量子力学导论5

1、 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:44 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:45经典波的叠加经典波的叠加 合成的波中有各种成分合成的波中有各种成分 相干性相干性 态叠加原理是量子力学中一个很重要的原理态叠加原理是量子力学中一个很重要的原理 1 1、经典波的叠加原理、经典波的叠加原理 如果如果1和和2是两个可能的波动过程，那么它们是两个可能的波动过程，那么它们的线性叠加的线性叠加a1+b2（a，b都是常数）也是一个可能都是常数）也是一个可能的波动过程。的波动过程。 2022年年7月

2、月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:45 可能性和概率可能性和概率 干涉项的概率性干涉项的概率性 是粒子运动状态概率波自身的干是粒子运动状态概率波自身的干涉，不是不同粒子之间的干涉涉，不是不同粒子之间的干涉量子态的叠加量子态的叠加 相干性相干性 新特点新特点2、量子态的叠加原理、量子态的叠加原理 二个量子态的叠加原理：如果二个量子态的叠加原理：如果1与与2是体系的可是体系的可能状态，那么它们的能状态，那么它们的 线性迭加态线性迭加态 =c11+c22，（，（c1 、c2是复数）也是这个体系的一个可能状态。是复数）也是这个体系的一个可能状态。 2022年年

3、7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:452112212ccc2222212ccc态叠加原理一般表述：态叠加原理一般表述： 若若 1， 2 ,., n ,.是体系的一系列可能的状态，则这是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加些态的线性叠加 = C1 1 + C2 2 + .+ Cn n + . =cii (其其中中 C1 , C2 ,.,Cn ,.为复常数为复常数)也是体系的一个可能状态。也是体系的一个可能状态。 处于处于 态的体系，部分的处于态的体系，部分的处于 1态，部分的处于态，部分的处于 2态态.，部分的处于，部分的处于 n，.等，即各有

4、一定几率处在迭加之前等，即各有一定几率处在迭加之前的各个态的各个态i。 若体系处于迭加态若体系处于迭加态时，则体系部分处于时，则体系部分处于1态，部态，部分处于分处于2态。态。 1几率几率 2几率几率1，2已归一化已归一化 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:453、力学量的不确定性、力学量的不确定性12,n Fnnnc体系所体系所处状态处状态 测力学量测力学量所得值所得值 1F12F2nFn不定，有多种可能值，不定，有多种可能值，Fn，每次测得的值是不能预先确定的，每次测得的值是不能预先确定的，带有偶然性，但只能是可能值中的一个，带有偶

5、然性，但只能是可能值中的一个，而且每种可能值以确定的几率出现。而且每种可能值以确定的几率出现。FFFF体系可能态体系可能态 FFnnnc 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:452-62-6 一维谐振子问题一维谐振子问题 1 1、一维谐振子的定态薛定谔方程、一维谐振子的定态薛定谔方程 在经典力学中，简谐振动的定义：在经典力学中，简谐振动的定义：任何物理量任何物理量 x 的变化规律若满足方程式的变化规律若满足方程式0dd222xtx并且并且是决定于系统自身的常量，则该物理量的变是决定于系统自身的常量，则该物理量的变化过程就是简谐振动。化过程

6、就是简谐振动。 在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本在经典力学中，一维经典谐振子问题是个基本的问题，它是物体在稳定平衡位置附近作小振动的问题，它是物体在稳定平衡位置附近作小振动这类常见问题的普遍概括。这类常见问题的普遍概括。 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:45简谐振动物体受到的线性回复力简谐振动物体受到的线性回复力kxF取系统的平衡位置作为系统势能的零点，简谐振动取系统的平衡位置作为系统势能的零点，简谐振动系统的势能系统的势能221)(kxxUk2221)(xxU简谐振动系统的总能量简谐振动系统的总能量2221122EkAA简谐

7、振动运动方程的解简谐振动运动方程的解)cos(tAx)(xUox 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:45 一维谐振子在量子力学中是一个重要的物理模一维谐振子在量子力学中是一个重要的物理模型。例如研究分子的振动、晶格的振动、原子核表型。例如研究分子的振动、晶格的振动、原子核表面的振动以及辐射场的振动，等等。面的振动以及辐射场的振动，等等。 在微观领域中，一维量子谐振子问题也是个基本的在微观领域中，一维量子谐振子问题也是个基本的问题。因为它不仅是微观粒子问题。因为它不仅是微观粒子在稳定平衡位置附近作小在稳定平衡位置附近作小振动一类常见问题的

8、普遍概括振动一类常见问题的普遍概括，而且更是将来场量子化，而且更是将来场量子化的基础。的基础。 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:45 我们认为，微观粒子所处的势场的形式仍然可以表我们认为，微观粒子所处的势场的形式仍然可以表达为达为2221)(xxU粒子受到的势不随时间变化，这是一个定态问题！粒子受到的势不随时间变化，这是一个定态问题！)()()(222rErrU定态薛定谔方程定态薛定谔方程 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:45)()(21dd222222xExxx为了简洁起见

