四川大学自动化专业英语 微分方程模型(1阶段)ppt课件

1、微分方程模型2普通方程 其中(0)1、微分方程稳定性实际简介345断定平衡点稳定性的两种方法： 直接法求出解的表达式，再由稳定性的定义断定平衡点的稳定性。(2) 间接法不求解，直接利用微分方程的性质断定平衡点的稳定性6(2)一阶自治方程的平衡点及稳定性72 、人口模型8根本假设: 人口的相对增长率为常数 r.B：出生率D：死亡率人口函数：Malthus模型Malthus模型特点: 在有限的时间内, 在生存空间和食物供应充足的环境下, Malthus人口模型是比较准确的; 但是, 由于生存空间有限、食物短缺、战争、疾病、自然灾祸, 以及人为控制人口增长等等缘由, Malthus人口模型不能准确地

2、反映出人口的实践增长情况.9美国人口的Malthus预测值(单位:百万)比较准确误差增大整整高出一倍！10Logistic阻滞增长模型根本假设: 人口的相对增长率随着人口数量的添加而减少, 当人数超越某饱和值 N 后, 相对增长率为负. 故x=0是不稳定平衡点, x=N是稳定平衡点.A. 直接法分析平衡点r: 固有增长率11拐点12B. 间接法分析平衡点故N是稳定平衡点.13美国人口的Logisitc预测值(单位:百万)很吻合14153 、捕鱼模型16直接法分析平衡点：17图解法：固定曲线调理E产量模型1819鱼量方程同产量模型：效益模型2021比较：22当渔场向众多的盲目运营者开放，只需有微

3、薄利润，运营者也会去捕捞，称为盲目捕捞或开放式捕捞，这将导致捕捞过度。捕捞过渡23242526一阶自治方程组的平衡点及稳定性1、线性系统 称为系数矩阵(5)当特征根的实部均小于零时，平衡点是稳定的；当存在实部大于零的特征根时，平衡点是不稳定的。 27记鞍点区 稳定结点区不稳定结点区稳定焦点区不稳定焦点区中心区282、非线性系统 (4)(5)2930以两种群为例：A、捕食者-食饵系统；B、相互依存；C、相互竞争Lotka-Volterra 模型:4 、生态数学模型313233捕食者(Predator)食饵(Prey)系统平衡点： (1)用matlab软件编程, 可得x(t), y(t)及相轨线y

4、(x). 可以猜测, x(t), y(t)是周期函数. 相应地, y(x)是闭曲线.34(1) 用一阶近似方程讨论平衡点的稳定性在原点(0,0)附近的一阶近似方程为：特征根为a(0)和c, 所以原点是不稳定平衡点.平衡点及相轨线35特征根为 P 点的稳定性不能由其一阶近似方程断定，所以直接讨论原方程。在 点附近的一阶近似方程为：36相平面上的轨线满足微分方程：(2)(k是常数 )(2) 相轨线37记38当x，y在第一象限时，有根据k值调查相轨线的外形：此时轨线退化为一点，即平衡点。394041k 减小42同理可得：即：43引入捕鱼影响，模型变为：阐明捕捞量增大对食饵有利。44模型的延伸运用: 杀虫济的影响模型的局限性 :多数p-p系统无周期震荡, 而是趋于某稳定的平衡点. 呈周期变化的生态系统应该是构造稳定的. 极限环45平衡点 竞争模型r1, r2: 固有增长率; N1, N2:饱和量; 1