关于线性变换值域与核的问题研究报告

1、- . - .可修编-. z毕业设计论文 题 目：关于线性变换值域与核的问题研究学生：代婷学 号：2012010128所在学院：金融与数学学院专业班级：数学与应用数学届 别：2014 届指导教师：启林皖西学院本科毕业设计论文创作诚信承诺书1.本人重承诺：所提交的毕业设计论文，题目 是本人在指导教师指导下独立完成的，没有弄虚作假，没有抄袭、剽窃别人的容； 2.毕业设计论文所使用的相关资料、数据、观点等均真实可靠，文中所有引用的他人观点、材料、数据、图表均已标注说明来源； 3. 毕业设计论文中无抄袭、剽窃或不正当引用他人学术观点、思想和学术成果，伪造、篡改数据的情况； 4.本人已被告知并清楚：学校

2、对毕业设计论文中的抄袭、剽窃、弄虚作假等违反学术规的行为将严肃处理，并可能导致毕业设计论文成绩不合格，无常毕业、取消学士学位资格或注销并追回已发放的毕业证书、学士学位证书等严重后果； 5.假设在省教育厅、学校组织的毕业设计论文检查、评比中，被发现有抄袭、剽窃、弄虚作假等违反学术规的行为，本人愿意承受学校按有关规定给予的处理，并承当相应责任。 学生签名： 日期： 年 月 日目 录 TOC o 1-1 h z u HYPERLINK l _Toc388118843前言： PAGEREF _Toc388118843 h 2HYPERLINK l _Toc3881188441 线性变换与其对应的矩阵之

3、间的关系 PAGEREF _Toc388118844 h 2HYPERLINK l _Toc3881188452维数公式 PAGEREF _Toc388118845 h 3HYPERLINK l _Toc3881188463成立的条件 PAGEREF _Toc388118846 h 3HYPERLINK l _Toc3881188474 线性变换的核和值域，构造其线性变换 PAGEREF _Toc388118847 h 7HYPERLINK l _Toc3881188485 关于两个线性变换的值域和核相等的条件 PAGEREF _Toc388118848 h 9HYPERLINK l _Toc

4、3881188496 线性变换的核与最小多项式的关系 PAGEREF _Toc388118849 h 12HYPERLINK l _Toc3881188507特殊线性变换的值域与核 PAGEREF _Toc388118850 h 13HYPERLINK l _Toc388118851参考文献： PAGEREF _Toc388118851 h 14-. z线性变换的值域与核的研究学生：代婷指导教师：启林皖西学院金融与数学学院学院摘要： 了解线性变换的一些根本概念，在此根底上为了探讨总结线性变换的值域与核的根本性质和关系，研究了线性变换与其对应的矩阵之间的关系，维数公式以及 线性变换的核和值域，构

5、造其线性变换，成立的条件，几个问题根据上述的关系和结论论述在线性空间或矩阵理论方面的应用如线性变换的核与最小多项式的关系关于两个线性变换的值域和核相等的条件特殊线性变换的值域与核。关键词：线性变换；值域；核；线性空间 ；矩阵Study of Range and Kernel of Linear TransformationStudent: DaiTing(Faculty Adviser：ZhaoQiling)(College of Biological and Pharmaceutical Engineering, West Anhui University)Abstract:The unde

6、rstanding of some basic concepts of linear transformation, on the basis of the relationship between matri* summary, range and kernel of linear transformations and basic properties of linear transformation and the corresponding relation between A dimension formula, nuclear and range known linear tran

7、sformation, construct the linear transform, established conditions, according to the the conclusion discusses the relationship and application in linear space or matri* theory aspects such as nuclear and the minimal polynomial of A to the linear transformation of two linear transformations A, range

8、and nuclear B range and kernel equal conditions of special linear transformation,Keywords: linear transform; domain kernel;linear space ;matri*前言：为了后面表达的方便，本文约定：表示一个数域，表示数域上的一个维线性空间，表示上的一个线性变换，表示上的一组基，表示,在基下 所对应的矩阵，表示上的所有线性变换构成的集合。由线性变换的理论知，它构成了一个线性空间；表示矩阵的第1列、第2列，第列的列向量，表示由向量组生成的子空间；表示线性变换的值域，即;表示线

