概率论参数估计

1、参 数 估 计问题的提出问题的提出: :点估计点估计区间估计区间估计参数估计参数估计总体总体X X的分布形式已知，未知的只是分布中的参数，要估计的的分布形式已知，未知的只是分布中的参数，要估计的只是参数或参数的某一函数。只是参数或参数的某一函数。总体总体X X的估计有两类：的估计有两类：一、参数估计一、参数估计二、非参数估计二、非参数估计总体总体X X的分布形式未知，要估计的是总体的分布形式。的分布形式未知，要估计的是总体的分布形式。从总体从总体 X 中抽取样本中抽取样本( (X1, X2, , X n ) ) 构造构造合适的合适的统计量统计量 =T( (X1, X2, , X n ) ) 将

2、样本观察值将样本观察值( (x1, x2, , x n ) )代入估计量代入估计量 计算出估计量的观察值计算出估计量的观察值 =T( (x1, x2, , x n ) ) 或构造或构造 1 = T1( (X1, X2, , X n ) ) 和和 2 =T2( (X1, X2, , X n ) ) ( 1 2)用区间用区间( ( 1, , 2 ) )作为作为 可能取值范围的估计可能取值范围的估计 设总体设总体X的分布函数为的分布函数为F(x, ), 未知，未知， 的取值的取值 范围称为范围称为 参参数空间数空间 。记作记作 。现估计。现估计 。步骤如下：步骤如下： 构造点估计的估计量的具体方法有

3、多种，在此，介绍两种方法。构造点估计的估计量的具体方法有多种，在此，介绍两种方法。一、矩估计法 矩估计法的思想是：矩估计法的思想是：用样本的各阶矩去估计总体相应的各阶矩用样本的各阶矩去估计总体相应的各阶矩，而总体各阶矩都是总体分布中未知参数的函数，从而，通过估计而总体各阶矩都是总体分布中未知参数的函数，从而，通过估计总体矩来达到估计总体分布中未知参数的目的。总体矩来达到估计总体分布中未知参数的目的。 设总体分布为设总体分布为F(x, 1, 2 , k), i未知，未知，样本样本(X1, X2, , X n )来自总体来自总体 X，计算计算mEX nimimXnA11 令令XEX 22AEX k

4、kAEX 解未知量解未知量 1, 2 , k 称为参数称为参数 1, 2 , k的矩估计量。的矩估计量。 5.1 5.1 参数的点估计参数的点估计 2 22A X 例例2：设样本设样本(X1, X2, , X n )来自总体来自总体 XN( , 2)， 求求 与与 2 的的矩估计量。矩估计量。 解：解：XX niin11 2222222BXXXXXA )(1111niiniinn 例例1：设样本设样本(X1, X2, , X n )来自总体来自总体 X，且且总体的均值总体的均值 未知，未知， 求求 的的矩估计量。矩估计量。 解：解：XX niin11 2222 )EX(DXEXEX niinX

5、,EX11X 2 A X2EXEX 总体总体 X 的均值的均值 矩估计量矩估计量为一阶样本原点矩为一阶样本原点矩XEX 令令 例例3：设样本设样本(X1, X2, , X n )来自总体来自总体 XP( )， 求求 的的矩估计量。矩估计量。 解：解：XX niin11 另一方面：另一方面：EX2 = DX + (EX)2 = + 2 ，所以：所以： 2212122211BXXXXXA )(nininn 此例说明此例说明：矩估计可以不唯一。矩估计可以不唯一。此时，一般取低阶矩得到的那一个。此时，一般取低阶矩得到的那一个。 nin121X2 一阶样本原点矩作为一阶样本原点矩作为 的的矩估计量矩估计

6、量XEX 令令 niinX,EX11X ninEX1221X 例例4：设样本设样本(X1, X2, , X n )来自总体来自总体 X，X服从服从 1, , 2 上的上的均匀分布，均匀分布，求求 1和和 2 的的矩估计量。矩估计量。 另见书例另见书例5.10、5.1121221)(121 ),(21 DXEX因因 由由 2 22121221)(21)(121 )(21AX 解得解得 1222 - 3A 3AXX 2 A X2EXEX EX2 = DX + (EX)2 解：解：这是两个参数这是两个参数的的矩估计问题。矩估计问题。 思想：思想：进行一次具体的抽样之后，进行一次具体的抽样之后， (X

