集合论习题选讲 (2)

1、 1第二部分第二部分 集合论集合论 例题选讲例题选讲1.1. 设设A A，B B为任意集合，为任意集合，A=B A=B 充分必要条件是充分必要条件是 A-B =B-A A-B =B-A ? ?2.2. A A为实数集，为实数集， x x，yAyA，xRyxRy x-yx-y=2=2；则；则R R为等价关系为等价关系? ?3.3. 若若A=P(X)A=P(X)，|X|X| 2 2， x x，y Ay A，xRyxRy x x y y y y x x，则，则R R为等价关系为等价关系 ? ?4.4. 设设A=aA=a，则，则, P(P(AP(P(A) ) ？5.5. 设设f f：N NNN,fNN

2、,f()=)=xyxy, ,则则f f是满射的是满射的 ? ? 26.6. 若集合若集合A=B=CA=B=C，则，则A A （B B C C）= =（A A B B） C ?C ?7.7. 设设R R为为A A上的关系，则上的关系，则R R在在A A上自反当且仅当上自反当且仅当RIRIA A= ?= ?8.8. 设设R R为非空集合为非空集合A A上的等价关系，则上的等价关系，则R R一定是偏序关系一定是偏序关系? ?9.9. 两个可数集的笛卡儿积是可数集两个可数集的笛卡儿积是可数集? ? 10.10.集合的幂集集合的幂集P P（B B）关于集合的对称差运算和并运算构）关于集合的对称差运算和并

3、运算构成环成环 ? ? 311.11.设设A A、B B、C C为任意集合，证明：为任意集合，证明：（1 1）（）（A-BA-B）- C = A - (BC)- C = A - (BC)（2 2）(A-B)-C=(A-C)- (B-C)(A-B)-C=(A-C)- (B-C)证明：（证明：（1 1）(A-B)-C = (A(A-B)-C = (AB)B)C C = A(= A(BBC) = AC) = A(BC)(BC) = A - (BC) = A - (BC) （2 2） (A-C)- (B-C)= (A(A-C)- (B-C)= (AC)C)(B(BC)C) =(A =(AC)(C)(B

4、C)BC) = (A = (AC)C)B)(AB)(AC)C)C)C) =(A =(AC)C)B =(AB =(AB)B)C C =(A-B) =(A-B)C =(A-B)-C C =(A-B)-C 412.12.设设A A、B B为任意集合，证明：为任意集合，证明： q (1) P(A)P(B) = P(AB) (1) P(A)P(B) = P(AB) q (2) P(A)P(B) (2) P(A)P(B) P(AB)P(AB)q 针对（针对（2 2）举一反例，说明）举一反例，说明P(A)P(B) = P(AB)P(A)P(B) = P(AB)对对某些集合某些集合A A和和B B是不成立的是

5、不成立的q 证明：证明：(1) (1) 先证先证 P(A)P(B)P(A)P(B) P(AB) P(AB)q xP(A)P(BxP(A)P(B), ), 则则 xP(AxP(A) ) xP(BxP(B) )q 所以所以 x x A A x x B Bq 所以所以 x x AB, AB, 即即 xP(ABxP(AB) )q 因此因此 P(A)P(B)P(A)P(B) P(AB) P(AB) 5q 再证再证 P(AB) P(AB) P(A)P(B) P(A)P(B)q xP(ABxP(AB) )q 则则 x x AB AB q 所以所以 x x A A x x B Bq 所以所以 xP(AxP(A

6、) ) xP(BxP(B) )q 所以所以 xP(A)P(BxP(A)P(B) )q 因此因此 P(AB)P(AB) P(A)P(B) P(A)P(B)q 综上所述综上所述 P(AB) = P(A)P(B) P(AB) = P(A)P(B) 6q (2)(2) P(A)P(B)P(A)P(B) P(AB) P(AB) q xP(A)P(BxP(A)P(B) )q 则则 xP(AxP(A) ) xP(BxP(B) )q 所以所以 x x A A x x B Bq 若若x x A A, ,则则 x x AB ABq 所以所以 xP(ABxP(AB) )q 若若x x B B, ,则则 x x AB

7、 ABq 所以所以 xP(ABxP(AB) )q 因此因此 P(A)P(B)P(A)P(B) P(AB) P(AB) 7q (3)(3) 举例：举例：q 令令A=1,B=2A=1,B=2q 则则 AB=1AB=1，22q 则则P(A)=P(A)=，11，P(B)=P(B)=，22q 而而P(AB)=P(AB)=，1,2,1,21,2,1,2q 显然显然P(A)P(B)= P(AB)P(A)P(B)= P(AB)不成立不成立. . 813.13.设设R R是是A A上的自反和传递关系，如下定义上的自反和传递关系，如下定义A A上的关系上的关系T T，使得，使得q x, x, yAyA T T R

