工程力学专题

1、河海大学不连续介质力学问题与界面应力元法 一 前言 二 不连续介质力学问题研究进展 三 界面应力元基本理论与方法 四 相关专题与工程应用 五 结语与展望主要内容：一、前 言 1 工程中普遍存在的自然现象 层面、片理、节理、软弱夹层、断层破碎带等软弱结构面,介质间断面、结构工程中的施工缝和预留缝隙、复合材料的层面等 2 学术界和工程界日益重视 3 二类问题 接触问题(有初始缝隙) 不连续变形结构面多且分布复杂 二、不连续介质力学问题研究进展1 二类模型 第一类是以有限单元法为基础，并引入能反映岩体结构不连续性特征的模型，以弥补有限元关于不连续性处理的不足，如结合单元法、Goodman和Zienk

2、iewicz等提出的节理单元法、Desai等提出的薄层单元法以及用于模拟多节理岩体的等效连续体模型和损伤模型等 。 结合单元法、节理单元法和薄层单元法都是在连续介质的有限元法框架内，引入特殊的界面单元或简单的力学元件以试图反映不连续性。 结合单元法与节理单元法是在两个连续体 单元之间设置法向与切向弹簧，一旦法向弹簧力为拉力则认为两个连续体之间发生脱离，若切向弹簧力超过其极限强度，则认为两个连续体之间发生相对滑移。 薄层单元法假定块体间界面是由特殊介质组成的厚度很薄的实体单元，这种单元的本构模型取决于周围介质的力学性态由试验直接获得，上述三种方法作为解决不连续变形问题的第一步突破，且便于实施，在

3、工程中得到了较为广泛的应用。 需要指出的是，这类方法是在连续模型的框架内强行引入不连续特性，往往会导致数值方程组一定程度的病态，而且界面上单元数目不能过多，否则界面接触状态会发生混乱而致使数值计算不稳定或发散。 在应用上则表现为难以精细模拟实际岩体中存在的大量走向各异的软弱结构面，一般是采用地质概化的手段加以处理，此外，模型中涉及到的法向和切向刚度系数Kn和Ks的确定也具有很大随意性，为此类模型或多或少蒙上了一些阴影。 用于模拟多节理岩体的等效连续体模型和损伤模型是从另一个角度建立的试图反映材料不连续性的连续介质模型，其关键在于如何建立反映不连续性的参数或变量的演化方程。 损伤模型的研究方法是

4、选择表征损伤(即不连续性)的合适的状态变量损伤变量，通过实验的途径或连续介质热力学的途径，确定含损伤变量的损伤材料本构方程和损伤演化方程，并对上述方程作出可能的简化，再与连续介质力学的其它场方程一起，形成连续损伤力学的初边值问题的微分提法或变分提法，以求解物体的应力应变场和损伤场。 但问题在于损伤变量是一种含义广泛的内部状态变量，它表征的是材料内部微结构(如位错密度、微裂纹、孔隙等)的不连续性,而难以描述宏观的结构面带来的不连续性，且在具体应用中仍然面临着如何确定有关参数的困难，损伤的扩展规律以及致损的原因也有待深入研究。 第一类模型还有近年来迅速发展的扩展有限元法。 模拟裂缝扩展的扩展有限元

5、法位移模式 附加非连续函数 附加自由度 能满足除不连续结构处位移不连续外其余均保持连续性附加非连续函数三角函数基指数型间断函数距离函数距离函数含裂纹尖端的单元处理分割成两类单元移动节点（编号不变）移动节点 控制方程区域离散化 其中：展开后为B矩阵 2维3维单元刚度矩阵组装节点荷载等效及组装组装 积分策略 三角形的数值积分按退化的四边形处理子域为五边形时应再分割成两个三角形算例算例 为了突破连续介质计算模型的框架，第二类模型近年来获得了快速发展，并已在固体力学、 岩土力学、散体运输、材料、矿冶等多学科中引起广泛关注，其中比较有代表性的方法有离散单元法、刚体弹簧元模型、无单元法、非连续变形分析模型

6、、数值流形元法、自然单元法以及近年来兴起的PD方法等。 2 离散单元法 由Cundall 提出用以模拟岩石边坡的渐进破坏。该方法以结构面切割而成的离散块体为基本单元，其几何形状取决于岩土结构中不连续面的空间位置及其产状，应用牛顿运动定律描述各块体的运动过程，块体可以发生有限移动与回转(体现了变形的不连续性)，进一步又考虑了岩块自身的变形，Maini与 Cundall于1978年开始研制的离散元通用分析软件UDEC可以模拟岩块破碎与爆炸的运动过程，近年来这一方法又与有限元法或边界元法耦合应用，有效地求解了远场岩体作为连续介质，近场为不连续介质的耦合问题，并逐步应用于各种离散体结构的分析和模拟中。

7、 离散元中一个基本假设是块体运动时动能将转化为热能而耗散掉，因此在计算中，即使是静力问题也必须人为地引入粘性阻尼器以使系统达到平衡，运动趋于稳态，反映在其求解方法上有动态松驰法和静态松驰法。为了保证迭代能进行下去，这二种解法的计算时间步长均需取得足够小，耗时较长，且块体之间阻尼系数的确定带有较大的随意性，另外，离散元对运动学的考虑尚不够充分。上述原因常使数值计算不收敛，难以保证获得各时刻的真实平衡状态。 国内的主要工作者：张楚汉、王咏嘉等 3 刚体弹簧元模型 最早由日本东京大学Kawai教授在1976年提出，该方法的基本思想在于以离散块体单元的形心位移为基本未知量，用分片的刚体位移模式逼近真实

8、的结构位移场，以单元之间的联接弹簧来反映结构内部的弹性变形，并用弹簧应力表征结构内部的应力，根据计算力学原理建立按位移求解的支配方程。由于该法位移模式为刚体位移模式，故也有刚体有限元法之称。 近年来，该模型的理论研究和工程应用有了进一步发展，Toi等将损伤力学的思想引入刚体弹簧元，分析了多结晶体及其它脆性材料的微观、细观断裂，Hikosaka采用刚体弹簧元模型研究了混凝土材料的细观断裂，我国钱令希、张雄等发展了适用于岩土介质弹塑性变形计算与极限荷载分析的刚体有限元数值方法，并将其应用于边坡稳定性评价中，殷有泉也进行了这方面的研究工作，高培正等开展了该模型的二维动力分析并应用于坑道头部防护工程中