9、，引入三个无量纲参量：为了简洁起见，引入三个无量纲参量： Ex2,dd22 ( )()( )20 求解此方程，并考虑到束缚态条件，就可以得到一求解此方程，并考虑到束缚态条件，就可以得到一维谐振子的能量本征值和与其对应的本征波函数。维谐振子的能量本征值和与其对应的本征波函数。 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:452 2、一维谐振子的本征函数和能量本征值、一维谐振子的本征函数和能量本征值 一维谐振子的定态薛定谔方程的解，即一维谐振一维谐振子的定态薛定谔方程的解，即一维谐振子的定态波函数为：子的定态波函数为：)(He)(222xNxnxnn

10、由由波函数的归一化条件波函数的归一化条件所确定的常系数所确定的常系数 Nn为：为：Nnnn (!)1 21 22式中式中 Hn( )称为称为厄米多项式厄米多项式，具体形式为，具体形式为 Hedde22-nnnn( )() 1 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:45最简单的几个厄米多项式为：最简单的几个厄米多项式为：H0( ),1H1( ), 2H2( ),422n=0, n=1, n=2,一维谐振子的波函数的一般形式为一维谐振子的波函数的一般形式为 nnE tx txn( , )( )/ei,.3 , 2 , 1 , 0,e )(He/

11、i222nxNtEnxnn一维谐振子的能量（本征值）为一维谐振子的能量（本征值）为 EEnnn(), , ,120 1 2说明：说明： 一维谐振子的能量只能取一系列一维谐振子的能量只能取一系列分立值分立值； 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:45 一维谐振子的能谱是一维谐振子的能谱是等间距等间距的，即相邻两能级的的，即相邻两能级的能量差是固定的；能量差是固定的；Eknann2222222212 3, , ,EEnnn(), , ,120 1 2能量的分立现象在微观领域是普遍存在的！能级间距能级间距 = 一维谐振子的基态能量不等于零，即存

12、在零点能。一维谐振子的基态能量不等于零，即存在零点能。210E 零点能是微观粒子波粒二象性的表现！ 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:45)( xUoxAANME经典禁区经典禁区经典禁区经典禁区经典物理学中的一维谐振子：经典物理学中的一维谐振子：.,经典禁区经典允许区；AxAxnnxnxNx( )()eH2 22量子力学中的一维谐振子：量子力学中的一维谐振子：,)(2/41022xex,2)(2/41122xxex,1221)(2/2241222xexx 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学1

13、1:36:46考虑一维谐振子的基态：考虑一维谐振子的基态：210E2221)(xxU=2x1谐振子的特征长度谐振子的特征长度按照经典理论，按照经典理论，.,11经典禁区经典允许区；xx按照量子力学中波函数的统计诠释，基态粒子处于经按照量子力学中波函数的统计诠释，基态粒子处于经典禁区中的概率为：典禁区中的概率为：%16d )()(d )()(110000 xxxxxx微观粒子的隧道效应微观粒子的隧道效应 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:46,)(2/41022xex,2)(2/41122xxex,1221)(2/2241222xexx由

14、图可以看出，量子数由图可以看出，量子数n较小时，粒子位置的概率较小时，粒子位置的概率密度分布与经典结论明显不同。随着量子数密度分布与经典结论明显不同。随着量子数n的增的增大大, 概率密度的平均分布将越来越接近于经典结论概率密度的平均分布将越来越接近于经典结论。 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:46线性谐振子波函数线性谐振子位置概率密度00nx11nx2n2x200nx222nx211nx 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:4621111nx线性谐振子 n =11 时的概率密度分

15、布虚线代表经典结果： 经典谐振子在原点速度最大，停留时间短粒子出现的概率小； 在两端速度为零，出现的概率最大。 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:46讨论：微观一维谐振子能量量子化, 2 , 1 , 0)21(nnEn，能量特点：(1)量子化，等间距 hE (2)有零点能 210E 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:46概率分布特点:xn很大EnE1E2E00V(x)21 2n 22 20 E V 区有隧道效应 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子

16、力学量子力学11:36:46基态的性质 基态位置概率分布200nx210E零点能2220| )(|xex是个Gauss分布特征，这是束缚态的一个典型接结果。是测不准原理的一个直 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:4622)()(200 xexxW量子：量子：在其它范围也能找到粒子。属于经典禁区。中运动，而的区域基态谐振子只允许在11|) 1|(|xx率最小。处粒子的速率最大，概在0 x在x = 0 处概率最大经典：经典： 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:46处，势能在1|x2/

17、21k.|1属于经典禁区x)/(212mm21221)(kxxV为振动转折点，1x为总能量2| )(|x111 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:4616. 0d/d0122ee算出此几率为出现在这个区域。容易粒子仍有一定几率但按照量子力学观点，如下图所示： 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:46符合玻尔对应原理 11(x) 2量子量子经典经典量子概率分布过渡到经典概率分布:时当n 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:46例

