2014届高考数学最后一讲

1、PAGE PAGE 122014届高考数学最后一讲一、主要考点：（一）、填空题1复数，2集合（简易逻辑），3双曲线与抛物线，4统计，5概率，6流程图，7立体几何，8导数，9三角，10向量，11数列，12解析几何，13不等式，14杂题（函数）填空题的能力题体现在考试说明中的C级（8个）以及B级（36个）中，近几年，主要体现在：导数，三角计算，解析几何（直线与圆），平面向量（基本定理与数量积），不等式（线性规划、基本不等式或函数），数列综合，函数综合等（二）、解答题15三角与向量，16立体几何，17应用题，18解析几何，19数列，20函数综合二：时间安排（参考意见）填空题（用时40分钟左右）：16

2、题防止犯低级错误，平均用时在2分钟左右。712题防止犯运算错误，平均用时在3分钟左右。1314防止犯耗时错误，平均用时在5分钟左右。解答题（用时在80分钟左右）：1516题防止犯运算和表述错误，平均用时10分钟左右。1718题防止犯审题和建模错误，平均用时在15分钟左右。1920题防止犯第一问会而不做和以后的耗时错误，平均用时在15分钟左右。三：题型分析（一）填空题：解题的基本方法一般有：直接求解法；数形结合法；特殊化法(特殊值法、特殊函数法、特殊角法、特殊数列法、图形特殊位置法、特殊点法、特殊方程法、特殊模型法)；整体代换法；类比、归纳法；图表法等（二）解答题：是高考数学试卷中的一类重要题型

3、，这些题涵盖了中学数学的主要内容，具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点，解答题综合考查学生的运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力，分值占90分，主要分六块：三角函数(或与平面向量交汇)、立体几何、应用问题、函数与导数(或与不等式交汇)、数列(或与不等式交汇)、解析几何(或与平面向量交汇)从历年高考题看综合题这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全分”的现象大有人在，针对以上情况，最后几天时间里，能不断回顾之前做过的典型题目，从知识、方法等层面进行反思做到触类旁通，举

4、一反三；考场上能将平时所掌握的知识、学到的方法体现在你的解题中，将你会做的做对，相信你的高考数学一定能取得满意成绩！四：特别提醒：(1)对会做的题目：要解决“会而不对，对而不全”这个老大难的问题，要特别注意表达准确，考虑周密，书写规范，关键步骤清晰，防止分段扣分解题步骤一定要按教科书要求，避免因“对而不全”失分(2)对不会做的题目：对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得分我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略对此可以采取以下策略：缺步解答：如遇到一个不会做的问题，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就

5、写几步特别是那些解题层次明显的题目，每一步演算到得分点时都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半跳步解答：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问作“已知”，先做第(2)问，跳一步再解答辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，根据题目的意思列出要用的公式等罗列这些小步骤都是有分的，这些全是解题思路的重要体现，切不可以不写，对计算能力要求高的，实行解到哪里算哪里的策略书

6、写也是辅助解答，“书写要工整，卷面能得分”是说第一印象好会在阅卷老师的心理上产生光环效应逆向解答：对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展顺向推有困难就逆推，直接证有困难就间接证考试过程力争做到：难易分明，决不耗时； 2慎于审题，决不懊悔；必求规范，决不失分； 细心运算，决不犯错；提防陷阱，决不上当； 愿慢求对，决不快错；遇新不慌，决不急躁； 奋力拼杀，决不落伍；2014届高考数学最后一讲实战演练（一）、填空题1设集合A(x，y)eq blc|rc (avs4alco1(f(x2,4)f(y2,16)1)，B(x，y)|y3x，则AB的子集的

7、个数是_2如果复数eq f(2bi,12i)(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于_3某个容量为N的样本频率分布直方图如右图所示，已知在区间4,5)上频数为60，则N_.4若将一颗质地均匀的骰子(各面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷两次，向上的点数依次为m，n，则方程x22mxn0无实数根的概率是_5有四个关于三角函数的命题：p1：xR，sin2eq f(x,2)cos2eq f(x,2)eq f(1,2)；p2：x，yR，sin(xy)sin xsin y；p3：x0，, eq r(f(1cos 2x,2)sin x；p4：sin xcos

