(8)03第三章 资金的时间价值

1、水利经济学第三章资金的时间价值与复利计算方法第一节 资金的时间价值 资金在参与经济活动的过程中随着时间的推移而发生的增值。资金时间价值的概念 货币是固定充当一般等价物的特殊商品。在流通中，实行等价交换，不会发生增值劳动力成为商品货币转化为资本劳动力在生产过程中创造剩余价值 剩余价值是资金时间价值的内涵。增值的原因资金时间价值在经济计算中的作用考察一笔资金的价值数量时间由于资金时间价值的存在，使不同时间发生的资金流量不能直接进行比较，而必须对其进行时间价值的等值变换，使其具有时间可比性。资金时间价值在经济计算中的作用考虑资金时间价值？静态的计算方法？NOYES动态的计算方法？资金时间价值的表现形

2、式 利息是指占用资金所付的代价或放弃使用资金所得的补偿。利息（I）本金 利息 本利和P I Fn 利率（interest）是在一个计息周期内所得利息额与本金之比，一般以百分数（）表示。 根据计息周期的不同，一般有年利率、季利率、月利率等。利率（i）单利和复利不考虑利息的时间价值，即不计算利息产生的利息要考虑利息的时间价值，需要计算利息产生的利息单利复利单 利 单利计息时，不管计息周期数有多大，仅用本金作计息基数，利息不再生利息，利息额与时间成正比。单利计算的计算公式为： I利息；P本金；Fn本利和；n计息周期数；i相应计息周期的利率。 除最初的本金计算利息之外，每一计息周期已产生的利息要在下一

3、个计息周期中也并入本金再生利息，这种计息方法称为复利，俗称“利滚利”。 复利计算能比较客观地反映资金的活动情况。以后，若无特别声明，都采用复利计息法。 复利法的计算公式详见下一节。复 利两点说明：1、单利计息法对资金时间价值的考虑是不充分的，不能完全反映资金的时间价值。复利计算能比较客观地反映资金的活动情况。2、单利法计算公式较简单，我国银行存款和国库券的利息就是按单利法计算的，但为了考虑复利的因素，它以存款时间越长利率越高这种方式来体现，实际上也算是一种变形的复利计算法。 所谓资金等值就是发生在不同时间，数额不等的资金，可以具有相等的价值。 例如：现在的1000元在年利率为6的条件下，与一年

4、后的1060元，虽然资金数额不相等，但其价值是相等的。资金等值的概念下面以借款还本付息的例子来进一步说明：【例41】 某人现在借款1000元，在5年内以年利率6还清全部本金和利息。资金等值的概念四种偿还方案 在工程经济分析中，利用资金等值的概念，可以将发生在不同时期的金额，换算成同一时期的金额，然后再进行评价。 现值终值折 现现在未来 在工程经济分析中，把工程项目作为一个独立系统，现金流量反映了该项目在寿命周期内流入或流出系统的现金活动。 流入系统的货币收入叫做现金流入(CI)，流出系统的货币支出叫做现金流出(CO)，同一时点现金流入与现金流出的差额叫做净现金流量(NCF)。现金流量图现金流入

5、销售收入回收的固定资产余值回收的流动资金其他收入现金流出固定资产投资固定资产投资方向调节税流动资金投资年运行费（经营成本）销售税金及附加所得税净现金流量现金流入现金流出为了直观清晰地表达某项水利工程各年投入的费用和取得的收益，并避免计算时发生错误，经常绘制现金流量图，又称资金流程图。此外，还可以编制现金流量表。 现金流入现金流出时间轴现金流量图的作图要点：1、横坐标表示时间，单位为计息周期（通常是年）2、纵坐标为资金，箭头向上为现金流入，向下为现金流出3、通常假设投资发生在年初，收入或年运行费发生在年末4、为了计算上的统一，水利建设项目经济评价规范规定：投入物和产出物除当年借款利息外，均按年末

