【解析版】江苏省连云港市2013届高三上学期期末考试数学试题

1、 2012-2013学年江苏省连云港市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.1（5分）设集合A=1，2，3，B=2，4，6，则AB=2考点：交集及其运算3794729专题：阅读型分析：直接运用交集概念求得结果解答：解：由集合A=1，2，3，B=2，4，6，所以AB=1，2，32，4，6=2故答案为2点评：本题考查了交集及其运算，是会考题型，是基础题2（5分）已知i为虚数单位，复数z满足（1i）z=2，则z=1+i考点：复数代数形式的乘除运算3794729专题：计算题分析：把给出的等式两边同时

2、乘以，然后直接利用复数的除法运算化简解答：解：由（1i）z=2，得故答案为1+i点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题3（5分）某单位有职工52人，现将所有职工按l、2、3、52随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6号、32号、45号职工在样本中，则样本中还有一个职工的编号是19号考点：系统抽样方法3794729专题：概率与统计分析：根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个职工的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可解答：解：设样本中还有一个职工的编号是x号，则用系统抽样抽出的四

3、个职工的号码从小到大排列：6号、x号、32号、45号，它们构成等差数列，6+45=x+32，x=6+4532=19因此，另一学生编号为19故答案为：19号点评：系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的，系统抽样的原则是等距，抓住这一原则构造等差数列，是我们常用的方法4（5分）正项等比数列an中，a3a11=16，则log2a2+log2a12=4考点：等比数列的通项公式；对数的运算性质3794729专题：计算题分析：由等比数列的性质可得a2a12=a3a11=16，由对数的运算可得要求的式子=log2a2a12，代入计算对数的值即可解答：解：由题意可得log2a2+log2a12=log

4、2a2a12=log2a3a11=log216=log224=4故答案为：4点评：本题考查等比数列的通项公式和等比数列的性质，以及对数的运算，属基础题5（5分）在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是考点：古典概型及其概率计算公式3794729专题：概率与统计分析：所哟的取法有=6种方法，用列举法求得满足条件的取法有3种，由此求得所求事件的概率解答：解：在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，共有=6种方法，其中，满足其和大于积的取法有：（1，2）、（1，3）、（1，4）共三种，故其和大于积的概率是 =，故答案为 点评：本题考查古典概型及其概率计算公式的应用，

5、属于基础题6（5分）如图是一个算法流程图，若输入x的值为4，则输出y的值为2考点：程序框图3794729专题：图表型分析：先判断程序框图的结构为直到型循环结构，然后按照程序框图进行循环，知道不满足|x|3时输出y=2x的值即可解答：解：根据程序框图分析，本框图为直到型循环结构第1次循环：x=|43|=7，第2次循环：x=|73|=4第3次循环：x=|43|=1此时经过判断不满足|x|3，故输出y=21=2故答案为：2点评：本题考查程序框图的理解和运算需要对程序框图进行若干次执行运算，当满足跳出循环条件时输出此时y值，属于基础题7（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，DC的中点

6、，沿AE，EF，AF折成一个四面体，使B，C，D三点重合，则这个四面体的体积为考点：棱柱、棱锥、棱台的体积3794729专题：空间位置关系与距离分析：根据题意，在折叠过程中，始终有ABBE，ADDF，即APPE，APPF，由线面垂直的判定定理，易得AP平面EFP，然后求出四棱锥的体积即可得到答案解答：解：以AE，EF，AF为折痕，折叠这个正方形，使点B，C，D重合于一点P，得到一个四面体，如图所示在折叠过程中，始终有ABBE，ADDF，即APPE，APPF，所以AP平面EFP四面体的底面积为：SEFP=PEPF，高为AP=2四面体AEFP的体积：V AEFP=112=故答案为：点评：考查几何体

7、的体积的求法关键是利用线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，得到折叠后三棱锥的高8（5分）如果函数y=3sin（2x+）（0）的图象关于点（，0）中心对称，则=考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式3794729专题：三角函数的图像与性质分析：由题意可得3sin（+）=0，故有+=k，kz，再由0 可得的值解答：解：如果函数y=3sin（2x+）（0）的图象关于点（，0）中心对称，则有 3sin（+）=0，故有+=k，kz，再由0 可得=，故答案为 点评：本题主要考查利用y=Asin（x+）的图象特征，由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，属于中档题9（5分）等轴