8、 yxyeq f(,2).其中假命题的是_6若cos cos()sin sin()eq f(3,5)，是第二象限的角，则tan 2_.7若一个正方形的四个顶点都在双曲线上，且其一边经过的焦点，则双曲线的离心率是 8不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围为 。9已知函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(2x1，x0，,fx1，x0.)若方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是_10已知M是曲线yln xeq f(1,2)x2(1a)x上任意一点，若曲线在M点处的切线的倾斜角是均不小于eq f(,4)的锐角，则实数a的取值范围是_11如图，在直角梯形ABCD

9、中，已知BCAD，ABAD，AB4，BC2，AD4，若P为CD的中点，则eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()的值为_12等差数列an的公差d(0,1)，且eq f(sin2a3sin2a7,sina3a7)1，当n10时，数列an的前n项和Sn取得最小值，则首项a1的取值范围为_13已知曲线C：y2x2，点A(0，2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是_14在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当ab时，aba；当ab时，abb2.则函数f(x)(1x)x(2x)(x2,2)的最大值等于_(“”和“”仍为通常的乘法和

10、减法)（二）、解答题细心计算，规范解答，全面拿下三角与向量题15如图，在四边形ABCD中，已知AB13，AC10，AD5，CDeq r(65)，eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()50.(1)求cosBAC的值；(2)求sinCAD的值；(3)求BAD的面积评分细则1没有写cosBACeq f(o(AB,sup6()o(AC,sup6(),|o(AB,sup6()|o(AC,sup6()|)直接计算的，扣1分.,2不交代CAD的范围的，扣1分；,3不交代BAC范围的，扣1分.善于观察，注意转化，做好立体几何不是难事16如图，四棱椎P ABCD的底面为矩形，且ABeq r(2

11、)，BC1，E，F分别为AB，PC中点(1)求证：EF平面PAD；(2)若平面PAC平面ABCD，求证：平面PAC平面PDE.评分细则1第一问，方法1和2，下结论时：不交代平面外一条直线与平面内一条直线平行，一律扣2分；方法3，直接由线线平行面面平行，扣3分；2第二问，不用平面几何知识证明DEAC，扣2分.看似复杂，实则简单，带你融会贯通应用题17经销商用一辆J型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km的水果批发市场据测算，J型卡车满载行驶时，每100 km所消耗的燃油量u(单位：L)与速度v(单位：km/h)，的关系近似地满足ueq blcrc (avs4alco1(f(100,v

12、)23，0v50，,f(v2,500)20，v50.)除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时300元已知燃油价格为每升(L)7.5元(1)设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用)，将y表示成速度v的函数关系式；(2)卡车该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？评分细则1第一问，有一段求解错误的，扣4分；2第二问，有一段函数最值求解错误的，扣2分；没有将两个最小值比较的，扣2分，不写答案的，扣1分.强化系统，精确计算，解析几何我们不再害怕18已知半椭圆eq f(x2,b2)eq f(y2,a2)1(y0)和半圆x2y2b2(y0)组成曲线C，其中ab0；如图，半椭圆eq

13、f(x2,b2)eq f(y2,a2)1(y0)内切于矩形ABCD，且CD交y轴于点G，点P是半圆x2y2b2(y0)上异于A、B的任意一点，当点P位于点Meq blc(rc)(avs4alco1(f(r(6),3)，f(r(3),3)时，AGP的面积最大(1)求曲线C的方程；(2)连PC，PD交AB分别于点E，F，求证：；AE2BF2为定值掌握类型，巧妙构造，解决棘手的数列问题19设数列an的前n项和为Sn，已知Sn1pSnq(p，q为常数，nN*)，a12，a21，a3q3p.(1)求p，q的值；(2)求数列an的通项公式；(3)是否存在正整数m，n，使eq f(Snm,Sn1m)eq f

14、(2m,2m1)成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(m，n)；若不存在，说明理由评分细则1列式正确，计算错误的，扣2分.2没有验证“a2f(1,2)a1”的，扣2分；3讨论不全的，少一个扣1分，直到扣完为止.认真审题，精妙转化，解决压轴的函数问题20已知函数f(x)x3ax2a2x2，aR.(1)若a0时，试求函数yf(x)的单调递减区间；(2)若a0，且曲线yf(x)在点A、B(A、B不重合)处切线的交点位于直线x2上，证明：A、B两点的横坐标之和小于4；(3)如果对于一切x1、x2、x30,1，总存在以f(x1)、f(x2)、f(x3)为三边长的三角形试求正实数a的取值范围评分细则