6、发生和结算。在工程经济分析及计算中，需要根据资金等值的原理把不同时间的投资、费用和效益都折算到同一个时间水平，然后再进行经济比较。这个时间水平年称为计算基准年，且把该年的年初作为资金等值的计算基准点。计算基准年计算基准年通常有以下几种选取方法： 工程开工的第一年； 工程投入运行的第一年； 施工结束达到设计水平的年份。 考虑到工程评价所处的阶段，水利建设项目经济评价规范统一规定：以工程建设期的第一年作为计算基准年。第二节 复利计算公式 在动态经济分析当中，资金等值是按复利计息方法计算的，所以资金等值计算公式即为复利计算公式。 计算公式符号说明：P 现值 (Present Value)，亦称本金，

7、现值P是指对应 于计算基准点的资金数额；F 终值 (Future Value)，又称将来值、本利和，是指从基准点起第n个计息周期末的资金总额；A 等额年值 (Annual Value)，通常又称年金，是指一段时期内每个计息周期末发生的一系列等额资金值；G 递增年值 (Gradient Value)，即各计息周期的资金数额均匀递增的差值；n 计息周期数 (Number of Period)，通常为年；i 计息周期内的折现率或利率 (Interest Rate)，常以计。 按照现金流量序列的特点，我们可以将资金等值计算的公式分为： 一次支付 等额多次支付 等差系列 一次支付又称整付，指现金流量无论

8、是支出还是收入，均在某个时点上只发生一次。注意：P 发生在第一年年初，F 发生在第 n 年年末一次支付类型1一次支付终值公式意义：已知支出资金 P，当利率为 i 时，在复利计算的条件下，求 n 年末能够得到的本利和。这个问题类似于银行的“整存整取”储蓄方式。即：已知 P，i ，n F第1年末， F1 PP i P (1i)1第2年末， F2 F1F1 iP(1i)(1i)P (1i)2第n年末， FnP (1i)n1(1i)P(1i)n公式推导过程如下： 一次支付复利因子(Single Payment Compound Amount Factor)于是，可以得到一次支付终值公式：【例42】 因

9、工程需要向银行贷款 1000 万元，年利率为 7，5年后一次还清，试问到期应偿还本利共多少？解：已知 P1000 万元，i0.07，n5 年，由公式得：因此，5年后的本利和是 1402.55 万元。Excel 中的函数：FV(rate, nper, pmt, pv, type) 本例计算式：=FV(0.07, 5, , 1000, 0)2一次支付现值公式意义：如果想在未来的第 n 期期末一次收入F 数额的现金，在利率为 i 的复利计算条件下，现在应一次支出本金 P 为多少。可见，一次支付现值公式是一次支付终值公式的逆运算。即：已知 F，i ，n P 一次支付现值因子(Single Paymen

10、t Present Worth Factor)【例43】 某人 10 年后需 20 万元用于孩子上学，银行的存款年利率为6%，若按复利方式计息，问现在应存多少钱才能在10年后得到这笔款项？解：已知 F20万元，i0.06，n10年，由公式得:即：年利率为 6 时，现在应存款 11.17 万元，10 年后才可以连本带利得到 20 万元。Excel 中的函数：PV(rate, nper, pmt, fv, type) 本例计算式：=PV(0.06, 10, , 20, 0)讨论：现值与终值的相对关系PPFF基准点现在将来过去 通常将序列连续且数额相等的现金流称为等额系列现金流(年等值)，这种支付方

11、式则称为等额多次支付(分付)。注意：P 发生在第 1 年初（即 0 点），F 发生在第 n 年年末，而 A 发生在每一年的年末。等额多次支付类型1等额分付终值公式意义：对 n 期期末等额支付的现金流量 A，在利率为 i 的复利计算条件下，求第 n 期期末的终值 (本利和) F。这个问题类似于银行的“零存整取”的储蓄方式。即：已知 A、i、n F公式推导过程如下等额分付终值（复利）因子(Uniform Series Compound Amount Factor)利用等比级数求和公式，可得到等额分付终值公式为： 因此，整个系列的代数和为：【例44】 某防洪工程建设期为 6 年，假设每年年末向银行贷