9、，张建海等则在总结前人工作的基础上，结合自己的研究，出版了刚体弹簧元的学术专著。4 非连续变形分析模型(DDA) 是石根华博士继提出岩体稳定性分析的关键块理论之后于八十年代末期所发展起来的一种新型数值分析方法，其目的在于模拟复杂加卸载条件下离散块体系统的不连续大变形力学行为，它部分地吸收了离散单元法关于接触形式和形态的描述方法和刚体弹簧元模型中分片刚体位移场的构造方法等方面的精华，并加以发展。在该模型中，各块体之间满足平衡方程，但放松了协调性要求，块体接触面上采用合适的摩擦方式来消耗能量，可以发生脱离、开裂与滑移，但不容许相互嵌入，且不能承受拉力。 石根华博士基于他所提出的岩体关键块理论与数学

10、上的拓扑学从几何上建立了块体运动学理论，通过块体间的接触条件和运动学约束条件，将各个块体有机地联系起来，形成一个块体系统，用最小势能原理建立了单个块体的单元劲度矩阵及块体系统的总体劲度矩阵，形式上与有限元法相似。 美国加州大学伯克利分校与普渡大学对DDA模型在不同领域的应用与发展进行了较为广泛而深入的研究，表明DDA在结构、岩土的不连续大变形力学过程仿真模拟方面具有很大的潜力。 DDA模型自问世以来，许多学者作了改进和发展，归纳起来主要表现在四个方面： 首先，是将DDA线性块体位移函数拓展为二阶、三阶块体位移函数，石根华博士本人也提出可用级数作为块体位移函数； 其次，是提出了增广的Lagran

11、gian方法，以保证块体间的不可嵌入条件； 第三，是引入子块分析法和开裂机理，以更好地适应实际岩体的复杂几何布局，并允许完整的岩块分裂为较小的岩体，使得DDA可以模拟岩体或其它块状系统的裂缝发展和传播过程； 第四，是进行了DDA模型在大位移情况下的计算列式问题研究和误差分析工作。5 无单元方法 力学基础是变分原理（最小势能原理），数学基础为加权余量法和滑动最小二乘法。滑动最小二乘法可用一系列离散的构造出在全区域上光滑的、而不是局部光滑的总体近似函数。但直到20世纪90年代，滑动最小二乘法才由Nayroles（1992年，法国人）应用到边值问题的求解，Belytschko等（1994年）在Lan

12、caster 和 Nayroles等人工作的基础上进一步导出过去工作忽略掉了的插值函数的导数形式，并提出了基于滑动最小二乘法的无单元伽辽金法（ FEGM ）。 无单元Galerkin法在其后的短短几年中得到迅速发展，Belytschko（1999年）对近年来FEGM的最新发展作了综述。在国内清华大学冠晓东、周维垣，武汉岩土所庞作会、葛修润等学者对无单元Galerkin法进行了引入、发展和推广应用。 对于以EFGM为代表的无单元法，目前大多都集中于裂纹扩展模拟方面。但将无单元方法应用于岩体介质不连续数值计算仍存在许多问题，如非连续材料插值函数的构造方法问题、摩擦接触问题及多体相互作用问题等仍需作

13、进一步深入研究。 6 数值流形元法 石根华博士近年来在DDA的基础上进一步提出了一种更新的数值方法，称之为数值流形元法(Numerical Manifold Method)，该方法引入数学流形分析中的有限覆盖技术，试图统一表达连续和不连续变形，从而创造出一种把DDA与有限元协调在一个统一框架内的数值方法。与有限元整体位移函数只是各单元位移函数的简单迭加不同，流形元的整体位移函数可分为三个层次：整体位移函数物理覆盖流形元位移函数。 流形元中的网格就是数学覆盖，这些数学覆盖互相重叠，并且覆盖了整个计算区域，在每个数学覆盖上定义互相独立的位移近似函数。这些数学覆盖被区域边界、裂隙、节理和不同材料的分

14、界面所切割而形成物理覆盖，物理覆盖的重叠区域即形成单元，然后将这些覆盖上的位移函数结合起来形成计算域上的全域位移近似函数。在这样的系统中，物理覆盖代替单元的结点,覆盖的交线代替单元的边界，覆盖的交集代替单元，使得连续体、非连续体的整体平衡方程都可以用统一的形式来表达，有限元与DDA均成为流形元的特殊形式。 自然单元法(NEM)由J.Braun和M.Sambridge在1995年首次提出并用于求解偏微分方程。NEM的基础是所谓的自然邻点插值，它涉及到对给定点集的Delaunay三角剖分和它的对偶Voronoi图, 自然邻点插值被广泛应用于计算几何、图像处理和地理信息系统等领域。Sukumar等对

15、NEM的原理和方法做了深入的研究，将基于Sibson插值和Laplace插值的NEM应用于求解固体力学问题,并在Farin工作的基础上将C1连续的自然邻点插值函数应用于求解四阶椭圆型偏微分方程。 7 自然单元法 自然单元法是一种以点集的Voronoi图和Delaunay三角剖分为几何基础的数值计算方法，其形函数满足函数性质，所构造的近似函数在凸区域边界上具有线性插值性，因而可以方便地准确施加本质边界条件。自然单元法的形函数计算不涉及矩阵求逆，也没有权函数及相关参数的选择问题，可以方便实施，兼具无网格的特性和有限元的优点，是一种很有发展前途的数值方法。 已应用于弹塑性力学的断裂问题、裂纹扩展分析

