电路教学课件：第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析

1、7-2 一阶电路的零输入响应7-3 一阶电路的零状态响应7-4 一阶电路的全响应7-6 二阶电路的零状态响应和全响应7-5 二阶电路的零输入响应7-1 动态电路的方程及其初始条件第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析教学内容7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应*7-9 卷积积分*7-10 状态方程*7-11 动态电路时域分析中的几个问题7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应教学内容 理解动态电路的概念；熟练掌握求解一阶电路的零输入、零状态和全响应的方法；掌握求解一阶电路阶跃响应、冲激响应的方法；了解求解二阶电路的各种响应的经典法；了解二阶电路的过渡过程的性质和物理意义。教学要求重点 应用三要素法分

2、析一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应；求解一阶电路的阶跃响应、冲激响应。 针对一阶或高阶电路，如何写出相应的微分方程；冲激响应的求解。难点学时数讲课7学时，习题1学时。一、动态电路的有关概念 一阶(动态)电路 仅含一个动态元件，且无源元件都是线性和时不变的电路，其电路方程是一阶线性常微分方程。7-1 动态电路的方程及其初始条件 二阶或 n 阶(动态)电路 含两个或 n 个动态元件的电路，其电路方程是二阶或 n 阶微分方程。7-1 动态电路的方程及其初始条件 过渡过程 当电路的结构或元件的参数发生变化时，可能使电路从一种工作状态(稳定状态)转变到另一种工作状态(稳定状态)，期间所经历的过程

3、称为过渡过程。 换路 电路结构或参数变化引起的电路变化称为换路，换路是瞬间完成的。 设 t = 0 时刻换路，则 t = 0- 表示换路前的终了瞬间 t = 0+表示换路后的初始瞬间(初始值)7-1 动态电路的方程及其初始条件二、分析动态电路的方法 经典法 三要素法 该方法仅适用于一阶动态电路。 建立以时间为自变量的线性常微分方程，然后求解常微分方程，从而得到电路所求变量(电压或电流)，该方法是在时域中进行。 三、动态电路的初始条件 电路中所求变量(电压或电流)及其1阶至(n-1)阶导数在 t = 0+ 时的值。 初始条件(初始值)7-1 动态电路的方程及其初始条件 独立初始条件电容电压的初始

4、值uC(0+)。令 t0 = 0- ，t = 0+ ，则若换路前后，iC 为有限值，则换路瞬间，电容电压不能突变。7-1 动态电路的方程及其初始条件电感电流的初始值iL(0+)。令 t0 = 0- ，t = 0+ ，则若换路前后，uL 为有限值，则换路瞬间，电感电流不能突变。7-1 动态电路的方程及其初始条件换路定则换路瞬间，电容电压不能突变，电感电流不能突变。画出t = 0-等效电路，根据换路定则：独立初始条件的求法 电容元件视作开路，其电压值为uC(0-)；电感元件视作短路，其电流值为iL(0-)；稳定状态下：由t = 0+等效电路求非独立初始值。在t = 0+等效电路中若 ，则电容元件用

5、理想电压源代替，其值为 ；若 ，则电感元件用理想电流源代替，其值为 ；7-1 动态电路的方程及其初始条件 非独立初始条件若 ，则电容元件视作短路。若 ，则电感元件视作开路。例7-1：换路前电路处于稳态，试求图示电路中元件电压和电流的初始值。解：由t = 0-等效电路求 uC(0)、iL (0) 624Vt =0iSiCuCuLiL12i16i2+-+-+-t = 0-等效电路 624VuC(0-)126+-+-iL(0-)7-2 一阶电路的零输入响应由t = 0+等效电路求非独立初始值t = 0+等效电路 624VuC(0+)126+-+-iL(0+)i1(0+)i2(0+)iS(0+)iC(

6、0+)uL(0+)+-7-2 一阶电路的零输入响应7-2 一阶电路的零输入响应一、RC电路的零输入响应零输入响应：换路后，动态电路中无外施激励电源，仅由动态元件初始储能所产生的响应。U0t = 0C+-+-RuRuCiRC放电电路一阶齐次微分方程 电容电压 uC 的变化规律(t 0)7-2 一阶电路的零输入响应令方程通解为：特征方程：将其带入方程得由初始值确定积分常数A方程通解为：根据换路定则：t = 0+时，则 A = U0电容电压 uC 的变化规律（t 0）为7-2 一阶电路的零输入响应 电容电压uC按指数规律从初始值U0衰减而趋于零，衰减的快慢由电路的时间常数决定。 i、uR的变化规律

7、uC、i、uR的变化曲线U0-U0tOuC，i，uR7-2 一阶电路的零输入响应物理意义令单位： 秒（S）时间常数 决定电路暂态过程变化的快慢。当 时， 时间常数等于电压uC衰减到初始值U0的36.8%所需的时间。 时间常数tOuCU036.8%U0 R为换路后的电路除源（即将理想电压源短接、理想电流源开路）后，从储能元件两端（不含储能元件）看进去的无源二端网络间的等效电阻。7-2 一阶电路的零输入响应经过 t =5 的时间，就足可认为电路达到稳态。理论上 t 电路才能达到稳态。 工程上认为 电路就可认为达到稳态。几何意义：指数曲线上任意点的次切距的长度都等于 。暂态时间tOuCU036.8%