12、款 3000 万元作为投资，年利率 i7 时，到第 6 年末欠银行本利和为多少？解：已知 A3000万元，i0.07，n6 年，求 F。由公式得:因此，到第6年末欠款总额为21460万元；其中，利息总额为：21460300063460 万元（利息为贷款资金的 19.2）Excel 中的函数：FV(rate, nper, pmt, pv, type) 本例计算式：=FV(0.07, 6, 3000, , 0)2基金存储公式 可见，基金存储公式是等额分付终值公式的逆运算。意义：当利率为 i 时，在复利计算的条件下，如果需在 n 期期末能一次收入F 数额的现金，那么在这 n 期内连续每期期末需等额支

13、付 A 为多少？即：已知 F、i、n A基金存储因子 (偿债基金因子)(Sinking Fund Deposit Factor)【例45】 某人希望在10年后得到一笔40000元的资金，若年利率为5，在复利计算条件下，他每年应等额地存入银行多少元？ 解：已知F40000元，i0.05，n10年，求A。由公式： 可知，他每年应均匀地存入银行3180.2元。 Excel 中的函数：PMT(rate, nper, pv, fv, type)本例计算式：=PMT(0.05, 10, , 40000, 0)3等额分付现值公式 由等额分付终值公式 和一次支付终值公式 联立消去 F，于是得到： 意义：在利率

14、为 i，复利计息的条件下，求 n 期内每期期末发生的等额支付现金 A 的现值 P。即：已知 A、i、n P等额分付现值因子 (Uniform Series Present Worth Factor)【例46】 假如有一新建水电站投入运行后，每年出售产品电能可获得效益 1.2 亿元，当水电站运行 50 年时，采用折现率 i7，其总效益的现值为多少？解：已知 A1.2 亿元（假定发生在年末），i0.07，n50 年，求 P。由公式得：即：50 年的总效益现值P是：16.561 亿元；相应50 年的总效益终值F是：16.5611.07 50 =487.83 亿元；若按静态计算方法，则 50 年的总效

15、益为 1.25060 亿元。Excel 中的函数：PV(rate, nper, pmt, fv, type) 本例计算式：=PV(0.07, 50, 1.2, , 0)【例47】 某防洪工程从2001年起兴建，2002年底竣工投入使用，2003年起连续运行10年，到2012年平均每年可获效益800万元。按 i5计算，问将全部效益折算到兴建年（2001年年初）的现值为多少？解：现金流量图如下，其中工程建设期 m2年。注意：直接应用等额分付现值公式的前提首先根据等额分付现值公式 ，将 20032012年的系列年等值折算到2003年初（即2002 年末），得到现值 P 。已知 A800万元，i5，n

16、10年，有：再根据一次支付现值公式，将 P 折算到 2001 年初 (2000 年末)，得到 P：所以，全部效益折算到2001年年初的现值为 5603.07 万元。本例在Excel 中的计算式为：=PV(0.05, 2, , PV(0.05, 10, 800, , 0), 0)4资金回收公式由其意义可知，资金回收公式是等额分付现值公式的逆运算。意义：当利率为 i 时，在复利计算的条件下，如果现在借出一笔现值为 P 的资金，那么在今后 n 期内连续每期期末需等额回收多少本息 A，才能保证期满后回收全部本金和利息。即：已知 P、i、n A资金回收因子(Capital Recovery Factor

17、)【例48】 某人向银行贷款30万元用于购房，合同约定以后每个月底等额偿还，期限为20年，若贷款月利率为 0.459%。请问每月应偿还多少？到期后合计偿还数是多少？解：贷款（本金）P300 000元，月利率为 0.459%，即 i0.00459，偿还期为20年，即240个月，由公式得： 在Excel 中的计算式为：=PMT(0.00459, 240, 300000, , 0)到期后合计偿还金额为： 如果按静态方法计算，则合计偿还金额为：2065.02240495604.8元。在Excel 中的计算式为：=FV(0.00459, 240, 2065.02, , 0) 设有一系列等差现金流 0，G