16、、中厚板问题等。 传统数值方法均基于连续性假设，分析不连续问题（如裂纹）面临奇异性和复杂性。 PD基于非局部积分思想构建材料模型，自然描述不连续问题。函数f包含了一切本构信息 已有不同尺度静动破坏问题的成功应用问题：f的构建；混凝土PD模型；程序和算法；试验8 PD方法混凝土板的穿透破坏 混凝土块轴向受压破坏 三、界面应力元基本理论与方法1 基本思想 结构分析的界面元法采用的模型是基于单元累积变形于界面层的假定而建立的由有限多块体元界面元组合的离散体。鉴于单元的变形已累积于界面层，块体只有刚体位移，其最简便描述的算式是用块体元形心点的广义位移为参数的分片刚体位移模式，各个块体元形心点的位移分布

17、将可控制整个结构的位移场，也可以描述各个界面上的相对位移，即不连续位移(因为分片的刚体位移模式在界面上是非协调的)。 界面上任意一点相对位移可视为是垂直该界面、跨越相邻单元的一条具有特征长度、无限薄的微分板条累积变形的结果 ，由此便可由几何微分方程求出界面上任意一点的应变。继而借助有关材料介质的本构律和相邻单元在界面处微元保持平衡的关系，最终获得界面上任意一点的应力，由离散模型中众多界面上分布的应力便构成了整个结构应力场的表征值。 从上述分析的思路可知，各块体单元形心的广义位移是该模型计算的基本未知量，它们是块体形心的3个平移分量(u、v、w)和3个转动分量(x、y、z)，一旦求出了各块体形心

18、的广义位移，利用对应微分板条的几何微分关系便可获得各界面上任意一点的应变，继而根据微分板条相邻单元两种材料介质的本构律和界面的平衡关系，最终即可完成各界面任意一点应力的求解。 由此看来，求解各块体形心的广义位移是该模型的关键。从固体力学理论可知，欲使位移解答正确唯一，必须保证整个结构满足三大定律的偏微分方程组或等价的能量泛函表达式。鉴于该离散模型属于非协调元类，拟采用偏微分方程的弱解形式(加权残量法)或放松界面位移协调性的广义变分原理(或虚功原理)去建立求解各块体形心广义位移的整体结构支配方程，这样建立起来的界面元支配方程十分类似有限元支配方程的形式。 显然，界面元法的关键在于： （1）建立具

19、有足够多离散单元组成的离散模型的分片刚体位移场，使其逼近于真实位移场； （2）基于相邻单元的相对变形量和不同的材料特性（非均质、各向异性、线弹性、非线性和粘性等）导出精度较佳的界面应力公式； （3）建立放松界面位移连续性条件的广义变分原理或虚功原理，导出求解离散模型位移场的支配方程。Discrete element2.分片刚体位移模式 假定位移场用分片刚体位移模式表示，任一片（单元）的位移模式为：3. 界面应力公式 假定应力场用分片界面应力表征，界面上任意一点的应力可由横跨该界面点联接两相邻单元的微分条的变形、平衡和本构关系导出式中 4. 界面元的支配方程 若所求位移函数预先满足位移边界条件,

20、可根据加权残值法建立如下偏微分方程弱解形式的积分方程 若取 ，由内积公式知 。于是通过分部积分，上式成为：归并并注意到 及 ，有：对上式进行离散化，并取 为分片刚体位移模式，且满足 。再引入界面局部坐标方向余弦矩阵和界面应力列阵，并改用矩阵表示，得到 式中： 为离散单元之间的交界面。 将上式中的第一项移到右端，即得到界面应力元模型中的虚功原理表达式，其含义为外力虚功等于内力虚功（等于交界面上的面力在相应的虚位移上所做虚功的负值）。上式也可以从放松界面位移连续性条件的分区不完全广义变分原理得出。 并由 的任意性，得到： 引入5 界面元法的特点 （1）由于采用了分片刚体位移模式，故在块体单元的界面

21、上，位移可以是不连续的，能够较好地反映岩体滑移、开裂等变形特征，又由于它是非协调元，可在一定程度上消除位移协调元模型太刚的弊病，有望获得较高的位移精度。 （2）鉴于界面应力是依赖于联接相邻单元微分条的相对变形量（两相邻单元相应点对的位移差），故其应力精度高于位移精度，从而提高了应力状态判剧的可靠性，使其非线性解不致出现漂移。 （3）界面元的离散模型的整体作用集中于各个界面上的元件，因此主要的计算（如单元劲度矩阵等）依赖于每一个界面，而与分块单元的形态无关，这就给具有复杂分布结构面的岩体数模仿真的网络剖分带来了极大的方便。 （4）由于界面元法可以描述界面的连续、开裂和滑移，自然就很直观地追踪裂隙

22、岩体的开裂扩展过程，也很方便计入裂隙水的渗流作用，进行渗流场和应力场耦合作用的分析，而无须进行网格的重剖分。 （5）在界面上可以设置反映变形体弹性的分布式弹簧元件，也可以设置反映非线性的分布式塑性元件、开裂元件和滑移元件以及反映时间效应的粘性元件，因此用界面元法求解各类非线性问题和时效响应也是很方便的。 （6）界面元法对于结构面、开挖和加固过程的模拟具有特别的方便之处。例如结构面中有的没有厚度（裂隙），有的具有厚度（软弱夹层、断层等），这两类情况在网格剖分时均可用一样的界面表征它们的位置，只需辅以某种指示数描述它的厚度和材料参数即可；对于开挖面的动态模拟，只需在该处布置界面，科学地安排分块单元

23、编号，极易直接动态舍去被开挖的单元部分即可；对于加固锚件，只需将它视为界面元件便可直接反映其强化岩体的作用，若有预应力作用，也可方便地在荷载项中计入预应力施加后对岩体的预压作用。因此界面元法对于加固锚件的布局仿真可以百分之百实施。若要仔细分析加锚的作用和群锚的整体效应，采用界面元模型可以很好地模拟锚件、砂浆、岩体之间界面的相互作用，这就为探讨加锚机理提供一个很贴合实际的数值仿真模型。 非线性（含塑性和开裂）问题宜用增量理论进行分析，一是可以模拟加载的路径，另一是方便于用分段线性迭代格式进行非线性运算。倘若界面应力超过屈服点，便可选择实用的塑性准则进行修正（相当于界面上设置了塑性元件），只需将K

