弯曲变形2aABqCDE2llqBEa21一、梁的刚度校核 弯曲变形2 设计截面1 刚度校核3 确定许可载荷 5-5 梁的刚度校核 提高梁的刚度的措施或刚度条件：22CABDF2=2kNABF1=1kNDC例5-5-1 一空心圆杆，内外径：d=40mm、D=80mm，E=210GPa，C点的w/l=0.0001，B点的 =0.001弧度，试核此杆的刚度。+弯曲变形解：用叠加法C 截面挠度和B 截面转角=l=0.4ma=0.1mC0.2mABF1=1kNDF2=2kN23(2)校核刚度弯曲变形刚度条件满足。24挠曲线近似微分方程：转角方程挠度方程C、D 积分常数；由边界条件和连

8、续性条件确定。弯曲变形二、提高弯曲刚度的措施刚度条件：251 选择合理的截面对于面积相等的不同形状的截面，若Iz则w、梁的抗弯刚度提高工字形、槽形、T形截面比面积相等的矩形截面有更高的弯曲刚度。说明：各种钢材的弹性模量E大致相同，故采用高强度钢材不能提高弯曲刚度。弯曲变形选择I/A较大的截面262 改善梁的受力情况 （1）合理安排梁的约束，减小梁跨。弯曲应力Mqqlq0.6l0.2l0.2l27（2） 改变加载方式，尽量使荷载分散或靠近支座。弯曲应力Fl/2l/2MFl/4l/4l/4l/428应变能等于外力功。不计剪切应变能弯曲变形曲率M(x)OO曲率中心曲率半径M(x)5-6 梁内的弯曲应变能29例 用能量法求C点的挠度。梁为等截面直梁。解：外力功等于应变能利用对称性，得：思考：分布荷载时，可否用此法求C点位移？弯曲变形FaaABC30弯曲变形轴向拉压内力分量内力分量轴力FN扭矩T对称弯曲内力分量弯矩M,剪力FS应力分布规律应力分布规律正应力均匀分布切应力与距圆心距离成正比分布应力分布规律正应力与中性轴距离成正比切应力沿截面高度呈抛物线应力状态应力状态应力状态单轴应力状态纯剪切应力状态单轴应力状态纯剪切应力状态扭 转31弯曲变形强度条件强度条件轴向拉压扭