15、1单调区间没有写出区间的，扣1分.,23严格按照评分标准评分. 2014届高考数学最后一讲 参考答案1解析画出椭圆eq f(x2,4)eq f(y2,16)1和指数函数y3x图象，可知其有两个不同交点，记为A1，A2，则AB的子集应为，A1，A2，A1，A2共四个 四2解析eq f(2bi,12i)eq f(2bi12i,12i12i)eq f(22bb4i,5)，由题意得22bb4，解得beq f(2,3).3解析组距为1，在区间4,5)上频率为10.40.150.100.050.3，在区间4,5)上频数为60，则eq f(60,N)0.3N200.4解析共有36种等可能基本事件，其中要求方

16、程x22mxn0无实根，即m2n的事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共7个基本事件，因此所求概率为eq f(7,36).5解析p1：xR，sin2eq f(x,2)cos2eq f(x,2)eq f(1,2)是假命题；p2是真命题，如xy0时成立；p3是真命题，x0，sin x0， eq r(f(1cos 2x,2)eq r(sin2x)|sin x|sin x；p4是假命题，如xeq f(,2)，y2时，sin xcos y，但xyeq f(,2). 答案p1，p46解析cos cos()sin sin()cos()cos eq f(3,

17、5)，且是第二象限的角，sin eq f(4,5)，tan eq f(4,3)，所以tan 2eq f(2tan ,1tan2)eq f(24,7).7解析因为F2PF1是底角为30的等腰三角形，则有|F2F1|F2P|，因为PF1F230，所以PF2D60，DPF230，所以|F2D|eq f(1,2)|PF2|eq f(1,2)|F1F2|，即eq f(3a,2)ceq f(1,2)2cc，所以eq f(3a,2)2c，即eq f(c,a)eq f(3,4)，所以椭圆的离心率为eeq f(3,4).8解析 由a+8bb(a+b) 得a+8b-b(a+b)0 变成a-ba-(-8)b0则=+

18、4(-8)=+4-32=0 (+8)(-4)=0 所以-8,49解析画出函数图象，利用数形结合的方法求解若方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根，即函数yf(x)与yxa的图象有两个不同的交点，由图象可知a1. 答案(，1) 10解析设M(x，y)(x0)，因为在M点处切线的倾斜角的范围是eq blcrc)(avs4alco1(f(,4)，f(,2)，所以切线的斜率是1，)，即yeq f(1,x)x1a1，x(0，)恒成立，分离参数得aeq f(1,x)x，x(0，)恒成立，所以aeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)x)min，x(0，)时，由基本不等式得eq f(1,x

19、)x2，所以a2.11解析建立坐标系，应用坐标运算求数量积以点A为坐标原点，AD、AB所在直线为x、y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0，4)，C(2,4)，D(4,0)，P(3,2)，所以eq o(PA,sup6()eq o(PB,sup6()(3，2)(3,2)5.12解析因为an是等差数列，所以eq f(sin2a3sin2a7,sina3a7)eq f(sin a3sin a7sin a3sin a7,sin 2a5)eq f(2sin a5cos 2d2cos a5sin 2d,sin 2a5)sin 4d1，得deq f(,8)eq f(k,2)，kZ，又d(0,1)，所

20、以k0，即deq f(,8).又由S10是Sn中的最小项，所以eq blcrc (avs4alco1(a10a1f(9,8)0，,a11a1f(5,4)0，)解得eq f(5,4)a1eq f(9,8).13解析点A在抛物线外部，则a23218，设过点A的抛物线的切线方程为ykx2，代入抛物线方程得2x2kx20，由k2160，得k4，结合图形取k4，即要求AB连线的斜率小于4，即eq f(a2,3)4，解得a10.14解析由定义知，f(x)eq blcrc (avs4alco1(x22x1，,x321x2，)f(x)在区间2,2上单调递增，所以f(x)的最大值为6.15解题突破(1)根据数量

21、积的定义式的变形式求；(2)在ACD中，利用余弦定理求cosCAD，再利用平方关系求解；(3)利用两角和公式求BAD的正弦值，代入三角形面积公式求解解(1)因为eq o(AB,sup6()eq o(AC,sup6()|eq o(AB,sup6()|eq o(AC,sup6()|cosBAC， 所以cosBACeq f(o(AB,sup6()o(AC,sup6(),|o(AB,sup6()|o(AC,sup6()|)eq f(50,1310)eq f(5,13).(2分)(2)在ADC中，AC10，AD5，CDeq r(65)，由余弦定理，得cosCADeq f(AC2AD2CD2,2ACAD)

