复变函数与积分变换：第三章习题课_第1页
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1、1第三章 复变函数的积分一、定积分二、围线积分三、用积分不等式证明四、已知调和函数求解析函数2有向曲线复积分积分存在的条件及计算积分的性质柯西积分定理原函数的定义多连通区域的柯西定 理柯西积分公 式高阶导数公式调和函数和共轭调和函数3（适用于函数在积分曲线上有奇点或在积分区域内部有无穷多奇点情况）一、积分定义积分计算的参数方程法4例1 计算 的值，其中C为1）沿从 到 的线段：2）沿从 到 的线段C1与从 到 的线段C2 所接成的折线. 解5设C 为正向圆周 |z| = 3,则练习：答案：6 i 6设C 为正向圆周 |z| = 1,则练习：答案：7设 则 所以例2 计算积分解8二、沿围线积分(

2、重要公式、柯西定理、柯西积分公式、高阶导数公式)定理 设D是逐段光滑曲线 C所围成的单连通区域，函数f (z)在D内解析,定理：设 D 是由 n +1条简单闭曲线 C0, C1, ,Cn所围成的多连通区域(如图)，函数 f (z)在 D 内解析，9重要公式设函数 f (z) 在简单闭曲线 C 所围成的区域 D内解析，在D = D+C上连续，则对于D内任一点 z, 有柯西积分公式则f (z) 在D内有各阶导数，高阶导数公式10解例3 计算当 时,11解例41213由柯西积分公式得1415解分以下四种情况讨论：例51617181920练习：设C为过点的正向简单闭曲线，则当从曲线C内部趋向时， 当从曲线C外部趋向时，答案：21例6解根据柯西积分公式知,22比较两式得23三、利用积分估值不等式证明24例7证不等式即证.25解 利用柯西黎曼方程, 例8四、用调和函数求解析函数26 因而得到解析函数27解例9 已知 求解析函数 ,使符合条件28291. 求积分其中曲线C为C1：从 1 到 1 的下半单位圆周和C2

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