第9讲MATLAB符号计算

1、第9章 MATLAB符号计算9.1 符号对象9.2 符号微积分9.3 级 数9.4 符号方程求解19.1 符号对象9.1.1 建立符号对象1建立符号变量和符号常量 MATLAB提供了两个建立符号对象的函数：sym和syms，两个函数的用法不同。(1) sym函数 sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为：符号量名=sym(符号字符串) 该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。 例如， a=sym(a),用户可以使用变量a进行各种运算.2 应用sym函数还可以定义符号常量，使用符号常量进行代数运算时和数值常量进行的运算不同。下面的命令用于比较符号常量与数值常量在代

2、数运算时的差别。 pi1=sym(pi);k1=sym(8); pi2=pi;k2=8; sin(pi1/3) ans = 1/2*3(1/2) sin(pi2/3) ans = sqrt(k1) sqrt(k2) 0.8660 ( 2*2(1/2) 2.8284 )3(2) syms函数 函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。MATLAB提供了另一个函数 syms，一次可以定义多个符号变量。syms函数的一般调用格式为： syms 符号变量名1 符号变量名2 符号变量名n 用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔。42建立符号表达式 含

3、有符号对象的表达式称为符号表达式。建立符号表达式有以下3种方法：(1)利用单引号来生成符号表达式。如：y=1/sqrt(2*x) (2)用sym函数建立符号表达式。如：U=sym(3*x2-5*y+2*x*y+6 )(3) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。如：syms x y; V=3*x2-5*y+2*x*y+659.1.2 符号表达式运算1符号表达式的四则运算 符号表达式的加、减、乘、除运算可分别由函数symadd、symsub、symmul和symdiv来实现，幂运算可以由sympow来实现。如， f=2*x2+3*x-5 ; g=x2-x+7 ; symadd(f,g) ans=

4、 3*x2+2*x+2 symmul(f,g) ans= (2*x2+3*x-5) *(x2-x+7)62符号表达式的提取分子和分母运算 如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式，可利用numden函数来提取符号表达式中的分子或分母。其一般调用格式为：n,d=numden(s) 该函数提取符号表达式s的分子和分母，分别将它们存放在n与d中。 (numerator, denominator)73符号表达式的因式分解与展开 MATLAB提供了符号表达式的因式分解与展开的函数，函数的调用格式为：factor(s)：对符号表达式s分解因式。expand(s)：对符号表达式s进行展开。colle

5、ct(s)：对符号表达式s合并同类项。collect(s,v)：对符号表达式s按变量v合并同类项。84符号表达式的化简 MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有：simplify(s)：应用函数规则对s进行化简。simple(s)：调用MATLAB的其他函数对表达 式进行综合化简，并显示化简过程。95符号表达式与数值表达式之间的转换 利用函数sym可以将数值表达式变换成它的符号表达式。如， sym(3.14) ans= 157/50 函数numeric或eval可以将符号表达式变换成数值表达式。如， numeric(1+sqrt(5)/2) ans= 1.6180109.1.3 符号表达式中

6、变量的确定 MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常量。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的的符号变量。该函数的调用格式为：findsym(s,n) 函数返回符号表达式s中的n个符号变量，若没有指定n，则返回s中的全部符号变量。119.1.4 符号矩阵 符号矩阵也是一种符号表达式，所以前面介绍的符号表达式运算都可以在矩阵意义下进行。但应注意这些函数作用于符号矩阵时，是分别作用于矩阵的每一个元素。 由于符号矩阵是一个矩阵，所以符号矩阵还能进行有关矩阵的运算。MATLAB还有一些专用于符号矩阵的函数，这些函数作用于单个的数据无意义。例如transpose(s)： 返回s矩阵的转置矩

7、阵。determ(s)：返回s矩阵的行列式值。其实，曾介绍过的许多应用于数值矩阵的函数，如diag、triu、tril、inv、det、rank、eig等，也可直接应用于符号矩阵。129.2 符号微积分9.2.1 符号极限limit函数的调用格式为：(1) limit(f,x,a)：求符号函数f(x)的极限值。即计算当变量x趋近于常数a时，f(x)函数的极限值。(2) limit(f,a)：求符号函数f(x)的极限值。由于没有指定符号函数f(x)的自变量，使用该格式时，符号函数f(x)的变量为函数findsym(f) 确定的默认自变量，即变量x趋近于a。13(3) limit(f)：求符号函数

8、f(x)的极限值。符号函数f(x)的变量为函数findsym(f)确定的默认变量；没有指定变量的目标值时，系统默认变量趋近于0，即a=0的情况。(4) limit(f,x,a,right)：求符号函数f的极限值。right表示变量x从右边趋近于a。(5) limit(f,x,a,left)：求符号函数f的极限值。left表示变量x从左边趋近于a。14例9-1 求下列极限：(1) (2)(1) syms a m x; f=(x*(exp(sin(x)+1)-2*(exp(tan(x)-1)/(x+a); limit(f,x,a) ans = (1/2*a*exp(sin(a)+1/2*a-exp

