2012年江苏南通市调研试题

1、第 PAGE 14 页 共 NUMPAGES 14 页江苏省苏中3市(南通、扬州、泰州）2009届高三第一次调研测试数学参考答案及评分标准必做题部分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1 命题“R，”的否定是 2 若集合A=，B=满足AB=R，AB=，则实数m= 3 若是纯虚数，则实数a的值是 开始结束A1, S1AM S2S+1AA+ 1 S1输出SNY（第4题）4 按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是 5 若函数（a为常数）在定义域上为奇函数，则k= 6 若直线和圆O：没有公共点，则过点的直线与椭圆的交点个数为 7 曲线C：在x=0处的切线方

2、程为 男生女生987653 03 3 66 62 0 01 56 5 3 62 8 77（第8题）8 下面是某小组学生在一次数学测验中的得分茎叶图，则该组男生的平均得分与女生的平均得分之差是 9 已知集合，集合，在集合A中任取一个元素p，则pB的概率是 ABCD（第13题）10设实数满足 则的取值范围是 11已知a，b为不共线的向量，设条件M：；条件N：对一切，不等式恒成立则M是N的 条件12已知数列an中，a1=1，a2=0，对任意正整数n，m(nm)满足，则a119= 13已知正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）的俯视图如右图所示，其中四边形是边长为2cm的正方形，则这个四面体的主视图的面积

3、为 cm214约瑟夫规则：将1，2，3，n按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，隔一个删除一个数，直至剩余一个数而终止，依次删除的数为1，3，5，7，当时，剩余的一个数为 【填空题答案】1R，; 23; 31； 45； 5；62； 7y=2x+3； 81.5； 9； 10 ；11充要； 121； 13； 142二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，向量m =, n=满足m/n.（1）求的取值范围；（2）若实数x满足abx=a+b，试确定x的取值范围.

4、【解】(1)因为m/n， 所以， 2分因为三角形ABC的外接圆半径为1, 由正弦定理，得.于是.因为. 故三角形ABC为直角三角形. 5分, 因为，所以, 故. 7分(2) . 9分设，则， 11分，因为 0，故在（1，上单调递减函数. 所以.所以实数x的取值范围是. 14分16（本小题满分14分）DCPAB（第16题）在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是梯形，ADBC，ABC=90，平面PAB平面ABCD，平面PAD平面ABCD.（1）求证：PA平面ABCD；（2）若平面PAB平面PCD，问：直线l能否与平面ABCD平行？请说明理由.（1）【证明】因为ABC=90，ADBC，所以ADAB.

5、而平面PAB平面ABCD，且平面PAB平面ABCD=AB,所以AD平面PAB, 所以ADPA. 3分 同理可得ABPA. 5分由于AB、AD平面ABCD，且ABAD=C,所以PA平面ABCD. 7分（2）【解】（方法一）不平行. 9分证明：假定直线l平面ABCD,由于l平面PCD，且平面PCD平面ABCD=CD, 所以CD. 11分同理可得lAB, 所以ABCD. 13分这与AB和CD是直角梯形ABCD的两腰相矛盾,故假设错误，所以直线l与平面ABCD不平行. 14分（方法二）因为梯形ABCD中ADBC,所以直线AB与直线CD相交，设ABCD=T. 11分由TCD，CD平面PCD得T平面PCD

6、.同理T平面PAB. 13分即T为平面PCD与平面PAB的公共点，于是PT为平面PCD与平面PAB的交线.所以直线与平面ABCD不平行. 14分17（本小题满分15分）设a为实数，已知函数.（1）当a=1时，求函数的极值（2）若方程=0有三个不等实数根，求a的取值范围【解】(1)依题有，故. 2分由x02+00+极大值极小值5分得在时取得极大值，在时取得极小值. 7分(2) 因为， 9分所以方程的两根为a1和a+1，显然，函数在x= a1取得极大值，在x=a+1是取得极小值. 11分因为方程=0有三个不等实根，所以 即 解得且.故a的取值范围是. 15分18（本小题满分15分）如图，椭圆(ab