7、1, X2, , X n ) 得到一组观察值得到一组观察值 (x1, x2, , x n )。 设总体分布设总体分布(以离散型为例以离散型为例)为为P(X=x)=F(x, 1, 2 , k), （ 1, 2 , k )未知，未知，样本样本(X1, X2, , X n )来自总体来自总体 X，则则样本样本(X1, X2, , X n )的概率分布函数为：的概率分布函数为： nikiniiikn),x(F)xX(P),x,x,x(L12112121 nikikn),x(F),x,x,x(L1212121 为为（ 1, 2 , k )的函数。因为的函数。因为(x1, x2, , x n )在一次观察

8、在一次观察中就出现了，应出现在概率最大的地方。即求函数中就出现了，应出现在概率最大的地方。即求函数 nikik),x(F),(L12121 取得最大值的最大值点，以此作为取得最大值的最大值点，以此作为（ 1, 2 , k )的估计。的估计。二、极大似然估计二、极大似然估计发发生生的的概概率率为为：事事件件,11nnxx XX使使得得：的的估估计计值值，即即取取，作作为为达达到到最最大大的的参参数数挑挑选选使使概概率率固固定定 );,(,11 nnxxxxL);,(max);,(11 nnxxxxLL 。极极大大似似然然估估计计值值。极极大大似似然然法法。极极大大似似然然估估计计量量的的方方法法

9、称称为为这这种种求求未未知知参参数数 );,(,11nnxxxx 有关，记为有关，记为与与的的称称其其为为参参数数 的的称称为为参参数数 ),(1nXX 极大似然估计基本思想：极大似然估计基本思想： 找出使样本观察值出现的概率为最大的参数值，将它作为未知参找出使样本观察值出现的概率为最大的参数值，将它作为未知参数的估计值。数的估计值。1、极大似然估计（离散型总体）属属离离散散型型，其其分分布布列列为为若若总总体体 X ),),;x( pxkk2121( XP。空空间间为为待待估估参参数数，属属于于参参数数的的形形式式为为已已知知， 211的极大似然估计量。的极大似然估计量。求求来自总体来自总体

10、),(,kn , , 的样本 )是( 设XXX ),(k 21L建建立立似似然然函函数数)(1 niki),;x(p121 ; ),x(Plnln)(niki 1212 L取对数：取对数：;ln)(031 L令令;ln02 L;lnk0 L的的极极大大似似然然估估计计值值。解解方方程程组组求求得得k,)( 14未未知知参参数数的的样样本本，是是来来自自设设)p(p),();p,n(m101 XXXBX试求参数试求参数p的极大似然估计量的极大似然估计量 ：解解xnxxn)p(pCx 1XP故似然函数为故似然函数为 mixnxxniii)p(pC)p(11L)(lnpL而而例例1：,)p(p)C(

11、miimiiixnmxmixn 1111).pln()xnm(pln)x()Cln(miimiimixni 1111的的分分布布律律为为：X, 0)(ln pdpdL令令.pxnmpxmiimii01 11 即即的的极极大大似似然然估估计计值值解解得得pnxxnmp mii 11 的的极极大大似似然然估估计计量量为为pnXXnmp mii 11 的的极极大大似似然然估估计计。求求参参数数的的样样本本，是是来来自自设设 XXXPX),();(n1：解解 e!xxxXP故似然函数为故似然函数为 e!x)(niixi1L)(ln L而而例例2： niixnniie )!x(111 ln)x(n)!x

12、ln(niinii 111的的分分布布律律为为：X,)(lndd0 L令令.nxnii0 1 即即的的极极大大似似然然估估计计值值解解得得 xxnnii 11 的的极极大大似似然然估估计计量量为为 XXnp nii 11 为为待待估估参参数数。的的形形式式已已知知，属属连连续续型型，其其概概率率密密度度若若总总体体),(),(),;x(fkkk 212121 X2、极大似然估计（连续型总体） 211的极大似然估计量。的极大似然估计量。求求来自总体来自总体),(,kn , , 的样本 )是( 设XXX建建立立似似然然函函数数)(1 ),(k 21L niki),;x(f121 ; ),x(fln