9、(tan(a)+1)/a(2) syms x t; limit(1+2*t/x)(3*x),x,inf) ans = exp(6*t)15(3) (4)(3) syms x; f=x*(sqrt(x2+1)-x); limit(f,x,inf,left) ans = 1/2(4) syms x; f=(sqrt(x)-sqrt(2)-sqrt(x-2)/sqrt(x*x-4); limit(f,x,2,right) ans = -1/2169.2.2 符号导数 diff函数用于对符号表达式求导数。该函数的一般调用格式为：diff(s)：没有指定变量和导数阶数，则系统按findsym函数指示的默

10、认变量对符号表达式s求一阶导数。diff(s,v)：以v为自变量，对符号表达式s求一阶导数。diff(s,n)：按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求n阶导数，n为正整数。diff(s,v,n)：以v为自变量，对符号表达式s求n阶导数。17例9-2 求下列函数的导数。(1) y= ，求y (2) y= ，求y ，y (3) ,求y ,y (4) z= ，求zx ，zy syms a b t x y z; f1=sqrt(1+exp(x);diff(f1) %求(1) f2=x*cos(x);diff(f2,x,2) %求(2)中y diff(f2,x,3) %求(2)中y g1=a

11、*cos(t); g2=b*sin(t); diff(g1)/ diff(g2) %求(3)中y , 下行求y (diff(g1)*diff(g2,2)- diff(g1,2)*diff(g2)/ (diff(g1)3 f4=x*exp(y)/y2; diff(f4,x) %求(4)diff(f4,y) %求(4)189.2.3 符号积分符号积分由函数int来实现。该函数的一般调用格式为：int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按 findsym函数指示的默认变量对被积函数或符 号表达式s求不定积分。int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求 不定积分。int(s,v,

12、a,b)：求定积分运算。a,b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间a,b上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。当函数f关于变量x在闭区间a,b上可积时，函数返回一个定积分结果。当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。19例9-3 求下列积分。 (2) (4)命令如下： x=sym(x);t=sym(t); int(abs(1-x),1,2) %求(1) 1/2 f=1/(1+x2); int(f,-inf,inf) %求(2) pi f=x3/(x-1)10; I=int

13、(f,2,3) %求(3) 138535/129024 int(4*x/t,t,2,sin(x) %求(4) 4*log(sin(x)*x-4*log(2)*x209.2.4 积分变换 常见的积分变换有傅立叶变换、拉普拉斯变换和Z变换。1傅立叶(Fourier)变换傅立叶变换:逆变换： 在MATLAB中，进行傅立叶变换的函数是：fourier(f,x,t)： 求函数f(x)的傅立叶像函数F(t)。ifourier(F,t,x)：求傅立叶像函数F(t)的原函数 f(x)。212拉普拉斯(Laplace)变换拉普拉斯变换：逆变换：在MATLAB中，进行拉普拉斯变换的函数是：laplace(fx,x

14、,t)： 求函数f(x)的拉普拉斯像函数 F(t)。ilaplace(Fw,t,x)：求拉普拉斯像函数F(t)的原 函数f(x)。223Z变换当函数f(x)呈现为一个离散的数列f(n)时，对数列f(n)进行z变换：逆变换：对数列f(n)进行z变换的MATLAB函数是：ztrans(fn,n,z)：求f(n)的Z变换像函数F(z)。iztrans(Fz,z,n)：求F(z)的z变换原函数f(n)。239.3 级 数9.3.1 级数符号求和求无穷级数的和需要符号表达式求和函数symsum，其调用格式为：symsum(s,v,n,m)其中s表示一个级数的通项，是一个符号表达式。v是求和变量，v省略时

15、使用系统的默认变量。n和m是求和的开始项和末项。例9-4 求下列级数之和。(1) (2)249.3.2 函数的泰勒级数 MATLAB提供了taylor函数将函数展开为幂级数，其调用格式为：taylor(f,v,n,a) 该函数将函数f按变量v展开为泰勒级数，展开到第n项(即变量v的n-1次幂)为止，n的缺省值为6。v的缺省值与diff函数相同。参数a指定将函数f在自变量v=a处展开，a的缺省值是0。259.4 符号方程求解9.4.1 符号代数方程求解 在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式为：solve(s)：求解符号表达式s的代数方程，求解 变量为

16、默认变量。solve(s,v)：求解符号表达式s的代数方程，求 解变量为v。solve(s1,s2,sn,v1,v2,vn)： 求解符号表达式s1,s2,sn组成的代数方程组，求解变量分别v1,v2,vn。26例9-5 解下列方程和方程组。(1) (2)(3)命令如下： x=solve(2*sin(3*x-pi/4)=1) %解方程(1) x=solve(x+x*exp(x)-10, x) %解方程(2) x y=solve(x+y-8, x(1/3)+y(1/3)-2, x,y) %解方程组(3)279.4.2 符号常微分方程求解 在MATLAB中，用大写字母D表示导数。例如，Dy表示y，D2y表示y，Dy(0)=5表示y(0)=5。D3y+