9、性变换的核，即，表示线性空间的维数。1 线性变换与其对应的矩阵之间的关系。向量组与向量组等价，因而由向量根据上述的约定则有：作映射：，即有线性变换的理论可得：是到的一个同构映射。如果：，此时可设,从而可得：，即,反之也对。不妨记：假设果，则存在使得：，不妨设：;由，可得：，即在基下的坐标列向量是的列向量组的一个线性组合，也即是：，反之也是对的，即假设，则上述结果事实上证明了：命题1.1：如果表示上的一组基，表示在基下 所对应的矩阵，则与同构，与同构，且，与与有一样的线性关系.由同构的意义知，要研究和只要研究和即可.2维数公式命题2.1维数公式：证明：设：则，又所以：由上述的同构关系，故：3 成

10、立的条件命题3.1：如果的行向量组与等价则证明：假设：则与正交，又有条件可得与正交，即与正交，即从而：即另一方面，有维数公式知：故：由前面所说的同构关系，从而可得：例3.1：设，则的行向量组：；的列向量组,其转置为所以：这就是说，向量组能被向量组线性表示，同理向量组也能被向量组线性表示，因此向量组能被向量组等价，由命题3.1知事实上：,而因此；而是非奇异矩阵，因此，再有同构关系可得：推论1：如果是一个对称矩阵，则证明：由于是对称矩阵，故的行向量组,因此的行向量组与等价，所以得到证明。推论2：如果是反一个对称矩阵，则证明：由于是反对称矩阵，故的行向量组，因此的行向量组与等价，由命题3.1知结论成

11、立。推论3：如果是可逆的，则证明：因为可逆，因此的行向量组线性无关，而的列向量组也线性无关，从而线性无关，因此的行向量组与等价，从而由命题3.1知结论成立。事实上，此时而命题3.2：如果存在正整数使得：则：证明：根据同构和直和的有关结论，只要证明：即可对于任意的，可得且能够被线性表示，即存在使得：，因此根据条件和立即可得：,又，这就是说：故结论成立。命题3.3：成立的充要条件是在*一组基下的矩阵为其中是可逆矩阵。证明：充分性：设在在基下的矩阵为，由于可逆，因此由命题3.1推论3知因此的行向量组与等价，由命题3.1知结论成立。必要性：在中取定一组基，将其扩大成的一组基：，对于中的任意一个向量，假

12、设：则这就是说中任意一个向量都可以被线性表示，从而中的任意一组基可以被线性表示，所以AAA从而，故线性无关.因而也可以作为的一组基，因此，可以作为的一组基，因此可以被，线性表示，不妨设：由于；,当时这就是说：向量组可以被向量组线性表示，而线性无关，因此向量组也线性无关，由于向量组所以向量组可以被的基向量线性表示，即根据上面的证明可得，矩阵是阶可逆方阵，且，可作为的一组基，在此组基下：，故结论成立。例3.2设是三维线性空间上的线性变换，在基下的矩阵为：应用上述命题3.2知不能分解成与的直和。事实上：;例3.3：是维线性空间上的线性变换，且，则证明：有条件知存在一组基，在此组基下所对应的矩阵为：，

13、所以命题成立。有前面的命题3.2，立即可得：命题3.3：如果线性变换在*一组基下的矩阵为，其矩阵与*一个假设当矩阵同理，其中中至少有一个特征值为0，且其阶数的假设尔当块，则不能分解成与的直和。4 线性变换的核和值域，构造其对应的线性变换命题4.1是线性空间的两个子空间，且，则存在线性变换，使得证明：设是其一组基，将此组基扩大成的一组基：而是的一组基，对于任意的向量，假设，作线性变换：，易知是线性变换，且且，从而另一方面，对于任意一个向量，必存在使得：作向量：，则根据的定义，知：因此，这就是说，从而。证完。命题4.2：设为维线性空间上的线性变换，是其两个线性子空间，证明如果则存在线性变换和使得,