13、ln)(niki 1212 L取对数：取对数：;ln)(031 L令令;ln02 L;lnk0 L的的极极大大似似然然估估计计值值。解解方方程程组组求求得得k,)( 14的的样样本本，是是来来自自为为未未知知参参数数，；设设XNX)X,X,X(,),(n2122 ：解解222 221 )x(e),;x(f 似然函数为：似然函数为： ni)x(ie),(12 22221 L例例3：Lln)ln(22 n niix122)(21 )2ln(2 n 2122)(2 2)2( niixne的的概概率率密密度度为为：X的的极极大大似似然然估估计计量量。求求2, 0ln0ln2 LL令令 即即： 0)(1

14、 12 niix0)(212-2142 niixn, 11xxnnii 解得：解得： niixxn122)(1 212211 1B)(nnniinii XXXX :似似然然函函数数为为 niixne12221 2 22 的的一一个个样样本本值值，是是来来自自为为未未知知参参数数，已已知知，；设设XNXnxx,),(122 的的极极大大似似然然估估计计量量。求求2 ：解解 nixie12)( 22221),( LLln)ln(22 n niix122)(21 )2ln(2 n 222 221);( ）（ xexf的的概概率率密密度度为为：X例例4： niixndd12422212ln L，令：令

15、：0ln2 ddL 02121242 niixn 得得似似然然方方程程 niixn1221 解此方程，得解此方程，得 niiXn12221 的的极极大大似似然然估估计计量量为为因因此此似似然然函函数数为为的的密密度度函函数数为为设设总总体体 X解：解： ,11 niinxL niixnL1ln1lnln 其它。其它。, 0, 10,1xxxf 例例5： 021的的极极大大似似然然估估计计。抽抽取取的的一一个个样样本本。试试求求是是从从该该总总体体，未未知知，其其中中 ).,(nXXX ，令：令：0ln dLd得得似似然然方方程程为为, 0ln1 niixn 解得解得,ln1 niixn 的的极

16、极大大似似然然估估计计量量为为因因此此 .ln1 niiXn 似似然然函函数数为为的的密密度度函函数数为为设设总总体体 X解：解： niixneL1 niixlnnLln1 其它。其它。,x,exfx00 例例6： 021的的极极大大似似然然估估计计。抽抽取取的的一一个个样样本本。试试求求是是从从该该总总体体，未未知知，其其中中 ).,(nXXX ，令：令：0 dLlnd得得似似然然方方程程为为01 niixn 解得解得xxnnii11 的的极极大大似似然然估估计计量量为为因因此此 XXnnii11 极大似然法求估计量的步骤：极大似然法求估计量的步骤：( (一般情况下一般情况下) ):)()1

17、 L构造似然函数构造似然函数,(),x()(nii 1离散型）离散型） PL nii;(),x(f)(1连连续续型型） L);(ln)2 L取对数：取对数：; 0ln)3 ddL令令。的的极极大大似似然然估估计计量量解解似似然然方方程程得得 )4说明：说明：若似然方程（组）无解，或似然函数不可导，若似然方程（组）无解，或似然函数不可导， 此法失效，改用其它方法。此法失效，改用其它方法。能能地地使使用用极极大大似似然然估估计计应应用用中中，我我们们应应当当尽尽可可计计优优于于矩矩估估计计，因因而而在在一一般般来来讲讲，极极大大似似然然估估似似然然函函数数为为上上的的均均匀匀分分布布，服服从从设设

18、总总体体21 X解：解： n)(,L12211 例例7： , 212121的的极极大大似似然然估估计计。抽抽取取的的一一个个样样本本。试试求求是是从从该该总总体体未未知知，其其中中 ).,(,nXXX因因此此极极大大似似然然估估计计量量为为 12 lnnLln01 dLlnd令：令：02 dLlnd012 )(n 012 )(n 方程组无解方程组无解 1x2xixnx1 2 211 x221 x21 nx)x,x,xmin(n211 )x,x,xmax(n212 )X,X,Xmin(n211 )X,X,Xmax(n212 5.2 点估计的优良性准则点估计的优良性准则 我们知道，一个未知参数的估

19、计量可能不止我们知道，一个未知参数的估计量可能不止一个。究竟采用哪个为好呢？这就涉及到用什么一个。究竟采用哪个为好呢？这就涉及到用什么标准来评价估计量的问题。我们介绍三个常用的标准来评价估计量的问题。我们介绍三个常用的标准：标准： 1）无偏性；）无偏性； 2）有效性；）有效性； 3）一致性。）一致性。一、无偏性一、无偏性 根据样本推得的估计值与真值可能不同，根据样本推得的估计值与真值可能不同， 然而，如果有一系列然而，如果有一系列抽样构成各个估计，很合理地会要求这些估计的期望值与未知参数抽样构成各个估计，很合理地会要求这些估计的期望值与未知参数的真值相等，它的直观意义是样本估计量的数值在参数的

