基本不等式(经典)[通用]

1、3.4基本不等式:普宁侨中 郑庆宏 2002年国际数学大会（ICM-2002）在北京召开，此届大会纪念封上的会标图案，其中央正是经过艺术处理的“弦图”。 它标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎来自世界各地的数学家。 一、问题引入情景设置新课探究新课探究一般地，对于任意实数 ，我们有 当且仅当 时等号成立思考：如何证明？证明：当且仅当 时， 此时平方当且仅当a=b时，取“=”号能否用不等式的性质进行证明？小组合作：在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，设 AC = a , BC = b 。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。基本不等式的几何意义是：“半径不小于半弦

2、。” EP98探究2.代数意义：几何平均数小于等于算术平均数2.代数证明:3.几何意义：半弦长小于等于半径（当且仅当a=b时，等号成立）二、新课讲解算术平均数几何平均数3.几何证明:从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项1.思考:如果当 用 去替换 中的 ,能得到什么结论? 基本不等式探究3基本不等式：当且仅当a =b时，等号成立.当且仅当a=b时，等号成立.重要不等式：注意：（1）不同点：两个不等式的适用范围不同。（2）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。1.重要不等式2.基本不等式（均值定理）注意：基本不等式成立的要素：（1）：看是否均为正数（2）：看不等号的方向（3）：看

3、等号是否能取到简言之：一正二定三相等基本不等式当且仅当时等号成立当且仅当时等号成立结论1：两个正数积为定值，则和有最小值结论2：两个正数和为定值，则积有最大值已知x1,求 x 的最小值以及取得最小值时x的值。 解：x1 x10 x （x1） 1 2 13当且仅当x1 时取“”号.于是x2或者x0（舍去）答：最小值是3，取得最小值时x的值为2例1:构造积为定值通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式.例题讲解例2（1）用篱笆围一个面积为100 的矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？ （2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，菜园面

4、积最大？最大面积是多少？解法一： (2)设矩形菜园的宽为xm，则长为(36-2x)m，其中 0 x18 ,解法二： 其面积为:当且仅当2x=36-2x，即x=9时菜园面积最大，即菜园长18m，宽为9 m时菜园面积最大为162 m2.解： 【例3】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 设水池底面一边的长度为xm， 则水池的宽为 ,水池的总造价为y元，根据题意，得 因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元牛刀小试结论1：两个正数积为定值，则和有最小值例3 已知x0,y0,且x+y=1 求 的最小值 例题讲解(1)基本不等式取等号的条件(2) “1”的代换在不等式中的应用正确？错赵老师花10万元购买了一辆家用汽车,如果每年使用的保险费,养路费,汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万.则这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?