2021-2022学年四川省泸州市泸县高二下学期第一学月（3月）考试数学（文）试题【含答案】

1、2021-2022学年四川省泸州市泸县高二下学期第一学月（3月）考试数学（文）试题一、单选题1某公司将个产品，按编号为，从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用系统抽样方法抽取一个样本进行检测，若第一组抽取的编号是，第二组抽取的编号是，则样本中最大的编号应该是（）ABCDA【分析】先求样本间隔，然后根据抽查样本容量，结合系统抽样的定义进行求解即可【详解】样本间隔为18315，即抽取样本数为1512，则最大的样本编号为3+1511168，故选：A2命题“若”，则的否命题是（）A“若，则”B“若，则”C“若，则”D“若，则”A根据否命题的转化规则，进行转化并选择即可.【详解】根据否命题的要求，需要将条

2、件和结论都要否定，故命题：若，则的否命题是：若，则.故选：A.本题考查命题的否命题的求解，注意条件和结论都要进行否定.3甲乙两组数的数据如茎叶图所示，则甲乙的平均数方差极差及中位数中相同的是（）A极差B方差C平均数D中位数C根据茎叶图中数据的波动情况，可直接判断方差不同；根据茎叶图中的数据，分别计算极差、中位数、平均数，即可得出结果.【详解】由茎叶图可得：甲的数据更集中，乙的数据较分散，所以甲与乙的方差不同；甲的极差为；乙的极差为，所以甲与乙的极差不同；甲的中位数为，乙的中位数为，所以中位数不同；甲的平均数为，乙的平均数为，所以甲乙的平均数相同；故选：C.4已知样本，的平均数为2，方差为5，则

3、，的平均数和方差分别为（）A4和10B5和11C5和21D5和20D利用平均数和方程的性质可算出答案.【详解】因为样本，的平均数为2，方差为5，所以，的平均数为，方差为故选：D本题考查的是平均数和方程的性质，较简单.5函数的导数是（）ABCDD【分析】直接根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则计算可得；【详解】解：因为所以故选：D本题考查导数的计算，基本初等函数的导数公式的应用，属于基础题.6函数的极小值是（）A4B2C4D2D【分析】首先求出函数的导函数，说明其单调性，即可得到函数的极值点，从而求出函数的极小值；【详解】解：因为，所以令，解得或，可得或时，当时，所以在和上单调递增，上单调

4、递减；故函数在处取得极小值，故选：D本题考查利用导数研究函数的单调性、极值，属于基础题.7“”是“函数在区间单调递增”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A【详解】分析：求出导函数，若函数在单调递增，可得 在区间上恒成立解出，故选A 即可详解： ，若函数函数在单调递增， 在区间上恒成立 ，而在区间上单调递减，即“”是“函数在单调递增”的充分不必要条件.故选A.点睛：本题考查充分不必要条件的判定，考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属中档题8已知奇函数在上是增函数，若，则的大小关系为ABCDC【详解】由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，

5、即.本题选择C选项. 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.9设三棱柱的侧棱垂直于底面，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）ABCDD【详解】试题分析：依题三棱柱的外接球即为底面为正方形（边长为）、高为的长方体外接球，其直径为长方体的体对角线，且为，故所求球体表面积为长方体外接球10若不等式对所有正数x，y均成立，则实数m的最小值是（）ABC3D4B【分析】由题意可知对所有

6、正数x，y均成立，即，然后结合均值不等式求出的最大值即可.【详解】解：对所有正数x，y均成立，对所有正数x，y均成立，又，当且仅当时等号成立，故m的最小值为故B11函数的图象与函数的图象的交点个数为A3B2C1D0B【详解】由已知g(x)(x2)21，所以其顶点为(2,1)，又f(2)2ln 2(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)2ln x图象的下方，故函数f(x)2ln x的图象与函数g(x)x24x5的图象有2个交点12若关于x的不等式成立，则的最小值是ABCDA【分析】构造函数，利用函数图象的性质，借助数形结合，确定最小值，即可得到答案【详解】令，函数单调递增，函数单调递减，且

7、时，绘制函数的图象如图所示，满足题意时，直线恒不在函数图象的下方，很明显时不合题意，当时，令可得：，故取到最小值时，直线在x轴的截距最大，令可得：，据此可得：的最小值是故选A本题主要考查了导函数研究函数图象的性质及其应用，其中解答合理利用导数得出函数的单调性，刻画处函数的性质上解答的关键，着重考查了数形结合的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于中等题二、填空题13双曲线的实轴长与虚轴长之比为_.【分析】根据双曲线方程，求得，即可求得实轴长和虚轴长，进而求比值即可.【详解】因为双曲线方程为，故，故，则实轴长，虚轴长，故其比值为.故答案为.14在平面直角坐标系中，曲线在处的切线方程是_【分析】