20、真值周围的真值相等，它的直观意义是样本估计量的数值在参数的真值周围摆动，而无误差，这就是估计量的无偏性。摆动，而无误差，这就是估计量的无偏性。 定义定义5.2：如果对一切如果对一切 ，有，有 E简简称称无无偏偏估估计计。的的无无偏偏估估计计量量为为参参数数则则称称成成立立， 例例：设总体：设总体X 有期望有期望 EX= ，样本样本(X1, X2, , X n)来自来自 X， 试证样本均值试证样本均值 X 是是 的无偏估计。的无偏估计。 这个结论与总体的分布类型没有关系。只要总体期望这个结论与总体的分布类型没有关系。只要总体期望存在存在， 样样本均值总是它本均值总是它的无偏估计。的无偏估计。 X

21、E 证证：的估计量 为参数 例例：设总体：设总体X 有期望有期望 EX= 与方差与方差 DX= 2， 与与 2 都未知。都未知。 样本样本(X1, X2, , X n)来自来自 X，试证：试证： (1) 样本方差样本方差S2是是 2的无偏估计；的无偏估计； (2) 样本标准差样本标准差S不是标准差不是标准差 的无偏估计；的无偏估计； (3) B2不是不是 2的无偏估计。的无偏估计。 证证：(1) 由定理由定理知：知： ES2= 2 (2) DS=ES2 - (ES)2= 2 - (ES)2 DSES22222SXXXXBnnnnnnniinii1)(111)(111 (3) 因因 222 nn

22、nn11 ESEB 所所以以二、无偏估计的有效性二、无偏估计的有效性 一般地，未知参数一般地，未知参数 的无偏估计量往往不止一个，的无偏估计量往往不止一个， 在这些估计量中，当然是取值对于在这些估计量中，当然是取值对于 的离散程度越小的的离散程度越小的 越好，即方差越小的越好。越好，即方差越小的越好。 定义定义5.3： 21DD如如果果的的无无偏偏估估计计都都是是参参数数和和设设， 21的的最最小小方方差差无无偏偏估估计计。为为则则称称方方差差达达到到最最小小的的的的一一切切无无偏偏估估计计中中如如果果在在有有效效比比则则称称 21，。 解解：DX1=DX= 2 n2 XDnnaaaXXX 2

23、211 例例：设总体：设总体X 有期望有期望 EX= 与方差与方差 DX= 2， 与与 2 都未知。都未知。 样本样本(X1, X2, , X n)来自来自 X，比较比较 的两个的两个无偏估计无偏估计X1 和和 X 的有的有 效性。效性。有有效效。比比所所以以 1XX 例例：条件同上，试证：条件同上，试证X在在 的所有线性的所有线性无偏估计中方差最小。无偏估计中方差最小。 解解：所谓线性估计是指：所谓线性估计是指 为样本的线性函数。为样本的线性函数。 niiniiiniiiaa)a(111 EXXEE的的无无偏偏估估计计，即即是是由由11 niia知知，必必有有 niiniiiniiiaaa1

24、22121)( DXXDD21 n XD niiniininiianaa1212121)(1()(1 D XD，时时，当当对对于于一一切切如如果果的的估估计计量量为为参参数数：若若 Pnnn,定定义义的的一一致致估估计计。是是则则称称 n三、一致性（相合性）三、一致性（相合性）,1 EXXXX的的样样本本，是是总总体体若若n，有，有对于任意给定的对于任意给定的0 01lim1 niinnXP的的一一致致估估计计量量。是是总总体体期期望望因因此此，样样本本均均值值 X由由辛辛钦钦大大数数定定律律，知知例：例：区间估计区间估计: : 点估计：点估计：用样本算出的估计值估计总体的未知参数用样本算出的