24、中的D改为弹塑性矩阵Dep即可，但由于Dp依赖于位移，因此如同有限元解弹塑性问题一样，必须进行迭代求解。倘若界面应力超过材料的抗拉极限，则界面将被拉开，应将原有界面应力释放（相当于界面上设置了开裂元件）。如果将界面作为接触边界看待，可将上述的塑性和开裂元件合并为接触元件看待，若采用低抗拉的莫尔一库仑准则进行判断和修正，则界面应力须满足：6 非线性问题处理 鉴于界面应力元中单元界面的劲度矩阵k只与界面有关，而与单元形状无关，只有单元的荷载列阵q才涉及到单元形状，故对任意多面体块体单元只要处理好q的计算，界面元对于离散单元的形状没有限制和要求。 7 具有任意多边形块体单元的界面元法 具体做法是：对

25、于离散为空间任意n面体的块体单元，可将其分为个m 四面体单元，其中每个四面体单元的体积和形心坐标是易求的，于是在计算中的体积分时，可将其转化为各四面体体积分的和，而在四面体域内进行积分时，被积函数可用体积坐标表示，如： 式中： 为定义的体积坐标，上式的计算可直接套用下列公式计算： 对于 中面积分的计算，可将 面体的各侧面分为 个三角形，对每个三角形进行积分时，引入面积坐标，将被积项用面积坐标表示后即可直接进行积分得到相应的结果。8 加锚岩体的数值模拟 在岩石边坡和地下洞室等工程中，经常要进行大范围的开挖，开挖卸荷引起的地应力释放可能会危及岩体的稳定性。为此，在开挖前后施加各类加固锚件(如普通锚

26、杆、预应力锚杆和预应力锚索)以改善岩体的工作条件，提高岩体的稳定性便成为岩体施工中增稳的主要措施之一。大量工程实践表明，加锚增稳的效果十分显著，尤其是预应力锚索加固效果快、可靠性高。但与加固锚件在工程中广泛应用不相称的是理论、实验和数值分析的研究尚嫌粗浅，有待作进一步深入研究。 综合工程应用的效果和加锚岩体性态的特征、加锚件的效应可以概括为以下三个方面。 1加锚的物理效应 加锚后的岩体介质在直观上的感觉是岩体的组织构造变得更密实些，裂隙或孔隙率在减小，其物理上的变化表现在材料参数的变化，如弹模E，抗压强度，内摩擦系数f和凝聚力c有可能提高，渗透系数k有可能变小等等，对于施加预应力锚杆或锚索的岩

27、体，这种变化将更为明显。 2加锚的力学效应 从工程角度看，加锚的作用是把稳定性较弱部位的岩体通过锚杆的约束和稳定性较好的岩体相连在一起工作，从而加强了岩体结构的整体作用。这在力学分析中可视为是锚杆的嵌入引起所在区域岩体应力的重分布，一方面是锚杆本身承担的支护力， 另一方面是岩体变形受到锚杆约束后增加了阻滑力(可能滑面上的法向压应力n增大而引起的)。此外，通过锚件约束，阻止了岩体相对位移的流变现象，在裂缝面上相当于施加了止裂力，对裂尖岩桥有增韧作用，提高了裂缝扩展阻力，这几方面都将使岩体的稳定性得到加强，在施加预应力加固锚件时尤为明显。 3加锚的结构效应 岩体材料本身就是多介质组合而成的“结构”

28、，可能夹有裂隙、断层等软弱结构面，这对该部位岩体的稳定性带来不利的影响。而加固锚件通常是穿过这些结构面的，对岩体沿该软弱结构面的滑移起了抗剪阻滑作用(锚件具有比岩体高得多的抗剪强度)。从结构的观点看，嵌入锚件的作用是改变了岩体结构的组成，强化了连接面的强度，达到了改善岩体结构、增强稳定性的目的，这种效果在群锚 岩体中体现得更为突出。有些文献提到所谓“销钉”作用、“悬吊”作用、“组合拱”作用或“组合板”作用等都是群锚嵌入在不同地质构造中、不同工程部位岩体中结构效应的某种表现。 由此可见，只有弄清加锚岩体材料的物性变化、应力场的重分布和加锚体结构组成的变异等才有可能真正揭示加锚作用的力学机理，其意

29、义不仅在于为岩体工程加锚设计提供指导、消除盲目性，还在于为加锚参数的优化找到了理论依据，为实现真正的合理、安全、经济和适用的加锚设计奠定可靠的基础。 加锚岩体材料的物性变化需要通过试验或物探测试入手开展研究，而且还需伴随进行理论和数值仿真的分析，这是因为加锚岩体本身既是一种“复合”材料体，又是一种结构体，各个工程、各个部 位的加锚体很少是类同的，个性极为突出。为此不仅需要做实验提供必需的参数，还需要提供具有一般指导意义和量化确定加锚体物性参数的仿真模型及方法。至于加锚岩体的力学效应和结构效应则主要依赖建立足够精度的数值仿真模型及方法去获得量化的估计。 目前，对于加锚岩体的数值模拟大多采用有限单

30、元法，以杆单元模拟加固锚件，反映其劲度贡献和对岩体的预压作用，但由于有限元是位移协调模型，故锚杆单元必须布置于块体单元的棱边上，杆单元的结点与块体单元的结点相一致，这样，加固锚件的长度、倾向、倾角受块体单元网格的制约，往往难以完全仿真各种锚件复杂的几何布局，一般是采用概化处理的方法以等效集中的形式计入锚件的作用，这势必会引起计算模型与实际加锚状态的差异。 面临上述背景，我们在所建立的不连续介质力学问题的界面元法基础上，进行了以下工作： （1）提出了加锚结构的界面元模型。该模型将加固锚件视为穿过块体单元界面的元件，加固锚件的位置、长度、数量和倾角、倾向等可以是任意的，能够完全仿真各种锚件的复杂几