8、双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=4x的准线交于A、B两点，AB=，则C的实轴长为1考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质3794729专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|=，即可求得结论解答：解：设等轴双曲线C的方程为x2y2=（1）抛物线y2=4x，2p=4，p=2，=1抛物线的准线方程为x=1设等轴双曲线与抛物线的准线x=1的两个交点A（1，y），B（1，y）（y0），则|AB|=|y（y）|=2y=，y=将x=1，y=代入（1），得（1）2（）2=，=等轴双曲线C的方程为x2y2=，即 ，C的实轴长为1故答案为：1

9、点评：本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题10（5分）已知函数f（x）=则使ff（x）=2成立的实数x的集合为x|0 x1，或x=2考点：函数的零点与方程根的关系3794729专题：函数的性质及应用分析：结合函数的图象可得，若ff（x）=2，洗耳f（x）=2 或 0f（x）1，若f（x）=2，由函数f（x）的图象求得x得范围；若 0f（x）1，则由f（x）的图象可得x的范围，再把这2个x的范围取并集，即得所求解答：解：画出函数f（x）= 的图象，如图所示：故函数的值域为（，0）（1，+）由ff（x）=2 可得 f（x）=2 或 0f（x）1若f（x）=2，由函数f（

10、x）的图象可得 0 x1，或 x=2若 0f（x）1，则由f（x）的图象可得x综上可得，使ff（x）=2成立的实数x的集合为x|0 x1，或x=2，故答案为 x|0 x1，或x=2点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了数形结合与分类讨论的数学思想，属于中档题11（5分）（2012郑州二模）二维空间中圆的一维测度（周长）l=2r，二维测度（面积）S=r2，观察发现S=l；三维空间中球的二维测度（表面积）S=4r2，三维测度（体积）V=r3，观察发现V=S则四维空间中“超球”的三维测度V=8r3，猜想其四维测度W=2r4考点：类比推理3794729专题：计算题分析：根据所给的示例及类

11、比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，从而得到W=V，从而求出所求解答：解：二维空间中圆的一维测度（周长）l=2r，二维测度（面积）S=r2，观察发现S=l三维空间中球的二维测度（表面积）S=4r2，三维测度（体积）V=r3，观察发现V=S四维空间中“超球”的三维测度V=8r3，猜想其四维测度W，则W=V=8r3；W=2r4；故答案为：2r4点评：本题考查类比推理，解题的关键是理解类比的规律，解题的关键主要是通过所给的示例及类比推理的规则得出高维的测度的导数是底一维的测度，属于基础题12（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆（x1）2+（y1）2=4，C为圆心，点P为圆上任意一点，

12、则的最大值为2+4考点：平面向量数量积的运算3794729专题：计算题；平面向量及应用；直线与圆分析：根据向量加法的三角形法则和数量积运算性质，化简得=+2由点P是圆C（x1）2+（y1）2=4上的点得2=4，而当与方向相同时的最大值为|=2，因此即可算出的最大值解答：解：=（）=+2点P是圆C（x1）2+（y1）2=4上的点的长度等于圆C的半径，即|=2，可得2=|2=4又当与方向相同时，=|取得最大值当P点在OC延长线上时，即点P与P0（1+，1+）重合时，的最大值为|=2因此的最大值为2+4故选：2+4点评：本题给出圆C上的动点P，求向量的最大值，着重考查了平面向量数量积的定义及运算性质

13、、圆的标准方程等知识，属于中档题13（5分）如图，点A，B分别在x轴与y轴的正半轴上移动，且AB=2，若点A从（，0）移动到（，0），则AB中点D经过的路程为考点：弧长公式3794729分析：首先设出求出中点的轨迹是以原点为圆心半径为1的圆，然后求出点D和点D的坐标，再由弧长公式得出结果解答：解：设AB的中点为O（x，y），则A（2x，0），B（0，2y）AB=2（2x）2+（2y）2=4 即x2+y2=1所以中点是以原点为圆心半径为1的圆点A从（，0）移动到（，0），D（，） D（，） tanDOA=1 tanDOA=DOD=为中点走过的路径l=1=故答案为：点评：此题考查了轨迹方程的求法以

14、及弧长公式的运用，求出中点的轨迹是解题的关键，属于中档题14（5分）关于x的不等式x2ax+2a0的解集为A，若集合A中恰有两个整数，则实数a的取值范围是考点：一元二次不等式的解法3794729专题：不等式的解法及应用分析：由判别式0，解得 a0，或 a8当a0时，由f（1）0，且 f（2）0，求得a的范围当a8时，由3 求得8a9，再根据f（4）0，f（5）0，f（6）0求得a的范围再把两个a的范围取并集，即得所求解答：解：由题意可得，判别式=a28a0，解得 a0，或 a8当a0时，由于f（0）0，且对称轴在y轴的左侧，故A中的两个整数为1 和0，设f（x）=x2ax+2a，故有f（1）=