8、根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得结果.【详解】因为，所以，因此在x0处的切线斜率为，因为x0时，所以切线方程是本题考查导数几何意义，考查基本求解能力.属基础题.15若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为_.【详解】试题分析：因为 为圆的弦的中点，所以圆心坐标为，所在直线方程为，化简为，故答案为.1、两直线垂直斜率的关系；2、点斜式求直线方程.16函数，若，则实数的取值范围是_【分析】先研究函数在上的奇偶性与单调性，然后运用函数的性质求解不等式.【详解】解：因为的定义域为，且，所以函数为奇函数，因为当时，恒成立，所以函数在为增函数，故等价于，即，根据函数的定义域及单调性可得，解得，故x

9、的取值范围是.本题考查了函数性质的运用，判断函数的奇偶性一定要注意定义域的分析，函数单调性的判断往往可以借助导数、图像等方法进行研究.三、解答题17下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据：x3456y2.5344.5（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于的线性回归方程；（2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?（参考数值：，用最小二乘法求线性回归方程系数公式）.（1）；（2）19.65吨.【分析】（1）先

10、利用所给数据求出中心点值，再代入所给公式进行求解；（2）根据（1）求出的线性回归方程进行预测.【详解】（1）由系数公式可知：，所以线性回归方程为.（2）当时，.所以比改造前降低了19.65吨标准煤.18已知函数(1)求的单调减区间(2)若在区间上的最大值为，求它在该区间上的最小值.(1) （，1），（3，）(2)-7【详解】试题分析：（）先求出函数f（x）的导函数f（x），然后令f（x）0，解得的区间即为函数f（x）的单调递减区间；（）先求出端点的函数值f（2）与f（2），比较f（2）与f（2）的大小，然后根据函数f（x）在1，2上单调递增，在2，1上单调递减，得到f（2）和f（1）分别是f（

11、x）在区间2，2上的最大值和最小值，建立等式关系求出a，从而求出函数f（x）在区间2，2上的最小值解：（）f（x）=3x2+6x+9令f（x）0，解得x1或x3，所以函数f（x）的单调递减区间为（，1），（3，+）（）因为f（2）=8+1218+a=2+a，f（2）=8+12+18+a=22+a，所以f（2）f（2）因为在（1，3）上f（x）0，所以f（x）在1，2上单调递增，又由于f（x）在2，1上单调递减，因此f（2）和f（1）分别是f（x）在区间2，2上的最大值和最小值，于是有22+a=20，解得a=2故f（x）=x3+3x2+9x2，因此f（1）=1+392=7，即函数f（x）在区间2

12、，2上的最小值为7点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减以及在闭区间上的最值问题等基础知识，同时考查了分析与解决问题的综合能力19如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，E为线段PB的中点(1)若F为线段BC上的动点，请证明：平面AEF平面PBC；(2)若F为线段BC，CD，DA上的动点（不含A，B），三棱锥ABEF的体积是否存在最大值？如果存在，求出最大值；如果不存在，请说明理由(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明BC平面PAB，得，再证AE平面PBC，得面面垂直；（2）由棱

13、锥的体积公式可确定并计算也最大体积【详解】(1)证明：，E为线段PB的中点，PA底面ABCD，平面ABCD，底面ABCD为正方形，平面PAB，BC平面PAB，平面PAB，平面PBC，AE平面PBC，平面AEF，平面AEF平面PBC(2)解：由PA底面ABCD，得平面PAB平面ABCD，点F到平面ABE的距离（三棱锥FABE的高）等于点F到直线AB的距离当点F在线段BC，AD上运动时，三棱锥FABE的高小于或等于2，当点F在线段CD上运动时，三棱锥FABE的高为2，的面积为，当点F在线段CD上，三棱锥FABE的体积取得最大值，三棱锥ABEF的体积等于三棱锥FABE的体积，三棱锥ABEF的体积存在

14、最大值20已知函数求曲线在点处的切线方程若函数，恰有2个零点，求实数a的取值范围(1) x+y-1=0.(2) .【分析】(1)求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，即可得到所求切线方程；(2) 函数恰有2个零点转化为两个图象的交点个数问题，数形结合解题即可.【详解】（1）因为，所以.所以又所以曲线在点处的切线方程为即.（5分）（2）由题意得，所以.由，解得，故当时，在上单调递减；当时，在上单调递增.所以.又，若函数恰有两个零点，则解得. 所以实数的取值范围为.本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法，一个是利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.21

15、已知一动圆经过点，且在轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点任意作相互垂直的两条直线，分别交曲线于不同的两点和不同的两点.设线段的中点分别为.求证：直线过定点R，并求出定点R的坐标；求的最小值.(1)(2)证明见解析，；4【分析】（1）设圆心坐标，然后根据半径、圆心到直线距离和弦长一半之间的关系列方程化简可得；（2）设直线方程与抛物线方程联立消元，利用韦达定理表示出P、Q坐标，然后考察其方程可得；用两点间距离公式表示出，通过换元转化为二次函数求解可得.【详解】(1)设圆心.则半径、圆心到y轴距离和弦长一半满足勾股定理.化简得： 曲线的方程为.(2)易知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，.则直线的方程为.由消去，得.同理可得.当或时，直线的方程为；当且时，直线的斜率为.直线的方程为，即.直线过定点R，其坐标为.由，知，. (当且仅当或时取等号)，记.当时，的最小值为16.当即或时，的最小值为4.22已知函数，函数的图象在点处的切线平行于轴.(1)求的值；