31、何布局，而不受离散块体单元网格的限制。于是在进行加锚岩体的数值计算时，就不必象有限元法那样需对加固锚件进行概化处理，为复杂岩体大规模锚固后的数值分析提供了一种切实可行的方法。 （2）应用该模型对一典型问题进行了数值计算研究，旨在进一步揭示预应力单锚、群锚的作用效应以及对岩体受力和抗滑稳定性的影响，以期得到具有普遍性的认识，为岩体工程加锚设计提供指导性意见。 （3）针对上述模型未能考虑实际加固锚件与周围岩体可能发生滑移或剥落的情况，亦即未能计及锚索件砂浆岩体之间相互作用效应，不足以揭示预应力锚索作用的复杂机理，构造一种能反映锚索件砂浆岩体之间实际存在的相互作用的精化模型，对预应力锚索的作用机理进

32、行初步探索。8.1 加锚岩体的界面元模型 考虑某岩体结构，施加锚杆(或预应力锚索)，不失一般性，锚杆(索)的位置、长度、倾角可以任意，并穿过若干个块体单元。 将锚杆(索)离散化，视作由穿过各块体单元界面的分段锚杆(索)所组成，并取锚杆(索)沿长度方向的各块体单元的中点分别为Pi、Pj、Pm。 考虑穿过离散块体单元i、j界面的锚杆(索)段，记其在整体坐标系中的方向余弦矩阵为LB，由于块体单元i、 j的变形引起的Pi、Pj点沿锚杆(索)局部坐标方向的相对位移B则可表示为 该段锚杆(索)的内力FB可以表示为 DB为锚杆(索)的弹性矩阵，其具体形式可由锚杆(索)的受力和变形规律导出。于是根据虚功原理，

33、在内力虚功项中，对于穿过锚杆(索)的界面应包含锚杆(索)的“贡献”， 可以导出由于锚杆(索)的作用所增加的界面劲度 由预应力所引起的等效荷载列阵数值算例 图示悬臂梁在梁端受切向力P作用，采用82网格离散，为反映加锚效应，在穿过上排单元的形心处布置一根水平锚杆，所采用的计算参数为: 梁：E=2104MPa，=0.20，P=1MPa，h=2m，l=8m。 锚杆：Eg=2106MPa，=0.20，预应力P0=1MN，直径d=410-2m。 为了分析加锚效果，同时计算无锚和有锚悬臂梁的变形与应力。计算所得的悬臂梁轴线y向位移及x=4.0m截面正应力x的分布如图所示。图中实线为无锚悬臂梁的解析解，“点号

34、”为界面元法计算值；虚线为加锚悬臂梁采用加锚结构界面元模型的结果。 梁的轴线y向位移 x=4截面梁的正应力 从计算结果可以看出，当不施加锚杆时，界面元模型得到的位移和应力成果与理论解吻合很好，其位移误差约为2.6%，而应力误差仅为0.05%，当施加锚杆后，锚杆参与梁的受力，梁的轴线位移减小，正应力也相应减小，梁的承载能力有所提高，符合实际情况。8.2 基于界面元法的预应力锚索加固效应分析 为进一步探索加锚效应，本节应用上述加锚岩体的界面元模型对一典型问题进行了计算分析，旨在了解预应力单锚、群锚的作用效应和对岩体受力的影响。 所拟定的计算对象为一长方柱体(140m5m75m)，如图所示。其中在距

35、上表面15m处有一条厚度为0.1m的断层，拟定的加锚方案包括单锚、3根和5根预应力锚索，布置在模型竖向对称面上，锚索长度取为20m，预应力为1000KN。 有关材料的力学参数为: 岩体：E=2.0104MPa，=0.2，f=1.20，c=2.0MPa； 断层：E=0.6103MPa，=0.32，f=0.45，c=0.7510-2 MPa； 锚索：E=2.0106MPa；=0.167，直径d=1210-2m，抗剪强度R=700MPa。 计算中不计岩体自重，并在模型四周及底部布置法向链杆约束(对称界面)。 为了考察加锚后沿断层的稳定状况，进行如下的剪切试验，将断层作为可能滑动面，在y=-70m断层

36、上方的边界面上施加法向的均布面力p(=0.05MN/m2)，并分别用单根、3根和5根预应力锚索进行加固处理，这时在模型断层上方不加约束。 沿模型中心线岩体z分布图 单锚应力作用区范围图 3根锚应力作用区范围图 5根锚应力作用区范围图断层面上法向应力分布范围图 滑面安全系数与锚索根数的关系图 根据上述计算结果，可以将加锚对岩体应力和滑面安全度的影响归纳如下。 1.从图中所示曲线可以看出，沿模型中心线，在锚索长度范围内岩体竖向应力均为压，且锚索顶端处岩体的压应力值高于其它部位，群锚使端部和其它部位岩体压应力值有所增加，并增大了压应力作用区范围这表明群锚能提高锚索周围岩体压应力总值，有利于浅层岩体的

37、增韧止裂，提高岩体的稳定性。 2.图中所示结果还表明，在锚索下端岩体内部出现了拉应力区，但拉应力数值甚小，由此可知，只要锚索的内锚固段与岩体结合牢固，当预应力施加后，周围岩体一般不会发生破坏。 3.比较单锚与群锚应力作用区范围图可以看出，随着锚索根数的增加，其作用区范围逐渐增大，但范围最大限度为最外层锚索以外15m，超出此范围，预应力锚索的作用可以忽略不计。 4.从断层面上法向应力分布范围图可知，断层面上的压应力随锚索根数的增加而增大，其作用区范围也随之增大，有利于断层的稳定，但相对于距最外层锚索15m以外的断层面而言，锚索对其应力不会产生大的影响。 5.滑面安全系数与锚索根数的关系图表明，滑

38、面的安全系数与锚索数量基本呈线性关系，随着锚索的增加，安全系数线性增大，说明群锚的作用效果十分明显。并且从图中还可看出，考虑锚索本身的抗剪强度能大大提高断层的抗滑稳定。8.3 预应力锚索件砂浆岩体相互作用分析 应当指出，上述模型是在假定加固锚件与周围岩体完全粘结在一起的基础上建立的，未能考虑实际加固锚件与周围岩体可能发生滑移或剥落的情况，亦即未能计算锚件砂浆岩体之间相互作用效应，不足以揭示加锚作用的复杂机理。我们利用界面元法的特点，构造了一种能反映锚件砂浆岩体之间实际存在的相互作用的精化模型，对预应力锚索的作用机理作一初步探索。 1计算对象的选取和网格剖分 预应力锚索通过锚根段将预应力荷载传至