15、1+3a0，且 f（2）=4+4a0解得1a当a8时，对称轴x=4，设A=（m，n），则有nm3，即3，即a28a9，解得 8a9故有对称轴 45，而f（2）=40，f（3）=9a0，故A中的两个整数为4和5，故 f（4）0，f（5）0，f（6）0即 162a0，且253a0，364a0 解得 a9综合可得，1a，或 a9故实数a的取值范围是 ，故答案为 点评：本题主要考查二次函数的性质，一元二次不等式的解法，属于基础题二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15（14分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、

16、c，且ccosB+bcosC=3acosB（1）求cosB的值；（2）若=2，求b的最小值考点：正弦定理；平面向量数量积的运算3794729专题：解三角形分析：（1）利用正弦定理化简已知得等式，根据sinA不为0即可求出cosB的值；（2）利用平面向量的数量积运算法则化简=2，将cosB的值代入求出ac的值，再利用余弦定理列出关系式，将cosB代入后利用基本不等式变形，将ac的值代入计算即可求出b的最小值解答：解：（1）ccosB+bcosC=3acosB，由正弦定理得：sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，又sin（B+C）=sinA

17、0，cosB=；（2）由=2，得accosB=2，cosB=，ac=6，由余弦定理得：b2=a2+c22accosB2acac=8，当且仅当a=c时取等号，则b的最小值为2点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，平面向量的数量积运算，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键16（14分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC，点D为BC中点，点E为BD中点，点F在AC1上，且AC1=4AF（1）求证：平面ADF平面BCC1B1；（2）求证：EF平面ABB1A1考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定3794729专题：空间位置关系与距离分析：（1）欲证平面ADF平面BCC

18、1B1，可先证AD平面BCC1B1，CDAB，因AB=AC，D为BC中点，所以ADBC，故只须证CC1AD，这个可以根据直三棱柱ABCA1B1C1中CC1平面ABC得到；（2）欲证EF平面ABB1A1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABB1A1内一直线平行，连结CF延长交AA1于点G，连结GB根据中点条件及AC1=4AF可知EFGB，又EF平面ABBA1，GB平面ABBA1，满足定理所需条件，从而得出答案解答：证明：（1）因为直三棱柱ABCA1B1C1，所以CC1平面ABC，而AD平面ABC，所以CC1AD（2分）又AB=AC，D为BC中点，所以ADBC，因为BCCC1=C，

19、BC平面BCC1B1，CC1平面BCC1B1，所以AD平面BCC1B1，（5分）因为AD平面ADF，所以平面ADF平面BCC1B1（7分）（2）连结CF延长交AA1于点G，连结GB因为AC1=4AF，AA1CC1，所以CF=3FG，又因为D为BC中点，点E为BD中点，所以CE=3EB，所以EFGB，（11分）而EF平面ABBA1，GB平面ABBA1，所以EF平面ABBA1（14分）点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题17（14分）某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元（包括2万元和10

20、万元）的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：报销的医疗费用y（万元）随医疗总费用x（万元）增加而增加；报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；报销的医疗费用不得超过8万元（1）请你分析该单位能否采用函数模型y=0.05（x2+4x+8）作为报销方案；（2）若该单位决定采用函数模型y=x2lnx+a（a为常数）作为报销方案，请你确定整数a的值（参考数据：ln20.69，ln102.3）考点：函数模型的选择与应用3794729专题：函数的性质及应用分析：（1）利用函数模型y=0.05（x2+4x+8），验证三个条件，即可得到结论；（2）利用函数模型y=x2lnx+a（a为常数），结合三个条

21、件，即可确定整数a的值解答：解：（1）函数y=0.05（x2+4x+8）在2，10上是增函数，满足条件，（2分）当x=10时，y有最大值7.4万元，小于8万元，满足条件（4分）但当x=3时，y=，即y不恒成立，不满足条件，故该函数模型不符合该单位报销方案（6分）（2）对于函数模型y=x2lnx+a，设f（x）=x2lnx+a，则f（x）=1=0所以f（x）在2，10上是增函数，满足条件，由条件，得x2lnx+a，即a2lnx在x2，10上恒成立，令g（x）=2lnx，则g（x）=，由g（x）0得x4，g（x）在（0，4）上增函数，在（4，10）上是减函数ag（4）=2ln42=4ln22（10

