概率论与数理统计课件：4-2 二维随机变量函数的分布

1、3.4 二维随机变量函数的分布问题：已知二维随机变量( X ,Y )的概率特性 g(x,y)为已知的二元函数，Z = g( X ,Y )求：Z 的概率特性方法：转化为( X ,Y )的事件当( X ,Y )为离散型随机变量时，Z 也为离散型，当( X ,Y )为连续型随机变量时，其中的几何意义：Dz例1 设二维离散型随机变量( X,Y )的概率分布为X Y pij -1 1 2-1 0求的概率分布离散型二维随机变量的函数解 根据( X,Y )的联合概率分布可得如下表格：P X +Y X -Y X Y Y / X ( X,Y )(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0

2、)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 0故得PX + Y-2 -1 0 1 2PX - Y-1 0 1 2 3PX Y-2 -1 0 1 PY /X-1 -1/2 0 1 设 X B(n1,p), Y B(n2,p), 且 X ,Y 相互独立， 则 X + Y B(n1+n2, p)关于离散型随机变量的两个重要结论： 设 X P (1), Y P (2), 且 X ,Y 相互独立， 则 X + Y P(1+ 2) X B(n1, p), Y B(n2, p), 则Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2, , n1+

3、 n2设n1 n2 , 当k n1时，关于二项分布的和的分布的说明：其中当 n1 k n2 时当 n2 k n1+ n2 时故 X + Y B ( n1+ n2 , p)事实上，从二项分布的背景，若每次试验事件A 发生的概率为 p , 则X + Y 表示做了n1+ n2 次独立试验事件A 发生的次数关于Poisson 分布的和的分布的说明：X P(1), Y P(2), 则Z = X + Y 的可能取值为 0,1,2, , 问题：已知二维随机变量( X ,Y )的密度函数， g(x,y)为已知的二元函数，Z = g( X ,Y )求：Z 的密度函数方法： 从求Z 的分布函数出发，将Z 的分布函

4、数 转化为( X ,Y )的事件 建立一个新的二维随机变量(Z ,X )或(Z, Y ), 求其边缘分布得Z 的密度函数二维连续型随机变量函数的分布(1) 和的分布：Z = X + Y 设( X ,Y )为连续型随机变量， 联合密度函数为 f (x,y), 则 zzx +y= z或特别地，若X ,Y 相互独立，则或或称之为函数 f X ( z) 与 f Y ( z)的卷积 例1 已知( X ,Y ) 的联合概率密度为Z = X + Y ,求 f Z (z)解法一（图形定限法）显然X ,Y 相互独立,且z1z = xz-1 = xx21解法二 从分布函数出发x+y = z当z 0 时，1yx1x

5、+y = z当0 z 1 时，1yx1zzx+y = z当1 z 2 时，z-11yx1zz1yx1x+y = z22当2 z 时，对于 X ,Y 不相互独立的情形可同样的用直接求密度函数与通过分布函数求密度函数两种方法求和的分布例2 已知 ( X ,Y ) 的联合密度函数为Z = X + Y ,求 f Z (z)解法一 （图形定限法）由公式（1）zxz = xz = 2xx = 112当 z 2 , zzzz当 0 z 1, 当 1 z 2, f Z (z) = 0这比用分布函数做简便解法二 （不等式组定限法）考虑被积函数取非零值的区域由此不等式边边相等，解得 z 轴上的三个分界点 0，1，

6、2当 或 时不等式组 无解当 时不等式组 解为当 时不等式组 解为 正态随机变量的情形 若X ,Y 相互独立,则 若(X ,Y )则 若相互独立,则推广：已知 ( X ,Y )的联合密度 f (x,y) 求 Z = aX +bY + c 的密度函数, 其中 a,b,c为常数，a , b 0另一种计算 f Z (z) 的方法: 先构造一个新的二维随机变量(Z ,U ), 它们是 ( X , Y ) 的函数，而Z = aX +bY + c 求( Z , U ) 的联合密度函数 f ( z, u ) 求边缘密度 f Z (z)设存在唯一的反函数：h , s 有连续的偏导数，记则已知 ( X ,Y )

7、的联合密度 f XY (x,y)求(Z, U )的联合密度函数 f ZU(z, u) 的方法：证例2 已知 ( X ,Y )的联合密度函数为Z = X + Y ,求 f Z (z)解法三令2uzz = 2uz = u + 1z = u11z = 2u2uzz = u + 1已知 ( X ,Y )的联合密度 f (x,y)求 Z = aX +bY + c 的密度函数, 其中 a,b,c为常数，a , b 0令例3 已知 ( X ,Y )的联合密度函数为Z = 3X 2Y ,求 f Z (z)解令uzz =3- 2uz = u311uzz =3- 2uz = u311zzzz利用此种方法也可以求某

8、些其他的函数的密度例如 已知(X ,Y )的联合概率密度 f (x,y)， Z = X / Y , 求 f Z(z)令(2) 商的分布： Z = X / Y 例4 已知( X, Y ) 的联合分布函数为求Z = X / Y 的概率密度函数解uz但是, 当反函数不唯一时, 或不易求时，仍需用分布函数法(3) 平方和的分布： Z = X 2+Y 2设(X ,Y )的联合密度函数为 f (x,y)则例如，X N(0,1), Y N(0,1), X ,Y 相互独立， Z = X 2+Y 2 , 则称为自由度为2的 2分布若相互独立，且则所服从的分布称为自由度为n 的 2分布它的概率密度函数为其中 称为

9、函数自由度为5的 2分布的密度函数图形自由度分别为1,2,5,8,10的 2分布的密度函数图形另外，若 X ,Y 相互独立X N(0,1), Y 2(n) 则所服从的分布称为自由度为n的 t 分布，记为 t (n)X 2(n), Y 2(m) ,则所服从的分布称为第一自由度为n，第二自由度为m的 F 分布，记为 F (n,m)(4) 极值分布：即极大值，极小值的分布对于离散型随机变量的极值分布可直接计算只讨论相互独立的随机变量的极值分布maxX ,Y P1 00.75 0.25 例5 X,Y 相互独立, X ,Y 参数为0.5的0-1分布求M = maxX ,Y 的概率分布解YXpij1 010 0.25 0.25 0.25 0.25对于连续型随机变量，设 X ,Y 相互独立, X FX (x), Y FY (y), M = maxX ,Y , N = minX ,Y ,求 M ,N 的分布函数.推广至相互独立的 n 个随机变量的情形：相互独立，且设则例6 设系统 L 由相互独立的 n 个元件组成，连 接方式为 串联； 并联； 冷贮备(起初由一个元件工作，其它 n 1 个元件做冷贮备，当工作元件失效时， 贮备的元件逐个地自动替换)；(4) L 为 n 个取 k 个的表决系统