39、稳定岩体，在此过程中，主要靠砂浆与锚索表面的粘结力和摩擦力将预应力荷载传到砂浆，再通过砂浆与锚孔孔壁之间的粘结力和摩擦力传至岩体，预应力锚索的失效往往是因为锚根段砂浆体发生裂缝或砂浆体与锚索的粘结发生破坏而造成的，因此弄清锚根段的应力分布规律及其破坏过程，对于探索预应力锚索作用机理是富有意义的。 由于锚根段内锚索、砂浆、岩体材料迥异，它们的力学性质及其相互交界面的力学参数差别也较大，且几何布局复杂。利用界面元法的特点，则可以较好地进行介质的力学行为仿真和结构的几何仿真，其表现在，首先界面元能够提供精度较高的界面应力，可以反映各种交界面可能发生的滑移或脱开等不连续变形特征；其次，界面元模型中离散

40、块体单元可为任意形状，且在不同介质交界面上无需布置其它接触单元，这样，对于一根锚索原则上布置一个n多边形块体单元即可，避免了复杂的网格剖分。 研究中取锚根长度为3.3m，周围岩体按一般工程群锚的分布间距取为3m，这样在三维空间中，形成一个3.3m3m3m的计算区域。沿锚根轴向(x)单元网格保持不变，并划分为6段；锚孔外(yoz平面)，岩体布置3层块体单元，并在岩体周界以法向链杆约束(对称界面)，锚根底部也采用法向链杆约束。图为锚根横截面网格图。 所考虑的单元类型有：锚索单元、砂浆单元、岩体单元，另在砂浆与岩体的界面和锚索与砂浆的界面均需设置指示信息，每根锚索用正八边形近似模拟，锚孔孔壁等分为2

41、4段。 2荷载处理 鉴于研究重点是预应力锚索作用机理，故计算中不考虑介质的自重、岩体初始应力等其它荷载，仅计入预应力荷载。预张力通过锚索传至锚根，其反力经外锚头锚墩作用于外锚头岩体上，计算时均以面力形式施加在锚根段顶部锚索单元上和锚孔外部分岩体单元上。由于此处研究的预应力锚索共有6根直径15mm的锚索，故锚索单元的总面积为Ag=6/40.0152=1.0610-3m2；锚孔直径为12cm，假定外锚墩作用面积为11(m2)，则可由此求得岩体单元承压面积为 As=11-/40.122=0.989m2 这样便可根据分级施加的预张力大小，求得作用于锚索单元和岩体单元的面力集度。 为反映预应力荷载分级施

42、加效应，1000KN预应力荷载共分为六级，分别为50KN、100KN、300KN、500KN、800KN、1000KN。3材料参数 计算中所涉及到的介质及效界面的材料参数为 锚索：E=1.95105MPa，=0.167； 砂浆：E=2.0104MPa，=0.25； 岩体：E=1.5104MPa，=0.25； 由于缺乏砂浆与岩体界面，锚索与砂浆界面的粘结力和内摩擦角等抗剪强度指标，此处计算仅在弹性范围内进行。4 计算成果分析 下图分别为各级预张力荷载作用下岩体与砂浆界面以及锚索与砂浆界面纵向(锚根轴向)剪应力沿长度方向的分布图。从图中结果可归纳出以下几点认识。 锚索与砂浆界面纵向剪应力 岩体与砂

43、浆界面纵向剪应力 1、岩体与砂浆界面以及锚索与砂浆界面的剪应力主要集中于锚根上部，该部位的剪应力远大于锚根底部的剪应力值，因此锚根长度没有必要设置过长。 2、随着预应力荷载的增加，锚根上部介质交界面上剪应力的增长速度远大于锚根底部的增长速度，若出现塑性区，也是从上部逐步发展到下部的。 3、锚索与砂浆界面的剪应力一般高于岩体与砂浆界面的剪应力，且在锚根上部更甚。 应该指出，上述结果是针对所给出的典型问题而得到的，也没有计及界面滑移后应力的重分布效应，但其揭示的现象具有一般性。据此分析，预应力锚索的作用机理可以概括为： 在初始加荷时，岩体与砂浆、锚索与砂浆粘结紧密，共同变形，应力水平很低，且主要集

44、中在锚根上部；当预应力荷载增大至某一量级时，预应力荷载通过砂浆体向岩体中传递，锚根段不同介质交界面上的剪应力也由上向下传递，并逐渐递减；当预应力荷载继续增大至某一水平，如果岩体质量较好且灌浆质量能够保证，则会首先出现锚索与砂浆交界面的粘结破坏(该界面剪应力值高于其它类界面)，这种现象一般是发生在锚根上部，然后逐步向锚根下部扩展，直到破坏。 界面元法与传统有限元法相比，具有计算精度高、适用范围广等优点。但一般而言，对于空间问题，界面元模型的总自由度数一般要高于有限元模型，计算效率受到一定的影响，为此，兼取界面元、有限元和无限元各自的优点，组建混合的离散模型无疑具有重要的学术意义和应用价值。9 分

45、区界面元有限元混合模型引入过渡界面元，图示为界面元()网格和有限元（）网格的连接关系图，Sj0为两类网格的交界面，该界面沿局部坐标方向相对位移为左侧块体元累积在Sj0界面变形量与右侧有限元引起Sj0界面的位移之和。以Sj0上任一点为例，设其相对位移为 ，则有 式中，NISE和uISE分别是界面元模型中块体元的形函数和形心位移，而NFE和uFE是有限元形函数和结点位移。令Sj0的界面应力为Sj0界面上面力抵抗该界面上相对位移做功所积蓄的势能为相应的Sj0界面的劲度矩阵kj0为则混合模型的整体劲度矩阵和荷载列阵分别为 其中，Ce*、 Ce*和 Ce分别是界面元、过渡界面元和有限元单元的选择矩阵，