7、0)的左、右焦点分别为F1、F2，M、N是椭圆右准线上的两个动点，OMNF2F1yx（第18题）且. （1）设C是以MN为直径的圆，试判断原点O与圆C的位置关系； （2）设椭圆的离心率为，MN的最小值为，求椭圆方程.【解】（1）设椭圆的焦距为2c(c0)，则其右准线方程为x，且F1(c, 0),F2(c, 0).2分设M，则. 4分因为，所以，即. 于是，故MON为锐角.所以原点O在圆C外. 7分 （2）因为椭圆的离心率为，所以a=2c， 8分 于是M ，且 9分MN2(y1y2)2y12+y222y1y2. 12分当且仅当 y1y2或y2y1时取“=”号， 13分所以(MN)min= 2 e

8、q r(15)c2 eq r(15)，于是c=1, 从而a2，b eq r(3)，故所求的椭圆方程是. 15分19（本小题满分16分）下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S其特点是每行每列都是等差数列，第i行第j列的数记为Aij.1 4 7 10 13 4 8 12 16 20 7 12 17 22 27 10 16 22 28 34 13 20 27 34 41 （1）证明：存在常数，对任意正整数i、j，总是合数；（2）设S中主对角线上的数1，8，17，28，41，组成数列. 试证不存在正整数k和m，使得成等比数列；（3）对于（2）中的数列，是否存在正整数p和r，使得成等差数列若存在，写出的一组

9、解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由 （1）【证明】因为第一行数组成的数列A1j(j=1,2，)是以1为首项，公差为3的等差数列，所以A1 j1+(j1)33 j2，第二行数组成的数列A2j(j1,2，)是以4为首项，公差为4的等差数列，所以A2 j4+(j1)44 j 2分所以A2 jA1 j4 j(3 j2)j2，所以第j列数组成的数列 Aij(i1,2，)是以3 j2为首项，公差为 j2的等差数列，所以Aij3 j2(i1) (j2) ij2i2j4(i3) (j2) 8 5分故Aij8=(i3) (j2)是合数所以当8时，对任意正整数i、j，总是合数 6分（2）【证明】(反证法

10、)假设存在k、m，使得成等比数列，即 7分bnAnn (n+2)24得，即， 10分又，且k、mN，k2、m3，这与Z矛盾，所以不存在正整数k和m，使得成等比数列12分（3）【解】假设存在满足条件的，那么即. 14分不妨令 得所以存在使得成等差数列 16分（注：第（3）问中数组不唯一，例如也可以）20（本小题满分16分）如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”. （1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论： f(x) eq r(x)； g(x)sinx (x(0

11、，). （2）若函数h(x)lnx (xM，)是保三角形函数，求M的最小值.（1）【答】f(x) eq r(x)是保三角形函数，g(x)sinx (x(0，)不是保三角形函数.【证明】 f(x) eq r(x)是保三角形函数. 对任意一个三角形的三边长a，b，c，则abc，bca，cab，f(a) eq r(a)，f(b) eq r(b)，f(c) eq r(c). 因为( eq r(a) eq r(b)2a2 eq r(ab)bc2 eq r(ab)( eq r(c)2，所以 eq r(a) eq r(b) eq r(c).同理可以证明： eq r(b) eq r(c) eq r(a)， e

12、q r(c) eq r(a) eq r(b). 所以f(a)、f(b)、f(c)也是某个三角形的三边长，故 f(x) eq r(x)是保三角形函数. 4分g(x)sinx (x(0，)不是保三角形函数. 取，显然这三个数能作为一个三角形的三条边的长. 而sin1，sin eq f(1,2)，不能作为一个三角形的三边长. 所以g(x)sinx (x(0，)不是保三角形函数. 8分(2)【解】M的最小值为2. 10分(i)首先证明当M2时，函数h(x)lnx (xM，)是保三角形函数. 对任意一个三角形三边长a，b，cM，)，且abc，bca，cab，则h(a)lna，h(b)lnb，h(c)ln

13、c.因为a2，b2，abc，所以(a1)(b1)1，所以ababc，所以lnablnc，即lnalnblnc. 同理可证明lnblnclna，lnclnalnb.所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长. 故函数h(x)lnx (xM，)，M2)，是保三角形函数. 13分(ii)其次证明当0M2时，h(x)lnx (xM，)不是保三角形函数. 当0M2时，取三个数M，M，M2M，)，因为0M2，所以MM2MM2，所以M，M，M2是某个三角形的三条边长，而lnMlnM2lnMlnM2，所以lnM，lnM，lnM2不能为某个三角形的三边长，所以h(x)lnx 不是保三角形函数. 所以，当M2