18、，2G，（n1）G 分别于第 1，2，3，n 年年末发生，现金流量如下图：求该等差系列在第 n 年年末的终值 F、在第 1 年年初的现值 P，以及相当于等额分付类型的年等值 A。等差多次支付类型 设有一系列等差现金流 0，G，2G，（n1）G 分别于第 1，2，3，n 年年末发生，现金流量如下图：求该等差系列在第 n 年年末的终值 F、在第 1 年年初的现值 P，以及相当于等额分付类型的年等值 A。假定：P 发生在第1年年初，F 发生在第 n 年年末，而 G 发生在每年的年末。注意：等差系列是从 0 开始的，第 n 年的现金流量为（n1）G。 1等差系列终值公式（已知 G 求 F ） 该等差序

19、列的终值可以看作是若干不同年数而同时到期的资金总和，即其终值可以由各年的现金流分别折算到期末后相加得到。（1）将 (1) 式左右两边同时乘以 (1i )，得式 (2) ：(2) 式减 (1) 式，得式 (3) ：再将 (3) 式左右两边同时乘以 (1i )，得式(4) ：(4) 式减 (3) 式，得：经整理后就可得到等差系列终值公式：(2)(3)(4)等差系列终值 (复利) 因子 (Gradient Series Compound Amount Factor)等额分付终值（复利）因子(Uniform Series Compound Amount Factor)2等差系列现值公式（已知 G 求

20、P ） 将一次支付终值公式代入等差系列终值公式消去 F 可得：等差系列现值因子 (Gradient Series Present Worth Factor)等额分付现值因子 (Uniform Series Present Worth Factor)一次支付现值因子(Single Payment Present Worth Factor)3等差系列年值公式（已知 G 求 A ） 即根据 G 求与之等价的年等值系列 A：代入基金存储公式 将等差系列终值公式 经整理得：等差系列年值因子 (Gradient Series Annual Worth Factor)【例49】 有一项水利工程，在最初10年

21、内，效益逐年成等差增加，具体各年效益如下： 已知 i7，试问： 到第10年末的总效益为多少？（假定效益发生在年末） 这10年的效益现值（第1年年初）为多少？ 这些效益相当于每年均匀获益多少？ 解：绘制现金流量图如下：由等差支付系列计算公式的推导过程可知，如果要直接利用等差系列公式进行计算，就必须满足一定的前提条件，即：系列的第一个值必须为0，现值折算基准点为系列的第1年（现金流量为0的那一年）的年初。 水平线将等差系列分为两部分：上半部分依然是一个G100的等差系列，且n10年；下半部分成为一个等额系列，且A100，n10。两个系列的计算基准点均为图中的0点。a=100 十年后的效益终值为：

22、十年的效益现值为： 由于在 中已求得系列的终值 F，因此也可以用一次支付现值公式将终值 F 直接折算为现值 P： 相当于每年均匀获益为：另一种思路：n = 11等差递减系列的情况四、资金等值计算基本公式小结此外，还有等比系列计算公式和连续计息计算公式。FPAGFGFAPGPA复利计算公式之间的关系29个计算公式一次支付等额多次等差多次第三节 名义年利率与实际年利率 在工程经济分析中，一般复利计算都以年为计息周期，给出和采用的利率一般都是年利率。但在实际经济活动中，计息周期也可能小于年，如半年、季度、月、周，甚至天。这样就出现了不同计息周期的利率换算问题。 所谓名义年利率是指计息周期小于年，且按单利法计算出来的年利率。 例如：计息周期为月，若月利率为1，通常说成是“年利率12，按月计息”，这里年利率12就是“名义年利率”。概 念名义年利率 每一计息周期的利率 每年的计息周期数名义年利率忽略了利息的时间价值，是按单利法计算的一年所得利息与本金之比。若按单利计息，名义年利率与实际年利率是