46、和 分别是界面元模型中块体元形心的等效荷载和有限元单元结点的等效荷载。 由KU=R求出U后，进而通过上述选择矩阵转换为界面元离散块体的形心位移和有限元的结点位移，最后分别应用界面元、过渡界面元和有限元的应力公式求出各界面元、过渡界面元和有限单元的应力。 在上述模型的基础上，我们还引入无限元以反映无限域介质的影响，构建了界面元有限元无限元混合模型，不仅提高了计算效率，而且还避免了在动力问题分析中截断边界造成的误差。例1 图示悬臂梁，梁端受集中力P作用，弹性模量E=2.0104MPa，泊松比=0.20，分别采用8结点六面体有限元、界面元和有限元-界面元混合模型（B点所在截面为过渡界面元，左边10列

47、为有限元，右边10列为界面元）进行离散，表1为图中A、B二点水平向正应力和C点竖向位移相应的计算结果以及它们与理论解的比较。算例分析表1 悬臂梁计算结果 从计算结果可以看出，在本例中，界面元的精度高于有限元，过渡元的应力精度稍低于界面元，而高于有限元。10 分区界面元有限元无限元混合模型 无限元的基本原理是在单元分析中引入等参变换和位移衰减函数，进而构造坐标变换的形函数和位移插值的形函数，使无限单元在无限远处的位移满足为零，类似有限元计算单元劲度的过程获得该无限元的单元劲度，再集合到整体劲度矩阵中，便可求出反映无限体影响的解答。 无限元劲度矩阵为 对积分变量进行变换 整体劲度矩阵 例： 图示一

48、楔形体，左面铅直，右面与铅直面成角，受重力和左面齐顶液体压力作用，楔形体密度为=24KN/m3,=10KN/m3，采用界面元-有限元-无限元混合模型进行离散。沿y向进行等分，其中，y0,6采用具有任意形状块体单元的界面元，y=6所在截面采用过渡元，y6,8采用有限元，y8,采用无限元。表2和表3分别给出y=4m、y=8m截面上若干点的正应力以及与理论解的比较结果。表2 y=4m截面上正应力(MPa) x=0.25m x=0.75m x=1.25m x=1.75m 本文解 0.0359 -0.0196 -0.0767 -0.133 理论解 0.036 -0.020 -0.076 -0.132 表

49、3 y=8m截面上正应力(MPa) x=0.50m x=1.50m x=2.50m x=3.50m 本文解 0.0701 -0.0382 -0.1584 -0.270 理论解 0.072 -0.040 -0.152 -0.264 从上述计算结果可以看出，y=4m截面上正应力的精度要高于y=8m截面上正应力的精度，这也是因为有限元的应力精度低于界面元之缘故。 四、相关专题与工程应用 在岩石边坡和地下洞室等工程中，经常要进行大范围的开挖，开挖卸荷引起的地应力释放可能会危及岩体的稳定性。为此，开挖前后往往要施加各类加固锚件(如普通锚杆、预应力锚杆和预应力锚索)以改善岩体的工作条件，提高岩体的稳定性。

50、其中，预应力锚索因其加固效果快，可靠性高，在岩石工程中得到了广泛应用。 预应力锚索一般由内锚头、锚索件和外锚头三部分组成。其中内锚头又称锚根，是锚索锚固在岩体内提供预应力的根基。锚索件是联结内、外锚头的构件，通过对锚索件的张拉来提供预应力。外锚头是锚索在1.基于界面元法的新型预应力锚索受力分析孔口外露的一端，是锚索借以提供张拉吨位和锁定的部位。在工程实践中，传统压力集中型锚索普遍存在着锚索中水泥砂浆芯柱易被压坏而导致锚索失稳的现象。为此提出了两种新型预应力锚索（梁），用高强材料部分地替代水泥砂浆芯柱，取得了较好的工程应用效果。 为了深入研究新型预应力锚索的作用机理，并考虑到预应力锚索涉及到锚索

51、件、砂浆、岩土体等多种介质，这些不同介质的交界面往往存在着滑移或开裂等变形不连续现象。我们利用所建立的不连续介质力学界面元法的特点，构造了精细模型，并考虑岩土体和水泥浆芯柱的弹塑性及开裂效应等非线性力学行为，对这两种新型预应力锚索的作用机理进行了初步探索。Type 1其特点是在钢质承载板下焊接一段厚壁无缝钢管，用高强材料部分地替代水泥砂浆芯柱，以克服传统压力集中型锚索的水泥芯柱被压坏的缺陷，并已应用于边坡工程。改进压力集中型锚索 主要材料参数1.水泥芯柱的正应力总是小于钢管正应力，说 明加上钢管对水泥芯柱有一定的保护作用。2.外部岩土体的性质对锚索内部各材料的受力特征有较大影响。外部岩体强度越

52、小，水泥芯柱和钢管的应力越大,说明对强度较小的岩土体预应力锚索的支护效果更明显。主要结论3.水泥芯柱的正应力主要集中于锚根处，水泥芯柱与外部岩体的界面剪应力一般集中在锚根和锚头附近，这些部位也是容易产生压毁和剪切破坏的区域。4.预应力锚索通过锚根段将预应力荷载传至稳定岩体，在此过程中，主要靠砂浆与锚索表面的粘结力和摩擦力将预应力荷载传到砂浆，再通过砂浆与锚孔孔壁之间的粘结力和摩擦力传至岩体，预应力锚索的失效往往是因为锚根段砂浆体发生裂缝或砂浆体与锚索的粘结发生破坏而造成的。研究结果表明，改进的压力集中型锚索通过在钢质承载板下焊接一段厚壁无缝钢管，可以对水泥芯柱有较好的保护作用，在一定程度上能够

53、克服传统压力集中型锚索的水泥芯柱被压坏的缺陷。Type 2预应力锚梁 预应力锚梁采用钢梁代替水泥砂浆芯柱，可以有效克服现有压力集中型锚索水泥芯柱易被压坏的缺陷，并在工程应用中获得很大成功， 1. 水泥砂浆芯柱所承受的正应力总是小于钢梁所受正应力，说明加上钢梁对水泥砂浆芯柱有一定的保护作用，可避免压力集中型锚索钻孔中水泥砂浆易被压坏导致锚索失稳的情况。2. 外部岩体强度越小，水泥芯柱和钢梁的正应力越大,说明对强度较小的岩土体预应力锚索的支护效果更明显。3. 钢梁正应力随外部岩体强度的减小而增大，在锚根附近值最大，但在三种介质及四级荷载作用下均满足钢梁抗压强度，不会发生破坏。4. 水泥芯柱与钢梁接