22、eq f(10252r(65)2,2105)eq f(3,5).(4分)因为CAD(0，)，所以sinCAD eq r(1cos2CAD) eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)2)eq f(4,5).(6分)(3)由(1)知，cosBACeq f(5,13). 因为BAC(0，)，所以sinBAC eq r(1cos2BAC) eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(5,13)2)eq f(12,13).(8分)从而sinBADsin(BACCAD) sinBACcosCADcosBACsinCADeq f(12,13)eq f(3,5)eq f(5,13)

23、eq f(4,5)eq f(56,65).(11分)所以SBADeq f(1,2)ABADsinBADeq f(1,2)135eq f(56,65)28.(14分)16解题突破(1)由E，F分别为AB，PC中点取PD的中点M，再证四边形AEMF是平行四边形(2)在矩形ABCD中，根据ABeq r(2)BC，可得eq f(DA,AE)eq f(CD,DA)，从而可证DAECDA.再证明DEAC，根据面面垂直的性质和判定可得平面PAC平面PDE.证明(1)法一取线段PD的中点M，连接FM，AM.因为F为PC的中点，所以FMCD，且FMeq f(1,2)CD.因为四边形ABCD为矩形，E为AB的中点

24、，所以EACD，且EAeq f(1,2)CD.所以FMEA，且FMEA.所以四边形AEFM为平行四边形所以EFAM.(5分)又AM平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD.(7分)法二连接CE并延长交DA的延长线于N，连接PN.因为四边形ABCD为矩形，所以ADBC，所以BCEANE，CBENAE.又AEEB，所以CEBNEA，所以CENE.又F为PC的中点，所以EFNP.(5分)又NP平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD.(7分)法三取CD的中点Q，连接FQ，EQ.在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AEDQ，且AEDQ.所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQAD.又AD

25、平面PAD，EQ平面PAD，所以EQ平面PAD.(2分)因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQPD.又PD平面PAD，FQ平面PAD，所以FQ平面PAD.又FQ，EQ平面EQF，FQEQQ，所以平面EQF平面PAD.(5分)因为EF平面EQF，所以EF平面PAD.(7分)(2)设AC，DE相交于G.在矩形ABCD中，因为ABeq r(2)BC，E为AB的中点所以eq f(DA,AE)eq f(CD,DA)eq r(2).又DAECDA，所以DAECDA，所以ADEDCA.又ADECDEADC90，所以DCACDE90.由DGC的内角和为180，得DGC90.即DEAC.(9分)因为平面PA

26、C平面ABCD因为DE平面ABCD，所以DE平面PAC，(12分)又DE平面PDE，所以平面PAC平面PDE.(14分)17解题突破由u是关于v的分段函数，得y也是关于v的分段函数，求出各段函数的最小值，再比较大小，而求函数最值的方法可以有函数图象法、单调性法、导数法等，其中导数法是求函数最值的一种相当重要的方法解(1)由题意，当0v50时，y7.5eq f(400,100)u300eq f(400,v)30eq blc(rc)(avs4alco1(f(100,v)23)300eq f(400,v)eq f(123 000,v)690，当v50时，y7.5eq f(400,100)u300eq

27、 f(400,v)30eq blc(rc)(avs4alco1(f(v2,500)20)300eq f(400,v)eq f(3v2,50)eq f(120 000,v)600，所以yeq blcrc (avs4alco1(f(123 000,v)690，0v50，,f(3v2,50)f(120 000,v)600，v50.)(8分)(2)当0v50时，yeq f(123 000,v)690是单调减函数，故v50时，y取得最小值ymineq f(123 000,50)6903 150；当v50时，yeq f(3v2,50)eq f(120 000,v)600(v50)由yeq f(3v,25)

28、eq f(120 000,v2)eq f(3v3106,25v2)0，得v100当50v100时，y0，函数yeq f(3v2,50)eq f(120 000,v)600单调递减所以当v100时，y取得最小值ymineq f(31002,50)eq f(120 000,100)6002 400由于3 1502 400，所以当v100时，y取得最小值答当卡车以100 km/h的速度驶时，运送这车水果的费用最少(16分)18解(1)已知点Meq blc(rc)(avs4alco1(f(r(6),3)，f(r(3),3)在半圆x2y2b2(y0)上，所以eq blc(rc)(avs4alco1(f(

