空间点、直线、平面之间的位置关系研究

1、空间点、直线、平面之间的位置关系研究主要内容空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系2.1.1 平面平 面构成图形的基本元素ABCDABCD点、线、面点无大小线无粗细面无厚薄点直线平面可无限延伸的平面是可无限延展的平面的表示平面的画法 一般来说，常用正方形或长方形表示平面，如图一, 在画立体图时，为了增强立体感， 常常把平面画成平行四边形，如图二是按照斜二测画法得到的平面的水平直观图.图一图二平面的符号表示1. 希腊字母： 平面， 平面，平面2. 一个或几个拉丁字母： 平面M， 平面AC， 平面ABCD等ABCD平面的表示平面的表示两个相交平面的画法和表示平面和平面相交于一

2、条直线a被遮住的部分画虚线aa平面平面=直线a平面的表示直线和平面都可以看成点的集合“点P在直线l上”,“点A在平面内” 用集合符号表示 点与直线、点与平面、直线与平面的关系“点P在直线l 外”,“点A在平面外”直线 l 在平面内，或者说平面经过直线 l直线 l 在平面外.平面的基本性质AB 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.思考1：如何让一条直线在一个平面内？作用：为判断直线与平面的位置关系提供依据集合符号表示平面经过这条直线平面的基本性质 公理2 过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面. 思考2：经过两点可以确定一条直线，那么经过几个点可以确定一个平面呢？

3、作用：判断几个点共面或直线在同一个平面内集合符号表示ABC“不共线的三点确定一个平面” 已知A、B、C三点不共线，则存在惟一平面，使得A、B、C平面的基本性质 思考3：如果两个平面有一个公共点，那么还会有其它公共点吗？如果有这些公共点有什么特征？ 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. P 作用：判断两个平面位置关系的基本依据例题 例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.A B a l (1)a b P l (2)解：1） A，B，=l，a=A，a=B2) a,b,=l,al=P, bl=P, ab=P 例2：已知直线a，和点P，

4、Pa，求证经过点P和直线a有且只有一个平面.Pa探究问题根据公理1探究直线与平面的各种位置关系.根据公理2探究两条相交直线或平行直线确定一个平面的合理性.根据公理3探究平面与平面的各种位置关系.小结 1.平面的表示：概念、图形、符号等 2.平面的基本性质 公理1 公理2 公理3 3.判断共面的方法两条直线的位置关系思考1：同一平面内两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？C 1）教室内日光灯管所在直线与黑板左右两侧所在直线的位置关系如何？2）天安门广场上，旗杆所在直线与长安街所在直线的位置关系如何？两条直线的位置关系 如图, 长方体ABCD-ABCD中，线段AB所在直线分别与线段CD所在直

5、线，线段BC所在直线，线段CD所在直线的位置关系如何?CBCADBAD观察两条直线的位置关系 定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.baab异面直线的图示两条直线的位置关系A. 空间中既不平行又不相交的两条直线；B. 平面内的一条直线和这平面外的一条直线；C. 分别在不同平面内的两条直线；D. 不在同一个平面内的两条直线；E. 不同在任何一个平面内的两条直线. 关于异面直线的定义，你认为下列哪个说法最合适？问题两条直线的位置关系空间中的直线与直线之间有三种位置关系：相交直线:平行直线:共面直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点 同一平面内，有且只有一个公共点； 同一平面内，

6、没有公共点； 如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有多少对?探究FAHGEDCBCDBAEFGH直线EF 和直线HG直线AB 和直线CD直线AB 和直线HG答：3对平行直线 如图, 在长方体ABCDABCD中, BBAA，DDAA，那么BB与DD平行吗 ?CBCADBAD观察答：平行平行直线 公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.空间中的平行线具有传递性如果a/b，b/c，那么a/cAFEDCBABCDEF三条平行线共面三条平行线不共面平行直线 已知三条直线两两平行，任取两条直线能确定一个平面，问这三条直线能确定几个平

7、面？AFEDCBABCDEF三条平行线共面三条平行线不共面问题平行直线 例2 如图，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形.FGDAEBCH所以 ，且同理 ，且因为 ，且所以 四边形EFGH 是平行四边形证明：连接BD，因为 EH是 的中位线， 在上例中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH 是什么图形？探究答：四边形EFGH是菱形FGDAEBCH等角定理 在平面上，我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行， 那么这两个角相等或互补”空间中，结论是否仍然成立？思考1 如图,四棱柱ABCD-ABCD的底面是

8、平行四边形，ADC与ADC, ADC与BAD的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何 ?思考2:BADCABDCBADCABDCADC=ADCADC+BAD=1800 如图，在空间中AB/ AB，AC/ AC，你能证明BAC与BAC 相等吗？ 思考3BCABCAEEDD等角定理 定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行且方向相同，那么这两个角相等.异面直线所成的角ab思考 在同一平面内两条相交直线形成四个角，常取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系，这个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条异面直线的位置关系呢？a

9、b平面内两条相交直线空间中两条异面直线O异面直线所成的角 已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线 ，把 与 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角O异面直线所成的角 我们规定两条平行直线的夹角为0，那么两条异面直线所成的角的取值范围是什么？ 如果两条异面直线所成角为900，那么这两条直线垂直.探究记直线a垂直于b为：ab异面直线所成的角探究 （1）在长方体 中，有没有两条棱所在的直线是相互垂直的异面直线？ （2）如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？（3）垂直于同一条直线的两条直线是否平行？如：等垂直不一定，如上图的立方体中直线AB与B

10、C相交，异面直线所成的角 例3 已知正方体 （1）哪些棱所在直线与直线 是异面直线？（2）直线 和 的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线 垂直？解:（1）由异面直线的定义可知，棱 所在的直线分别与直线 是异面直线（3）直线分别与直线 垂直 （2）由 可知，为异面直线 与 的夹角， ，所以 与 的夹角为 在如图所示的长方体中，AB= ，且AA1=1，求直线BA1和CD所成角的度数.30O练习1 如图，在四面体ABCD中，E，F分别是棱AD，BC上的点,且 ，已知AB=CD=3， , 求异面直线AB和CD所成的角.AFEDCB练习2 n直线相交最多有几个交点？练习3本节小结（1）空间直线的三

11、种位置关系（2）平行线的传递性（3）等角定理（4）异面直线所成的角基本知识基本方法 把空间中问题通过平移转化为平面问题.空间中直线与平面之间的位置关系主要内容 直线与平面的位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行直线与平面思考？ 1）一支铅笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种关系？ 2）如图，线段AB所在直线与长方体ABCD-ABCD的六个面所在平面有几种位置关系？CBCADBAD直线与平面直线和平面的位置关系有且只有三种(1)直线在平面内 有无数个公共点a记为：a直线与平面(2)直线与平面相交有且只有一个公共点a记为：a=AA直线与平面（3）直线与平面平行没有公共点a

12、记为：a/直线与平面直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外记为：aaa/aa=AA或直线与平面 例1. 下列命题中正确的个数是 ( )1）若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l/2) 若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线都平行3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行4）若直线 l与平面平行，则 l与平面内的任意一条直线都没有公共点.(A） 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3B主要内容 直线与平面的位置关系 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行作业P49 练习P51-53 习题组 4(4)(5) B 2，3 平面与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系思考 （1）拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？ （2）如图，围成长方体ABCD-ABCD的六个面，两两之间的位置关系有几种？CBCADBAD两个平面的位置关系两个平面的位置关系有且只有两种 两个平面平行没有公共点 两个平面相交有一条公共直线分类的依据是什么？ 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 两个平面平行或相