25、估计值估计总体的未知参数 估计 为端点的区间计 估 个,212121）（，量量找找两两 可靠度：可靠度：要求区间以很大的可能性包含要求区间以很大的可能性包含 即：即：要要尽尽可可能能大大概概率率)(21 P精度：精度：估计的精度要尽可能高估计的精度要尽可能高, , 即即 区间的长度要尽可能小区间的长度要尽可能小, , 或或 能体现此要求的其它准则。能体现此要求的其它准则。在保证可靠度的条件下，尽量提高精度在保证可靠度的条件下，尽量提高精度 可靠度和精度要统筹兼顾可靠度和精度要统筹兼顾 5.3 5.3 区间估计区间估计通常，置信系数（可靠性）采用通常，置信系数（可靠性）采用 0.95, 0.99

26、, 0.90 等值。等值。，即即的的概概率率为为给给定定值值包包含含，使使得得区区间间，与与构构造造两两个个统统计计量量的的样样本本，用用来来自自总总体体的的未未知知参参数数对对于于总总体体)10(1),(),(),(),( 21212211 nnnXXXXXXXXXXX212121。或或的的的的置置信信系系数数为为称称为为，随随机机区区间间或或为为则则称称 计 区间估置信区间置信度置信系数 1 121 ,12()1 定义5对于给定的，如果.5 01) P一、区间估计的基本概念一、区间估计的基本概念义义。意意区区分分不不同同场场合合下下的的含含也也称称为为置置信信区区间间，应应注注习习惯惯上上

27、，常常将将 ),(2),(1(nxxxnxxx2121 标准正态分布标准正态分布的临界值（的临界值（ 分位点）分位点），称称满满足足条条件件：对对于于给给定定的的若若)(),(NX1010 为为标标准准正正态态分分布布的的的的点点 u uP X。分分位位点点上上 O u y y = = (x)u1- 02509619610250.).X(P.u. 例：例： 10)u(二、枢轴变量法二、枢轴变量法(1) 找与找与 有关的统计量有关的统计量 T (T (一般一般T T是是 的点估计的点估计) ) (2)找一个函数找一个函数 I=I(T, I=I(T, ), I 的分布的分布F与与 无关无关( (

28、I I( (T,T, )为枢轴变量为枢轴变量) )(3)对给定的对给定的 1- ，找到，找到F 的上的上分位点分位点 和和2 21 1),( 221TIP即估计估计置信系数置信系数解出解出的区间为的即为这时，由 1 , ),( (4)2121221TI三、正态总体未知参数的区间估计（枢轴变量法）三、正态总体未知参数的区间估计（枢轴变量法）1、均值、均值 的的区间估计区间估计 , 2/2/ unun XX(1) 2已知已知 设总体设总体X N( , 2)，样本样本 (X1, X2, , Xn) 来自总体来自总体X 。所以所以 的置信系数为的置信系数为1- 的置信区间：的置信区间： 2120 )u

29、(/枢轴变量为枢轴变量为) 1 , 0(NnU X/2/2 ( ) 1-P un u而XO /2U /2 /2-U /2(2) 2未知未知所以所以 的置信系数为的置信系数为1- 的置信区间：的置信区间： 1)-(n , 1)-(n22 tntnSXSX 枢轴变量为枢轴变量为) 1( ntnSt X2)1() 1(2 ntntP -1) ) 1() 1( 2/2/ ntSntPX而而2/2(1)tn/2(1)tn例例1：从从大批灯泡中随机地抽取大批灯泡中随机地抽取5个个,测得寿命为测得寿命为(单位单位: 小时小时)：1650, 1700, 1680, 1820, 1800，假定灯泡寿命，假定灯泡

30、寿命XN( , 9)，求这批灯泡平均寿命的区间估计求这批灯泡平均寿命的区间估计 （ = 0.05）。 解：解：方差方差 2=9已知，利用公式：已知，利用公式： , 2/2/ unun XX由由 = 0.05，查标准正态分布表得，查标准正态分布表得 u0.025=1.96。 因因 n=5， =3，x = 1730，所以，得所以，得 的区间估计为的区间估计为 1727.37 , 1732.63。P(1727.37 1732.63)=0.95注注97500250102500.)u(. u,u.0250025053 53 XX例例2 ：从从大批灯泡中随机地抽取大批灯泡中随机地抽取5个个,测得寿命为测得

31、寿命为(单位单位: 小时小时)：1650, 1700, 1680, 1820, 1800，假定灯泡寿命，假定灯泡寿命XN( , 2)，求这批灯泡平均寿命的区间估计求这批灯泡平均寿命的区间估计 （ = 0.05）。 1)-(n , 1)-(n22 tntnSXSX 由由n = 5，查查 t 分布表得分布表得 t0.025(4)=2.776。 x = 1730，S = 75.50。所以，得所以，得 的区间估计为的区间估计为 1636.27 , 1823.73。解：解：方差方差 2未知，利用公式：未知，利用公式： nii)X(nS12211Xt,t.(4)5 (4)502500250SXSX 2、方