14、且证明：设是的一组基，将此组基分别扩大成的一组基由线性空间理论知的一组基为：再将此扩大成的一组基：；其中对于任意的都有：由于是的一组基，因此对于任意的都有：根据上述的定义线性变换和根据和的定义，显然对于任意的都有：，故又假设则此时根据线性变换的定义，则，即假设，则此时根据线性变换的定义，可得；即：，故命题成立。5两个线性变换的值域和核相等的条件命题5.1 设是上的两个线性变换，如果，且，分别是在基下的矩阵，则存在可逆矩阵，使得：且的阶数等于的维数，证明：设是的一组基，将此扩大成的一组基，则，由条件知也是的一组基，且又，因此存在使得：另一方面：故：同理可得，下面再证由上面可得：由等式可知对可作分

15、块：其中是矩阵，且，从而可得：故结论成立。命题5.2：设是上的两个线性变换，在*一组基下的矩阵分别为，如果存在矩阵使得且则；倒推也成立。证明：设由条件知：组以及向量组生成的子空间相等，即再有命题1.1知反过来：假设，则由命题1.1知从而向量组与向量组等价，因而存在矩阵使得且.命题5.3： 设是上的两个线性变换，在*一组基下的矩阵分别为，如果存在矩阵使得且则；反过来也对.证明：由条件知假设，则，因此，这就是说,同理由条件知，从而再有命题1.1知.反过来，由条件和命题1.1知，即方程组与同解，而是同阶矩阵，由线性方程组的理论知解方程组，即是对矩阵作初等行变换，由于方程组与同解，即是对作一系列初等行

16、变换一定能够变为，由初等行变换与矩阵的乘积的关系知存在可逆矩阵使得,同理可证.例5.1设是上的线性变换，是的一组基，在此组基下的矩阵分别是;容易计算此时假定另有一个线性变换使得，在基下所对应的矩阵为由命题1.1知与同构，因而，从而，这就是说方程组与方程组同解，根据方程组的理论以及矩阵的初等行变换与矩阵乘积的关系知，存在初等矩阵使得：令则得：，同理可得6 线性变换的核与最小多项式的联系命题6.1 假设是线性变换的最小多项式，且有分解其中为不可约多项式，而当时则：是的不变子空间，且有直和分解：证明：令，则有条件知道互质，从而存在多项式使得：因此：因此对于任意的均有：即令,则从而，即这就是说可表示成

17、的和，再证明此和是直和；假设，由于互质，因此存在多项式使得从而：故：，注意到因此可得这就是说因此这就证明了2下面证明1任取，根据的意义知A因此，这就是说，因此是的不变子空间，至于，那是显然的。证完。7探讨特殊线性变换的值域与核的问题命题7.1：设为维线性空间上的两个线性变换，且； ，证明：(1)的充要条件是(2) 的充要条件是证明：首先根据前面的命题3.2知：且其次当时，则，这是假设，由于，从而存在向量使得,因此下面来证明11必要性：由于 因此对于中的任意向量有前面的结论可得：，其中，根据条件可得：，从而此时根据当时，则，可得当时，则，所以因此：，即对任意的有：，根据线性变换相等的定义就得到：

18、，同理可得：再证明充分性：由于以及，从而，同理可得：,故下面证明2必要性：对于中的任意向量可得：，其中，有条件：可得：从而：另一方面：以及就有：，从而对于任意的即对任意的有：根据线性变换相等的定义立即可得：同理可证明再证明充分性：假设则，所以,即，从而可得；但是，所以,同理可得以；故.参考文献：1王品超.高等代数新方法M.:中国矿业大学, 20032大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数M.第3版.:高等教育, 20033禾瑞,郝炳新.高等代数M.第5版.:高等教育,2007 大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数M.:高等教育, 2003.4峰,马巧灵,一类线性变换的核分解J.大学学报, 2003, 17(2): 136-137.5清.假设干矩阵乘积的秩的下界J.科学技术学院学报:自然科学版, 2003, 21(1): 9-11.6余世群.一类极大临界h连通网的构造J.民族学院学报:自然科学版, 2006, 24(2): 133-136.致首先感我的指导教师教师！本论文是在他的指导下修改完成的，非常感他在我的毕业设计中，给予我极大的帮助，使我