8、 R R Rq 证明：证明：T T是是A A上的等价关系。上的等价关系。q 证明：证明： 先证先证T T具有自反性具有自反性q xAxA, , 由于由于R R是是A A上自反关系上自反关系, , 所以所以 RRq 即即 R R RRq 由由T T的定义知：的定义知： TTq 所以所以T T具有自反性具有自反性 9q 再证再证T T具有对称性具有对称性q x,yAx,yA , ,若若 TTq 由由T T的定义知：的定义知： R RR Rq 即即 R R R R q 再由再由T T的定义知：的定义知： TTq 所以所以T T具有对称性具有对称性q 10q 再证再证T T具有传递性具有传递性q x,

9、 yx, y，zAzA , ,若若 T TT Tq 由由T T的定义知：的定义知：R RR Rq 并且并且R RR Rq 再由再由R R具有传递性知具有传递性知: R R: R Rq 再根据再根据T T的定义知的定义知: T: Tq 所以所以T T具有传递性。具有传递性。q 综上所述知综上所述知T T为为A A上的等价关系。上的等价关系。 1114.14.设设为偏序集，在为偏序集，在A A上定义新的关系上定义新的关系S S如下：如下： x, x, yAyA xSyxSy yRxyRx 称称S S为为R R的对偶关系的对偶关系q (1) (1) 证明证明S S也是也是A A上的偏序关系。上的偏序

10、关系。q (2) (2) 如果如果R R是整数集合上的小于或等于关系，那么是整数集合上的小于或等于关系，那么S S是是什么关系？如果什么关系？如果R R是正整数集合上的整除关系，那么是正整数集合上的整除关系，那么S S是什么关系是什么关系? ?q (3) (3) 偏序集偏序集和和AS中的极大元、极小元、最中的极大元、极小元、最大元、最小元等之间有什么关系？大元、最小元等之间有什么关系？ 12q 证明：证明：(1)(1)证明证明S S也是也是A A上的偏序关系上的偏序关系。q 先证先证S S具有自反性具有自反性q xAxA 由于由于R R具有自反性，所以具有自反性，所以 RRq 由由S S的定义

11、知：的定义知：S , S , 所以所以S S具有自反性。具有自反性。q 再证再证S S具有反对称性具有反对称性q x x，y A,y A,若若S S 并且并且SSq 那么由那么由S S的定义知：的定义知：RR并且并且RRq 由于由于R R是偏序关系，所以是偏序关系，所以R R具有反对称性具有反对称性, , 所以所以 x=yx=yq 所以所以S S具有反对称性。具有反对称性。 13q 再证再证S S具有传递性具有传递性q x x，y y，zAzA, ,若若S S 并且并且SSq 由由S S的定义知：的定义知：R R 并且并且RRq 又因又因R R为偏序关系，所以为偏序关系，所以R R具有传递性具

12、有传递性q 所以所以 RRq 再由再由S S的定义知：的定义知：SSq 所以所以S S具有传递性。具有传递性。q 综上所述综上所述S S为为A A上的偏序关系。上的偏序关系。 14q (2)(2)如果如果R R是整数集合上的小于或等于关系，那么是整数集合上的小于或等于关系，那么S S是是什么关系？如果什么关系？如果R R是正整数集合上的整除关系，那么是正整数集合上的整除关系，那么S S是什么关系是什么关系? ?q 如果如果R R是整数集合上的小于或等于关系，那么是整数集合上的小于或等于关系，那么S S是是A A上的上的大于或等于关系。大于或等于关系。q 如果如果R R是正整数集合上的整除关系，

13、那么是正整数集合上的整除关系，那么S S是正整数集是正整数集合上的倍数关系。合上的倍数关系。 15q (3)(3)偏序集偏序集和和AS中的极大元、极小元、最大元、中的极大元、极小元、最大元、最小元等之间有什么关系？最小元等之间有什么关系？q 偏序集偏序集极大元是极大元是AS中的极小元，偏序集中的极小元，偏序集q 极小元是极小元是AS中的极大元、偏序集中的极大元、偏序集最大元是最大元是ASq 中的最小元，偏序集中的最小元，偏序集最小元是最小元是AS中的最大元。中的最大元。 1615.15.设设R R为为A A上的关系，则上的关系，则R R在在A A上传递当且仅当（上传递当且仅当（R R R R） R R证明：必证明：必要性：若要性：若 R R在在A A上具有传递性上具有传递性 R R R R t ( R R ) t ( R R ) R ( R (因为因为R R在在A A上传递上传递) ) 所以所以 R R R R R R 充分性：若充分性：若（R R R R） R R ， R R R R R R R ( R ( 因为因为R R R R) R R) 所以所以R R在在A A上传递。上传递。 17练习：练习：1 设设A, B，C为为集合，集合，若若A B=A C，则，则B=C？2 设设A, B，C为为集合，集合，若若A B=A C，