14、时，h(x)lnx (xM，)不是保三角形函数. 综上所述：M的最小值为2. 16分附加题部分21. （选做题）本大题包括A，B，C，D共4小题，请从这4题中选做2小题. 每小题10分，共20分请在答题卡上准确填涂题目标记. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤PADBCO选修41：几何证明选讲如图，PA切O于点，D为的中点，过点D引割线交O于、两点求证: 【证明】因为与圆相切于， 所以， 2分 因为D为PA中点，所以DP=DA， 所以DP2=DBDC，即 5分因为， 所以， 8分所以 10分选修42：矩阵与变换已知在一个二阶矩阵M的变换作用下, 点变成了点，点变成了点，求矩阵M.【解】设

15、， 2分则由， 5分得 8分所以 因此. 10分选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C (2，)，半径R=，求圆C的极坐标方程.解法一：设P(，)是圆上的任意一点，则PC= R=. 4分由余弦定理，得2+2222cos()=5. 8分化简，得24cos()1=0，此即为所求的圆C的方程. 10分解法二：将圆心C (2，)化成直角坐标为(1，)，半径R=， 2分 故圆C的方程为(x1)2(y)2=5. 4分 再将C化成极坐标方程，得(cos1)2+(cos)2=5. 6分 化简，得24cos()1=0 ，此即为所求的圆C的方程. 10分选修45：不等式选讲已知，求证：.【

16、证明】因为 3分 7分 所以. 故. 10分22. 必做题, 本小题10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤投掷A，B，C三个纪念币，正面向上的概率如下表所示.纪念币ABC概 率aa将这三个纪念币同时投掷一次, 设表示出现正面向上的个数.（1）求的分布列及数学期望；（2）在概率(i=0，1，2，3)中, 若的值最大, 求a的取值范围.【解】(1)是个正面向上,个背面向上的概率.其中的可能取值为0，1，2，3. , ,. 4分 所以的分布列为的数学期望为. 5分(2) ,.由和，得,即a的取值范围是. 10分23必做题, 本小题10分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤已知用数学归纳法

17、证明：.【证明】（1）当n=2时，左边右边，不等式成立. 2分（2）假设当n=k（）时，不等式成立，即. 4分因为，所以，于是. 6分当n=k+1时，.即当n=k+1时，不等式也成立. 9分综合（1），（2）知，对于，不等式总成立. 10分2009届高三第一次调研考试（数学讲评建议）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分4本题可以构造数列 ，项数对应算法中的计数变量，通项对应算法中的存储变量5奇函数的定义域中含有0时才可以用这一特殊值6由圆O到直线的距离不大于半径得，所以点在圆O内，而圆O是以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆，故点在椭圆内，因此过点的直线与椭圆必有两个交点8男生的

18、所有成绩的个位上数字之和为，所以男生的总成绩为，因此男生的平均成绩为，同理得女生的平均成绩为，所以男生的平均成绩与女生的平均成绩之差是9满足且的点有25个，满足且的点有6个，故所求的概率是。注意本题中条件，若去之，本题变为几何概型的题目了，建议数值较小时画出网格10由可行域得区域内的点与原点连线的斜率范围是，故令，则，根据函数在上单调递增得正确画出可行域是前提，明白的几何意义是关键，熟知函数的单调性是基本功11方法一：构造直角三角形OAB，其中，则，当点D与点B不重合时，由斜边大于直角边得，当点D与点B重合时，反之也成立。方法二：将不等式两边平方后转化为关于变量的二次不等式在上恒成立，再利用判

19、别式解决12方法一：采用特殊值法求出分别为，由不完全归纳法得出周期为方法二：令，得，即，所以奇数项成等比数列，偶数项均为再令，得，当为奇数时，当为偶数时，故，因此周期为13构造一个边长为的正方体ABCDABCD，在此正方体中作出一个正四面体ABCD，再求解14当时，设剩余的数为，先删除所有奇数，余下的数是2，6，8，所在位置的序号的2倍等于，依次类推。假如是1至64，则必余下64这个数，所以先删除1后，剩余64个数，这时将从3开始删除，2排在了最后，故剩余的数是2。实际上当时，剩余的数必是2二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分） 本题主要考查解三角形和向量的运算等相关知识，要求学生涉及三角形中三角恒等变换时，要从化角或化边的角度入手，合理运用正弦定理或余弦定理进行化简变形；在第二小题中，化边的角度入