8、U00.368U00.135U00.050U00.018U00.007U00.002U0随时间而衰减例7-2 图示电路，开关S原在位置1已久，t =0时合向位置2，试求i(t)和uC(t) 。解：7-2 一阶电路的零输入响应+-uC+-i5V7-2 一阶电路的零输入响应例7-3 图示电路，开关S合在位置1时电路已达稳态，t =0时开关由位置1合向位置2，试求t0时的电流i(t)。解：用加压求流法求等效电阻 R+-2i+-i9V0.25F二、RL电路的零输入响应 电感电流 iL 的变化规律t = 0时开关S由1合到2一阶线性齐次微分方程令方程通解为：由特征方程：U0t = 0L+-+-RuRuL

9、iL7-2 一阶电路的零输入响应7-2 一阶电路的零输入响应由初始值确定积分常数 A方程通解为： 电感电流 iL 按指数规律从初始值衰减至零，衰减的快慢由决定。根据换路定则：t = 0+时，则 7-2 一阶电路的零输入响应 uL、uR的变化规律 iL、uL、uR的变化曲线O-U0uRtiL，uL，uRiLU0uL 7-2 一阶电路的零输入响应 eL可能使开关两触点之间的空气击穿而造成电弧以延缓电流的中断，开关触点因而被烧坏。 用开关S将线圈从电源断开而未加以短路 解决方法：与线圈串接低值泄放电阻R1 。U0t = 0L+-+-RuRLiU0t = 0L+-+-RuRLiR1与线圈连接泄放电阻

10、因为电流变化率 很大所以 很大7-2 一阶电路的零输入响应例7-4 图示是一台300kW汽轮发电机的励磁回路。已知励磁绕组的电阻R = 0.189，电感L= 0.398H，直流电压U=35V。电压表的量程为50V，内阻 RV = 5k。开关未断开时，电路中电流已经恒定不变。在 t = 0 时断开开关。求：电阻、电感回路的时间常数；电流 i 的初始值；电流 i和电压表处的电压uV；开关刚断开时，电压表处的电压。+-RViLRV+-uVU解：7-2 一阶电路的零输入响应+-RViLRV+-uVU7-3 一阶电路的零状态响应一、RC电路的零状态响应零状态响应：换路后，动态电路中动态元件初始储能为零，

11、由外施激励引起的响应。Ut = 0C+-+-RuRuCiRC充电电路+-u一阶线性非齐次微分方程 电容电压uC的变化规律方程的解 = 特解 + 通解特解：通解：即：7-3 一阶电路的零状态响应根据初始值确定积分常数 A根据换路定则：t = 0+时，则 A=U i、uR的变化规律7-3 一阶电路的零状态响应稳态分量(强制分量)：电路到达稳定状态时的电压，其变化规律和大小都与电源电压U有关。-UU瞬态分量(自由分量)：仅存在于暂态过程中，其变化规律与电源电压U无关，但其大小与U有关。-36.8%U uC、i、uR的变化曲线touC63.2%U 表示电容电压 uC 从初始值上升到稳态值的63.2%时

12、所需的时间。7-3 一阶电路的零状态响应UtOuC，i，uR7-3 一阶电路的零状态响应例7-5 图示电路，开关S闭合前电容电压为零。在t =0时S闭合，求t0时的uC(t)和iC(t)。t = 0+-+-uCiC20V解：7-3 一阶电路的零状态响应 电感电流iL的变化规律特解通解Ut = 0L+-+-RuRuLiLu+-RL电路与恒定电压接通令解令二、RL电路的零状态响应7-3 一阶电路的零状态响应根据初始值确定积分常数 A微分方程的解为：根据换路定则：t = 0+时，则7-3 一阶电路的零状态响应 uL、uR的变化规律 iL、uL、uR的变化曲线OtiL，uL，uRiLUuLuR7-3

13、一阶电路的零状态响应例7-6 图示电路中开关S打开前已处稳定状态。t = 0开关S打开，求t0时的uL(t)和电压源发出的功率。+-+-解：电压源发出的功率为7-4 一阶电路的全响应U0t = 0C+-+-RuRuCiU+-全响应：换路后，外施激励及储能元件的初始状态均不为零时电路的响应。一、RC电路的全响应 电容电压uC的变化规律t = 0 时开关S由1切换到2微分方程的解为：零输入响应这是叠加定理在电路暂态分析中的体现。根据初始值确定积分常数A根据换路定则：t = 0+ 时，则 A = U0U 全响应 = +零状态响应稳态分量瞬态分量全响应 = 稳态分量 +瞬态分量（三要素） 在直流电源激

