结构力学稳定理论课件2

1、14-3 有限自由度体系的稳定 静力法和能量法1稳定计算最基本最重要的方法静力法：考虑临界状态的静力特征。 （平衡形式的二重性）能量法：考虑临界状态的能量特征。 （势能有驻值，位移有非零解）PlABk要点是利用临界状态平衡形式的二重性，在原始平衡位置之外寻找新的平衡位置，列平衡方程，由此求临界荷载。l=0，原始平衡0，新平衡形式特征方程（稳定方程）临界荷载MA=k 确定体系变形形式(新的平衡形式)的独立位移参数的数目即稳定体系的自由度.PAB转动刚度系数kBEI=1、静力法 对于具有n个自由度的结构，新的平衡形式需要n个独立的位移参数确定，在新的平衡形式下也可列出n个独立的平衡方程，它们是以n

2、个独立的位移参数为未知量的齐次代数方程组。根据临界状态的静力特征，该齐次方程组除零解外（对应于原有平衡形式），还应有非零解（对应于新的平衡形式），故应使方程组的系数行列式为零，D=0即为稳定方程，从稳定方程求出的最小根即为临界荷载Pcr。2 例1：图示体系中AB、BC、CD各杆为刚性杆。使用两种方法求其临界荷载。lllPkkABCDPkky1y2R1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/l解：1）静力法设变形状态 求支座反力列变形状态 的平衡方程（a）如果系数行列式=0y1，y2不为零，对应新的平衡形式。ABCD1-1对称问题可利用对称性做。P32、能量法静力法对等截面压杆的稳定分

3、析较为简单，而对变截面杆、有轴向分布荷载作用的杆就较为麻烦。也可从稳定与能量的关系来分析稳定性。刚性小球运动稳定性与能量的关系设静止点A、B、C点=0ABCA点为稳定平衡，偏离A点其势能将增加，故知稳定平衡位置的势能为最小。B点为随遇平衡，偏离B点=势能不变。C点为不稳定平衡，偏离C点其势能将减小，故知不稳定平衡位置的势能为最大。4 对于弹性变形体系，其稳定性与能量的关系与刚性小球情况相似。设原始平衡状态为零势能点，让体系微小偏移，荷载在位移上做功W（外力势能UP=W）使体系偏移，内力在变形上产生变性能U，使体系恢复原位置。总势能=U+ UP即总势能的增量。 如总势能=U+ UP 0（0），体

4、系能恢复原位置，平衡是稳定的； 如总势能=U+ UP =0（=0），体系能在任意位置平衡，平衡为中性的； 如总势能=U+ UP 0（0），体系不能恢复原位置，平衡是不稳定的。 用能量法求临界荷载，依据于临界状态的平衡条件，它等价于势能驻值原理：弹性体系在临界状态，其总势能为驻值，即=0或：=0 （单自由度体系）（用于多自由度体系）PlABklMA=kPABBEI=05弹性体系的平衡方程势能驻值原理：对于弹性体系， 在一切微小的可能位移中，同时又满足平衡条件的位移（真实位移）使结构的势能为驻值，即：=0 , =应变能U+外力势能UPMA=k22ql=2sin22ql=)cos1(qll-=MA=

5、k弹性应变能荷载势能:应用势能驻值条件:位移有非零解得：PlABkBEI=单自由度体系也可由=0解得：6 总势能是位移的二次函数，1）PUP表示体系具有足够的应变能克服荷载势能，使压杆恢复到原有平衡位置)当=0，为极小值0。对于稳定平衡状态，真实的位移使为极小值2）Pk/l ，当0，恒小于零（为负定） (即UUP表示体系缺少足够的应变能克服荷载势能，压杆不能恢复到原有位置) 。当=0，为极大值0。原始的平衡状态是不稳定的。3）P=k/l ，当为任意值时，恒等于零(即U=UP) 。 体系处于中性平衡（临界状态）这时的荷载称为临界荷载Pcr=k/l 。PPcrP=Pcr 结论：1）当体系处于稳定平

6、衡状态时，其总势能必为最小。2）临界状态的能量特征是：势能为驻值=0 ，且位移有非零 解。即在荷载达到临界值前后，总势能由正定过渡到非正定。3）如以原始平衡位置作为参考状态，当体系处于中性平衡P=Pcr 时，必有总势能=0。对于多自由度体系，结论仍然成立。7Pkky1y2R1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/lABCD2）能量法在新的平衡位 置各杆端的相 对水平位移)(1222121+-=yyyyl)(212221221+-+=yyyyllD点的水平位移弹性支座应变能:)(22221+=yykU荷载势能:)(222121+-=-=yyyylPPUPl体系总势能:)2(2)2(2

7、1222121-+-=+=yPklyPyyPkllUUPP势能驻 值条件:0)2(21=-+yPklPy0)2(21=+-PyyPkl0,021=yyPP以后的计算步骤同静力法能量法步骤:给出新的平衡形式;写出总势能表达式;建立势能驻值条件;应用位移有非零解的条件,得出特征方程; 解出特征值,其中最小的即临界荷载Pcr。势能驻值条件等价于以位移表示的平衡方程。8体系总势能:)2(2)2(21222121-+-=+=yPklyPyyPkllUUPP总势能是位移y1 、y2的对称实数二次型。1）如果Pkl/3=Pcr，是正定的。5）如果kl/3 Pkl，是负定的。由此可见，多自由度体系在临界状态的

8、能量特征仍然是：在荷载达到临界值的前后，势能由正定过渡到非正定。（或说：势能达驻值，位移有非零值）非正定9PPllABCk例2：用两种方法求图示体系的临界荷载。并绘其失稳曲线。1、静力法：两个自由度，取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图。分析受力列平衡方程：2qk()21qq-kBC:AC:由位移参数不全为零得稳定方程并求解：求失稳曲线：实际失稳曲线只是理论上存在的失稳曲线102、能量法：外力势能：PPllABCk2qk()21qq-k应变能：总势能：根据势能驻值条件：由位移参数不全为零得稳定方程：以下计算同静力法。11例3：用静力法求图示体系的临界荷载。两个自由度，取1 2 为位移参数，设

9、失稳曲 线如图。分析受力列平衡方程：BC:AC:由位移参数不全为零得稳定方程：lllEI2EIEI=EI=ABCPBABCPP12例3：用能量法求图示体 系的临界荷载。两个自由度，取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图。求变形能和外力势能：lllEI2EIEI=EI=ABCPBABCPP当杆件上无外荷载作用时，杆端力的功=变形能。13P例4：用静力法求图示体系的临界荷载。EI=两个自由度，取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图。分析受力列平衡方程：由位移参数不全为零得稳定方程：AlllBCD()21qq+k()23qq-kBC141-1P例4：用能量法求图示体系的临界荷载。 EI=两个自由度，取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图。由位移参数不全为零得稳定方程：AlllBCD(