29、r(6),3)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)2b2，又b0，所以b1，(2分)当半圆x2y2b2(y0)在点P处的切线与直线AG平行时，点P到直线AG的距离最大，此时AGP的面积取得最大值，故半圆x2y2b2(y0)在点M处的切线与直线AG平行，所以OMAG，(3分)又kOMeq f(yM0,xM0)eq f(r(2),2)，所以kAGeq r(2)eq f(a,b)，又b1，所以aeq r(2)，(4分)所以曲线C的方程为x2eq f(y2,2)1(y0)或x2y21(y0)(6分)(2)由(1)知点C(1，eq r(2)，点D(1，eq r(2)，设P(x0

30、，y0)，则有直线PC的方程为yeq r(2)eq f(y0r(2),x01)(x1)，(7分)令y0，得xE1eq f(r(2)x01,y0r(2)，所以AE2eq f(r(2)x01,y0r(2)；(9分)直线PD的方程为yeq r(2)eq f(y0r(2),x01)(x1)，(10分)令y0，得xF1eq f(r(2)x01,y0r(2)，所以BF2eq f(r(2)x01,y0r(2)；(12分)则AE2BF2eq blcrc(avs4alco1(2f(r(2)x01,y0r(2)2eq blcrc(avs4alco1(2f(r(2)x01,y0r(2)2eq f(4xoal(2,0

31、)4,y0r(2)2)eq f(8r(2),y0r(2)8，(13分)又由xeq oal(2,0)yeq oal(2,0)1，得xeq oal(2,0)1yeq oal(2,0)，代入上式得eq f(84yoal(2,0),y0r(2)2)eq f(8r(2),y0r(2)8eq f(84yoal(2,0)8r(2)y0r(2),y0r(2)2)8eq f(4y0r(2)2,y0r(2)2)84所以AE2BF2为定值(16分)19解题突破根据条件建立方程组求解(1)；将前n项和转化为通项，再利用等比数列的通项公式求解(2)；利用等比数列的前n项求和公式化简不等式，根据不等式的结构特点利用正整数

32、的条件解不等式解(1)由题意，知eq blcrc (avs4alco1(S2pa1q，,S3pS2q，)即eq blcrc (avs4alco1(32pq，,3q3p3pq，)解之得eq blcrc (avs4alco1(pf(1,2)，,q2.)(4分)(2)由(1)知，Sn1eq f(1,2)Sn2， 当n2时，Sneq f(1,2)Sn12，得，an1eq f(1,2)an(n2)，(6分)又a2eq f(1,2)a1，所以an1eq f(1,2)an(nN*)，所以an是首项为2，公比为eq f(1,2)的等比数列，所以aneq f(1,2n2).(8分)(3)由(2)得，Sneq f

33、(2blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n),1f(1,2)4eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n)， 由eq f(Snm,Sn1m)eq f(2m,2m1)，得eq f(4blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n)m,4blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2n1)m)eq f(2m,2m1)，即eq f(2n4m4,2n4m2)eq f(2m,2m1)，(10分)即eq f(2,2n4m2)eq f(1,2m1)，因为2m10，所以2n(4m)2，所以m4，且22n(4m)2m14，(*)，因为mN*，所以m1或2或3.(12分)当m1时，

34、由(*)得，22n38，所以n1；当m2时，由(*)得，22n212，所以n1或2；当m3时，由(*)得，22n20，所以n2或3或4，综上，存在符合条件的所有有序实数对(m，n)为：(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,2)，(3,3)，(3,4)(16分)20解题突破利用导数求单调区间；根据导数的几何意义结合基本不等式以算代证；利用导数研究函数单调性、极值情况，根据三角形三边长的关系建立不等式组求解解(1)函数f(x)的导函数f(x)3x22axa23(xa)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(a,3).因为a0，由f(x)0，解得eq f(a,3)xa.所以函数yf(x)的单调递减区间为eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,3)，a).(3分)(2)当a0时，f(x)x32.设在点A(x1，xeq oal(3,1)2)，B(x2，xeq oal(3,2)2)处的切线交于直线x2上一点P(2，t)因为y3x2，所以曲线yf(x)在点A处的切线斜率为k3xeq oal(2,1)，所以，在点A处的切线方程为y(xeq oal(3,1)2)3x