导数有关知识点总结、经典例题与解析、近年高考题带答案

1、WORD格式PAGE2 / NUMPAGES14导数及其应用【考纲说明】1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。【知识梳理】导数的概念导数的几何意义、物理意义常见函数的导数导导数的运算数函数的单调性导数的应用函数的极值函数的

2、最值一、导数的概念y函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量y=f（x0+x）f（x0），比值x叫做函yf(x0 x)f(x0)y数y=f（x）在x0到x0+x之间的平均变化率，即x有极限，我们=x。如果当x0时，xx。x就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f（x0）或y|0ylimxx即f（x0）=0f(x0 x)f(x0)limxx=0。说明：1yy（1）函数f（x）在点x0处可导，是指x0时，x有极限。如果x不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。（2）x是自变量x在x0处的改变量，x0时，而y是函数值

3、的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤：（1）求函数的增量y=f（x0+x）f（x0）；yf(x0 x)f(x0)（2）求平均变化率x=x；ylim（3）取极限，得导数f(0 x)=xx0。二、导数的几何意义函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0）处的切线的斜率是f（x0）。相应地，切线方程为yy0=f/（x0）（xx0）。三、几种常见函数的导数C0;nnxnx1;(sinx)cosx;(cosx)sinx;xxxx(e)e;(a)alna;ln

4、x1x;1logaxlogaex.四、两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，uv即：(uv).法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，uvuv即：().uv若C为常数,则0(CuCuCuCuCu.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：)(CuCu).法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：uuvuvv=2v（v0）。形如y=f(x)的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y|x=y|uu|x

5、五、导数应用1、单调区间：一般地，设函数yf(x)在某个区间可导，2如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数；如果在某区间内恒有f(x)0，则f(x)为常数；2、极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3、最值：一般地，在区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值。求函数?(x)在(a，b)内的极值；求函数?(x)在区间端点的值?(a)、?(b)；将函数?(x)的各极值与?(a)、?(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定积

6、分(1)概念：设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0 x1xi1xixnb把区间a，b等分成n个小区间，nf在每个小区间xi1，xi上取任一点i（i1，2，n）作和式Ini1(i)x（其中x为小区间长度），把nnbaf(x)dx，即baf(x)dxlimni1f即x0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作：(i)x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：0dxxC；mdx1m1xm1C（mQ，m1）；1xdxlnxC；xedxxeC；xadxxalnC；c

7、osxdxsinxC；sinxdxcosxC（表中C均为常数）。a(2)定积分的性质babkf(x)dxkf(x)adx（k为常数）；babbf(x)g(x)dxf(x)dxg(x)aadx；bacbf(x)dxf(x)dxf(x)dx（其中acb)。ac(3)定积分求曲边梯形面积3由三条直线xa，xb(ab)，x轴及一条曲线yf(x)(f(x)0)围成的曲边梯的面积bSf(x)dxa。如果图形由曲线y1f1(x)，y2f2(x)（不妨设f1(x)f2(x)0），及直线xa，xb（a0，且x1时，f(x)Inxx1kx，求k的取值X围。x1a(Inx)b1x,(x)=，且过点(1,1)，【解析

8、】(1)f由于直线x+2y-3=0的斜率为22(x1)x2f(x)=1b=1故即解得a=1，b=1。1a1,f(1)=b=2222lnx1lnxk1(k1)(x1)，所以()()(2ln)fxx。(2)由（1）知2x1xx1x1xx考虑函数h(x)2lnx2(k1)(x1)x(x0)，则h(x)2(k1)(x1)2x2x。(i)设k0，由h(x)22k(x1)(x1)2x知，当x1时，h(x)0。而h(1)0，故当x(0,1)时，h(x)0，可得112xh(x)0；当x（1，+）时，h（x）04从而当x0,且x1时，f（x）-（lnxx1+kx）0，即f（x）lnxx1+kx.（ii）设0k0

9、,故h（x）0,而h（1）=0，故当x（1，2+1）+2x0,故h（x）0,而h（1）=0，故当x（1，11k）时，h（x）0，可得112xh（x）0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）0，可得（x）0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）0，可得矛盾。综合得，k的取值X围为（-，0.112xh（x）0,与题设【例4】（2012XX）已知函数f(x)=f(1)）处的切线与x轴平行。（）求k的值；lnxxek（k为常数，e=2.71828是自然对数的底数），曲线y=f(x)在点（1，（）求f(x)的单调区间；（）设g(x)=(x2+x)f(x),其中f(x)为f(x)的导函数，

10、证明：对任意x0，2g(x)1e。【解析】由f(x)=lnxxek可得f(x)1xklnxxe1k，而f(1)0，即0e，解得k1；（）f(x)1x1lnxxe，令f(x)0可得x1，11当0 x1时，f1ln0；当x1时，1ln0(x)xf(x)x。xx于是f(x)在区间(0,1)内为增函数；在(1,)内为减函数。（）2g(x)(xx)1x1lnx221x(xxexex)lnx，2xxxex2当x1时，10,ln0,0,0 x，2g(x)01e.当0 x1时，要证11lnx2221()ln1xxxxxg(x)(xx)exxee2。只需证22x21x(xx)lnxe(1e)，然后构造函数即可证

11、明。【例5】（2012）已知函数f(x)a(x1)2x，其中a0.（）求函数f(x)的单调区间；（）若直线xy10是曲线yf(x)的切线，XX数a的值；（）设2gxxxxfx，求g(x)在区间1,e上的最大值.（其中e为自然对数的底数）()ln()5【解析】（）a(2x)f(x)x0(,0)(2,)f(x)0(0,2)f(x)0 x，（），在区间和上，；在区间上，.3所以，f(x)的单调递减区间是(,0)和(2,)，单调递增区间是(0,2).a(x1)0y02x0 xy0010（）设切点坐标为(x0,y0)，则a(2x)0 x031解得x01，a1.（）g(x)xlnxa(x1)，则g()xl

12、nx1a解g(x)0，得a1xe，所以，在区间a1(0,e)上，g(x)为递减函数，在区间a1(e,)上，g(x)为递增函数.当a1e1，即0a1时，在区间1,e上，g(x)为递增函数，所以g(x)最大值为g(e)eaae.当a1ee，即a2时，在区间1,e上，g(x)为递减函数，所以g(x)最大值为g(1)0.当a11e0;当x213，时，f(x)0,所以f(x)在x=12处取得极大值，在x=32处取得极小值。（2）若f(x)为R上的单调函数则f(x)恒大于等于零或f(x)恒小于等于零，因为a0所以=（-2a）2-4a0，解得0a1.【课堂练习】一、选择题1.（2011全国）曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）A13B12C23D12.（2010课标全