22、分）由条件，得f（10）=102ln10+a8，解得a2ln102（12分）另一方面，由x2lnx+ax，得a2lnx在x2，10上恒成立，a2ln2，综上所述，a的取值范围为4ln22，2ln2，所以满足条件的整数a的值为1（14分）点评：本题考查函数模型的建立与运用，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题18（16分）已知椭圆C：（ab0）的上顶点为A，左，右焦点分别为F1，F2，且椭圆C过点P（，），以AP为直径的圆恰好过右焦点F2（1）求椭圆C的方程；（2）若动直线l与椭圆C有且只有一个公共点，试问：在x轴上是否存在两定点，使其到直线l的距离之积为1？若存在，请求出

23、两定点坐标；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程3794729专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）利用椭圆过点P（，），以AP为直径的圆恰好过右焦点F2，及b2=a2c2，建立方程，即可求椭圆C的方程；（2）分类讨论，利用直线l与椭圆C有只有一个公共点，确定k，p的关系，设在x轴上存在两点（s，0），（t，0），使其到直线l的距离之积为1，建立方程，即可求得结论解答：解：（1）因为椭圆过点P（，），所以=1，解得a2=2，（2分）又以AP为直径的圆恰好过右焦点F2，所以AF2F2P，即=1，所以b2=c（43c）（6分）而b2=a2c2=2c2，所以c22

24、c+1=0，解得c2=1，故椭圆C的方程是+y2=1（8分）（2）当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+p，代入椭圆方程得（1+2k2）x2+4kpx+2p22=0因为直线l与椭圆C有只有一个公共点，所以=16k2p24（1+2k2）（2p22）=8（1+2k2p2）=0，即1+2k2=p2（10分）设在x轴上存在两点（s，0），（t，0），使其到直线l的距离之积为1，则=1，即（st+1）k+p（s+t）=0（*），或（st+3）k2+（s+t）kp+2=0 （*）由（*）恒成立，得解得，或，（14分）而（*）不恒成立当直线l斜率不存在时，直线方程为x=时，定点（1，0）、F2（1，0

25、）到直线l的距离之积d1d2=（1）（+1）=1综上，存在两个定点（1，0），（1，0），使其到直线l 的距离之积为定值1（16分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查存在性问题的研究，考查学生的计算能力，同时考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19（16分）已知函数，其中mR（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）若对任意的x1，x21，1，都有|f（x1）f（x2）|4，求实数m的取值范围；（3）求函数f（x）的零点个数考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性3794729专题：综合题；导数的综合应用分析：（1）求导数f（x），解不等式f（x）0，

26、f（x）0即得函数的单调区间；（2）“对任意的x1，x21，1，都有|f（x1）f（x2）|4”等价于“函数y=f（x），x1，1的最大值与最小值的差小于等于4”，根据二次函数的性质，对m进行分类讨论即可求得f（x）的最大值、最小值；（3）易判断y=f（x）既有极大值也有极小值，设f（x0）=0，即x022mx01=0，由此对f （x0）化简得f （x0）=x0（m2+1），由（1）得到f（x）的极大值、极小值，根据极值的符号借助图象可判断函数f（x）零点的个数；解答：解：（1）f（x）=x22mx1，由f（x）0，得xm，或xm+；故函数f（x）的单调增区间为（，m），（m+，+），减区间（

27、m，m+）（2）“对任意的x1，x21，1，都有|f（x1）f（x2）|4”等价于“函数y=f（x），x1，1的最大值与最小值的差小于等于4”对于f（x）=x22mx1，对称轴x=m当m1时，f（x）的最大值为f（1），最小值为f（1），由 f（1）f（1）4，即4m4，解得m1，舍去； 当1m1时，f（x）的最大值为f（1）或f（1），最小值为f（m），由 ，即，解得1m1； 当m1时，f（x）的最大值为f（1），最小值为f（1），由 f（1）f（1）4，即4m4，解得m1，舍去；综上，实数m的取值范围是1，1（3）由f（x）=0，得x22mx1=0，因为=4m2+40，所以y=f（x）既有极大值也有极小值设f（x0）=0，即x022mx01=0，则f （x0）=x03mx02x0+m=mx02x0+m=x0（m2+1），由（1）知：极大值f（m）=（m）（m2+1）0，极小值f（m