32、差、方差的的区间估计区间估计 (1) 已知已知)()-(12122nInii X 2 的置信系数为的置信系数为1- 的区间估计的区间估计为：为：枢轴变量为枢轴变量为 )()-( ,)()-(221122212nnniinii XX 1)()-(1)( 22122221nnPniiX而而 /22/221/2(2) 未知未知 2 的置信系数为的置信系数为1- 的区间估计的区间估计为：为： ) 1() 1( ,) 1() 1(2212222nnnn SS nii)X(Sn1221X枢轴变量为枢轴变量为)1()-(1)1(212222 nXSnInii X 1)1() 1() 1( 2222221nS

33、nnP而而/22/221/2查查 2 分布表得分布表得 20.025(5)=12.833， 20.975(5)=0.831。所以，得方差的区间估计为所以，得方差的区间估计为 0.055 , 0.842。 例例3：对某塔的高度进行了对某塔的高度进行了 5 次测量，数据（单位：米）如下：次测量，数据（单位：米）如下：90.5, 90.4, 89.7, 89.6, 90.2，设测量数据服从正态分布，设测量数据服从正态分布，求方差的区间估计（求方差的区间估计（ = 0.05）。 (1) 假设塔的真实高度为假设塔的真实高度为 90米。米。 (2) 假设塔的真实高度未知。假设塔的真实高度未知。解：解：(1

34、) 利用公式：利用公式： 计算得：计算得： )()-( ,)()-(221122212nnniinii XX 5120.790ii)(X (2) 利用公式：利用公式： ) 1() 1( ,) 1() 1(2212222nnnn SS计算得：计算得： nii.)X(Sn12266801X 查查 2分布表得分布表得 20.025(4)=11.143， 20.975(4)=0.484。 所以，得方差的区间估计为所以，得方差的区间估计为 0.060 , 1.380。1、均值、均值差差 1 - 2的的区间估计区间估计 (1) 12 , , 22都都已知已知 令枢轴变量为令枢轴变量为5.3.35.3.3、

35、两个正态总体均值差和方差比的区间估计、两个正态总体均值差和方差比的区间估计2212,Y,S ,SX 设样本设样本(X1,X2, ,Xn1) 来自正态总体来自正态总体XN( 1 , 12), (Y1, Y2, , Y n2) 来自正态总体来自正态总体YN( 2 , 22)，并假定并假定X 与与 Y 相互独立相互独立 分别是两样本的均值和方差分别是两样本的均值和方差,1- 是是给定的置信系数给定的置信系数X YX Y22221212/2/21212(),() nnnnuu 所以所以 1 - 2的置信系数为的置信系数为1- 的置信区间：的置信区间： 2120 )u(/X Y12/2/2221212(

36、) () ( ) 1-nnP uu 而而O /2U /2 /2-U /2XYUN12221212()() (0,1)nn 解：解：由由 = 0.1，查标准正态分布表得，查标准正态分布表得 U /2=U0.05=1.645因因 n1=10，n2=12, 12=25, 22 =36，所以，所以，例例1 1：设自总体：设自总体XN( 1 ,25)得到一容量为得到一容量为1010的样本，其样本均值的样本，其样本均值 ，自总体，自总体YN( 1 ,36)得到一容量为得到一容量为1212的样本，的样本，其样本均值其样本均值 , , 并且两样本并且两样本 相互独立相互独立,求求 1 - 2的置信区间的置信区

37、间（ = 0.1= 0.1）。）。 19 8x. 24 0y. 22121225365.52.345nn1012得得 1 1 - - 2 2的置信区间为的置信区间为 -8.06,-0.34 -8.06,-0.34。XYXY22221212/2/21212 () , () nnnnuu 由由(2) 12 ,= 22= 2 ,但但 2未知未知 令枢轴变量为令枢轴变量为 定理（定理（5.105.10）XYTSS-12122211221212() () (n +n2)(n1)(n1)11(n +n2)nnt SSX Y-SSX Y-221122121212221122121212(n1)(n1)11()(n +n2),(n +n2)nn(n1)(n1)11 ()(n +n2)(n +n2)nntt