54、确面剪应力在外部介质为硬岩情况下在锚根附近值较大，在锚头附近值较小；在外部介质为软岩情况下在锚头附近值较大，在锚根附近值为次大；在外部介质为软土情况下在锚头附近值较大，在锚根附近值很小，但三种介质情况下的值均小于水泥砂浆抗剪强度，不会发生剪切破坏。主要结论5.水泥芯柱的轴向正应力在三种介质下都主要集中于锚根处。在外部介质为硬岩情况下水泥芯柱所受正应力小于其抗压强度；在外部介质为软岩情况下第三级加载时锚根处的轴向正应力大于20MPa，已经超过了材料的抗压强度，水泥芯柱易被压坏，需引起一定的注意；在外部介质为软土情况下水泥芯柱的轴向正应力分布规律发生了变化，第二级加载后在锚根处正应力大于20MPa

55、，已经超过了材料的抗压强度，水泥芯柱易被压坏，同时，施加第三级荷载后自锚根处起较长的范围内水泥芯柱所受正应力均超过其抗压强度，同样需引起注意。6.水泥芯柱与外部岩土体的界面剪应力在外部介质为硬岩情况下主要集中在锚根附近，且值较大，超过了界面强度值，会发生剪切破坏，到锚头附近时剪应力变得很小，小于界面抗剪强度值；在外部介质为软岩情况下也集中在锚根附近，锚头附近时是次大点，该两处的值均超过界面抗剪强度；而在软土情况下，水泥芯柱与外部软土体的界面剪应力在锚根处值满足抗剪强度，而在锚头处的值超过抗剪强度。7.水泥芯柱与外部岩土体的界面剪应力各点的值基本相同，说明锚索体周围的应力分布较为均匀，在同一截面

56、不会发生某一处的突然破坏。混凝土力学性能的研究高性能混凝土的研发提高混凝土性能的途径1、优化配合比和骨料级配2、掺入夹杂相，如碳纤维等3、改善施工工艺，如碾压混凝土混凝土试样的抛光断面混凝土是应用最广泛的工程材料,对混凝土性能要求越来越高2.混凝土材料细观破坏的界面元模拟实际上: 混凝土是由粗骨料、细骨料、水泥水化物、未水化水泥颗粒、孔隙及裂纹等组成的非均质复合材料。其宏观性能由各相材料性能、界面及其细观结构所决定。混凝土宏观力学特性混凝土的细观结构剪胀、压硬、拉压异性、非均匀强化和非均匀软化内在联系骨料、砂浆、界面、孔洞及微裂纹等 目前混凝土类复合材料力学性能的研究大多建立在试验的基础上，需

57、花费大量的人力、物力，并且由于试验条件、方法、环境和材料本身的限制，有些试验很难进行，或者离散性很大，难以反映实际混凝土的真实力学性能。 研究方法: 宏观力学1. 细观力学方法2. 建立宏细观之间的联系 所谓“数值混凝土”就是要通过数值方法建立一种假想的混凝土，这种混凝土能反映其细观结构，例如混凝土中骨料的分布、大小、形状的变化以及材料参数的分布情况等。利用计算机对“数值混凝土”进行试验，可以突破试验条件和时间的限制，节省人力和物力，因此这方面的研究将有很大的意义。 鉴于界面元离散模型中的块体元可以为任意形状，块体元交界面的界面又能描述滑移或开裂现象，将其应用于混凝土多相材料的细观力学行为分析

58、及其对宏观性能的影响是很合适的。骨料的随机生成网格剖分 细观数值试验 将混凝土看作是由粗骨料、硬化水泥砂浆及两者之间的粘结带组成的非均匀三相复合材料。根据混凝土级配，随机生成复合结构，再自动剖分成界面元网格，并把给定的骨料和砂浆的力学特性分配给相应的单元，从而进行混凝土力学行为的计算机模拟。 骨料随机生成混凝土骨料级配理论 骨料颗粒数计算投放原则及有效性判别 85以上通过5mm筛孔的骨料称为细骨料，85以上遗留在5mm筛孔上的骨料称为粗骨料。粗骨料按按粒径分为小石(520mm)、中石(2040mm)、大石(4080mm)、特大石(80150mm)，依次称为一、二、三、四级配。当混凝土配比中包含

59、这四种级配时，称为全级配混凝土。 Fuller等美国学者经过大量试验工作，依靠筛分试验结果，提出最大密度的理想级配曲线。其理论依据是将混凝土材料的固体颗粒，按粒度大小，有规则地组合排列，粗细搭配，成为密度最大，空隙最小的混合物。 混凝土骨料级配理论 骨料分为细骨料和粗骨料，骨料的大小可用颗粒分配曲线(简称积分曲线)表示，颗粒分配曲线是颗粒平均尺寸的函数，它限定了尺寸不得大于某一给定颗粒的百分数。 为简化起见，对于卵石和砾石等球状或浑圆的骨料，可假定骨料颗粒为球形，借助Fuller曲线确定骨料的三维级配曲线，由该级配浇筑的混凝土可产生优化的结构密度和强度。 Walraven J.C基于Fulle

60、r公式将三维级配曲线转化为试件内截平面上任意点具有骨料直径的概率为式中 为筛孔直径， 为最大骨料粒径， 为骨料体积占试件总体积的百分比，一般取 。 因此可根据不同的 值，由上式可求得概率分布曲线 ，据此可求得在试件内截平面上各种骨料粒径的颗粒数，直径小于一定值的细骨料计入水泥砂浆中。按照各骨料不重合条件，随机生成各粗骨料颗粒的形心坐标，由各骨料粒径确定相应骨料范围，由此形成混凝土试件。骨料颗粒数计算1.根据Fuller级配关系，求出通过筛孔 的骨料质量百分比 2.根据试件的级配，由 求出各粒径的骨料质量百分比 3.根据试件的骨料用量、试件体积求出骨料重量，进而由骨料 密度求出骨料体积4.对某种