14、励下，分析一阶电路的全响应的一般公式为初始值稳态值时间常数 一阶线性电路均可应用三要素法求解，即只要求得 、 和 这三个要素的基础上，就能直接写出电路的响应（电压或电流）。 7-4 一阶电路的全响应初始值 的求法 如何求三要素7-4 一阶电路的全响应画出t = 0-等效电路，根据换路定则：电容元件视作开路，其电压值为uC(0-)；电感元件视作短路，其电流值为iL(0-)；稳定状态下：独立初始条件7-4 一阶电路的全响应非独立初始条件由t = 0+等效电路求非独立初始值。在t = 0+等效电路中若 ，则电容元件用理想电压源代替，其值为 ；若 ，则电感元件用理想电流源代替，其值为 ；若 ，则电容元

15、件视作短路。若 ，则电感元件视作开路。例：确定图示电路中各电流和电压的初始值，设开关S闭合前电感元件和电容元件均未储能。解：46Vt =0iCuCuLiL42i+-+-+-46VuC(0+)42+-+-+-uL(0+)iL(0+)iC(0+)i(0+)t = 0+ 等效电路7-4 一阶电路的全响应 换路后，当 t 时的等效电路中，电容视作开路，电感视作短路。稳态值 的求法例：求开关S闭合后i1、i2、iC和uC的稳态值。解：39Vt =0i2uCiC6i1+-+-7-4 一阶电路的全响应 R0为换路后的电路除源（即将理想电压源短接、理想电流源开路）后，从储能元件两端（不含储能元件）看进去的无源

16、二端网络间的等效电阻。时间常数 的求法一阶RC电路：一阶RL电路：例：39Vt =0i2uC6i1+-+-47-4 一阶电路的全响应例7-7 图示电路中US=10V，IS=2A，R=2，L=4H。试求 S 闭合后电路中的电流 iL 和 i 。7-4 一阶电路的全响应解：+-RISiUSiLL7-4 一阶电路的全响应例7-8 图示电路，开关 S 闭合前电路已达稳定状态，求 t = 0 时电容电压 uC 的零状态响应、零输入响应和全响应。解：+-+-0.5V+-u11.5u1uC0.5F1A用加压求流法求等效电阻 R7-4 一阶电路的全响应全响应零输入响应零状态响应7-5 二阶电路的零输入响应略7

17、-6 二阶电路的零状态响应和全响应略7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应一、阶跃函数 单位阶跃函数定义任一时刻t0起始的阶跃函数1tO 延迟的单位阶跃函数1tOt07-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应1VCR+- 一般阶跃函数AtOt0二、阶跃函数的作用 阶跃函数又称开关函数，可作为电路中开关的数学模型。 1tO 用阶跃函数构成闸门函数截取一个函数的某段波形。7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应例： 阶跃函数可起始任意一个f(t)。tOt01tOt1t21tOt1-1tOt27-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应三、阶跃响应初始状态为零的电路在阶跃电源作用下的响应。 因此单位阶跃响应与直流激励响

18、应相同，常用s(t)表示单位阶跃响应。 若电路的激励为 ，则电路的零状态响应为 。 当电路的激励为单位阶跃 或 时，相当于将电路在 t = 0时接通电压值为1V的直流电压源或电流值为1A的直流电流源。7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应例7-9 图示电路，开关S和在位置1时电路已达稳定状态。t = 0时，开关由位置1合向位置2，在 t = RC 时又由位置2合向位置1，求 t 0 时的电容电压uC(t)。解：US+-CR+-方法一 在 区间为RC电路的零状态响应 在 区间为RC电路的零输入响应。7-7 一阶电路和二阶电路的阶跃响应方法二UStOuS(t)UStOuS(t)-USRC电路的单位阶

19、跃响应为：7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应一、冲激函数 单位冲激函数 一般冲激函数1tOKtOt0表示一个强度为K，发生在t0时刻的冲激函数。7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应冲激函数的幅度趋于无穷大，但强度为有限值，它是用强度表征的。画冲激函数的波形时，在表示波形的箭头旁标注其强度。注意二、冲激函数的两个性质 冲激函数与阶跃函数的关系 “筛分”性质7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应 冲激函数能把一个函数在某一时刻的值“筛”出来。三、电路的冲激响应 零状态电路在单位冲激电源作用下的响应称为单位冲激响应，常用h(t)表示。四、求冲激响应的方法 根据阶跃响应求冲激响应7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应 将冲激响应转化为零输入响应求解 当把一个单位冲激电流 A加到初始电压为零且C = 1F 的电容上，则 当把一个单位冲激电压 V加到初始电流为零且L = 1H 的电感上，则 这相当于冲激电流瞬时把电荷转移到电容上，使电容电压从零跃变到1V。 单位冲激电压瞬时在电感内建立了1A的电流，即电感电流从零值跃变到1A。7-8 一阶电路和二阶电路的冲激响应关键求冲激函数作用下的uC(0+)或 iL(0+)。 当单位冲激函数作用于零状态的一阶