18、例1 1:一个电子被束缚在一维无限深势阱内，势阱宽度一个电子被束缚在一维无限深势阱内，势阱宽度为为1.01 10 10 m。求当电子处于基态时对阱壁的平均。求当电子处于基态时对阱壁的平均冲力。冲力。 设电子质量为设电子质量为me、速度为、速度为vx、动量为、动量为px 、势阱宽度为、势阱宽度为a。解解: 要求平均冲力，先要求平均冲力算符。要求平均冲力，先要求平均冲力算符。动量定理：在运动过程中，作用于质点的合力在一段动量定理：在运动过程中，作用于质点的合力在一段时间内的冲量等于质点动量的增量。时间内的冲量等于质点动量的增量。平均冲力等于单位时间内的冲量。平均冲力等于单位时间内的冲量。电子与阱壁

19、碰撞一次，电子所受到的冲量：电子与阱壁碰撞一次，电子所受到的冲量：xxxpppI2电子与阱壁碰撞一次，阱壁所受到的冲量：电子与阱壁碰撞一次，阱壁所受到的冲量：xpII2 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:46ampavpfIFxxxe222Fm ax 222e将算符将算符 2222)i(xxpx 代入上式代入上式，得，得电子连续两次碰撞同一电子连续两次碰撞同一侧阱壁所需要的时间：侧阱壁所需要的时间：xvaT2单位时间内电子碰撞同单位时间内电子碰撞同一侧阱壁的次数：一侧阱壁的次数：avTfx21单位时间内电子对同一侧阱壁的冲量，即冲力为单

20、位时间内电子对同一侧阱壁的冲量，即冲力为 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:46一维无限深势阱的基态波函数为一维无限深势阱的基态波函数为d)()(rArAAaxaxsin2)(1)(1x电子对阱壁的平均冲力为电子对阱壁的平均冲力为 3e2223224e2211dsine2dsin2d000amuuamxaxamxFFaaN1017. 17 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:46例例2 2:如果粒子的波函数为如果粒子的波函数为 ，试求：，试求：),(r在在r到到r+dr的的球壳球壳

21、内找到粒子的概率；内找到粒子的概率；解解: 要求概率，只要确定概率密度和相应的体积。要求概率，只要确定概率密度和相应的体积。r到到r+dr的的球壳球壳的体积：的体积：rrdddsind2球坐标系下的体积元的表达式：球坐标系下的体积元的表达式：rrVddsindd2020 在在r到到r+dr的的球壳球壳内找到粒子的概率：内找到粒子的概率：rrrddsind),(20202 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:47例例3 3:求处于一维无限深方势阱中的粒子的位置、动量求处于一维无限深方势阱中的粒子的位置、动量和动能的平均值。和动能的平均值。

22、解解: 要求力学量的平均值，只要找到相应的力学量算要求力学量的平均值，只要找到相应的力学量算符和波函数就可以了。符和波函数就可以了。)(xn;0,sin2axaxna., 0, 0axx,.3 , 2 , 1n 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:47粒子的位置的平均值：粒子的位置的平均值：xxxad0 xaxnxaad )(sin202xaxnxaad )2cos1 (10;2a粒子的动量的平均值：粒子的动量的平均值：pid)()(rArAA 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:4

23、7xppad0 xaxnxiaxnaadsin)dd(sin200 在一维无限深方势阱中，粒子位置与动量的平均在一维无限深方势阱中，粒子位置与动量的平均值与粒子所处的本征态的级数，即值与粒子所处的本征态的级数，即 n 没有关系。没有关系。粒子的动能的平均值：粒子的动能的平均值：在势阱内部，势能为零，则粒子的动能也就是其总能在势阱内部，势能为零，则粒子的动能也就是其总能量。量。在定态问题中，总能量算符也就是哈密顿算符。在定态问题中，总能量算符也就是哈密顿算符。)(rUH222 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:47xHEaKd0 xaxn

24、xaxnaadsin)dd2(sin22220 xaxnanadsin023222nttan0222dsin22222 anEknann2222222212 3, , ,平均动能，即平均能量，是量子化的。平均动能，即平均能量，是量子化的。 2022年年7月月8日星期五日星期五 理论物理导论理论物理导论 量子力学量子力学11:36:47例例4 4:求一维线性谐振子在第一激发态时概率最大的位求一维线性谐振子在第一激发态时概率最大的位置。置。 解解: 要求粒子在空间的概率的最大值，只要对概率密要求粒子在空间的概率的最大值，只要对概率密度求极大即可。度求极大即可。nnxnxNx( )()eH2 22量子力学中的一维谐振子：量子力学中的一维谐振子：,2)(2/41122xxex概率密度：概率密度：1122232xex0ddx1, 0 x零是个极小值，舍去；零是个极小值，舍去；故极大值处为故极大