第十三章(非正弦周期电流电路)

1、第第1313章章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路非正弦周期信号非正弦周期信号13.1周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数13.2有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率13.3非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算13.4对称三相电路中的高次谐波对称三相电路中的高次谐波13.5本章重点本章重点和信号的频谱和信号的频谱2. 2. 非正弦周期函数的有效值和平均功率非正弦周期函数的有效值和平均功率l 重点重点3. 3. 非正弦周期电流电路的计算非正弦周期电流电路的计算1. 1. 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数13.1 13.1 非正弦周期信号非正

2、弦周期信号 生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电生产实际中，经常会遇到非正弦周期电流电路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技路。在电子技术、自动控制、计算机和无线电技术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦术等方面，电压和电流往往都是周期性的非正弦波形。波形。l 非正弦周期交流信号的特点非正弦周期交流信号的特点(1) 不是正弦波不是正弦波 (2) 按周期规律变化按周期规律变化)()(nTtftf例例2示波器内的水平扫描电压示波器内的水平扫描电压周期性锯齿波周期性锯齿波例例1 1半波整流电路的输出信号半波整流电路的输出信号脉冲电路中的脉冲信号脉冲电路中的脉冲信号 Tt例例3 3交直流共存

3、电路交直流共存电路例例4 4+V Es 13.2 13.2 周期函数分解为傅里叶级数周期函数分解为傅里叶级数ttfTd )(0若周期函数满足狄利赫利条件：若周期函数满足狄利赫利条件：周期函数极值点的数目为有限个；周期函数极值点的数目为有限个；间断点的数目为有限个；间断点的数目为有限个；在一个周期内绝对可积，即：在一个周期内绝对可积，即：可展开成收敛的傅里叶级数可展开成收敛的傅里叶级数注意 一般电工里遇到的周期函数都能满足一般电工里遇到的周期函数都能满足狄利赫利条件。狄利赫利条件。直流分量直流分量基波（和原基波（和原函数同频）函数同频）二次谐波二次谐波（2倍频）倍频） 高次谐波高次谐波)cos(

4、)(110kkkmtkAAtf)cos()(1110tAAtfm)2cos(212tAm)cos(1nnmtnA周期函数展开成傅里叶级数：周期函数展开成傅里叶级数：sincos)(1110tkbtkaatfkkktkbtkatkAkkkkm111sincos )cos(也可表示成：也可表示成：kkkkkmkkkmkkkkmabAbAabaAaAarctansin cos2200系数之间的关系为：系数之间的关系为：20112011000)(d)sin()(1)(d)cos()(1d)(1ttktfbttktfattfTaAkkT求出求出A0、ak、bk便可得到原函数便可得到原函数 f(t) 的展

5、开式。的展开式。系数的计算：系数的计算：利用函数的对称性可使系数的确定简化利用函数的对称性可使系数的确定简化偶函数偶函数0 )()(kbtftf0 )()(katftf奇函数奇函数奇谐波函数奇谐波函数0 )2()(22kkbaTtftf注意 T/2t T/2f (t) o T/2t T/2f (t) otf (t)T/2To周期函数的频谱图：周期函数的频谱图：m1kAk的图形的图形 幅度频谱幅度频谱 11117 5 3 Akmok1相位频谱相位频谱 的图形的图形 1kk周期性方波信号的分解周期性方波信号的分解例例1解解图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：图示矩形波电流在一个周期内的表达式为：

6、TtTTtItiS2 020 )(m2d1d)(102/0mTTmSOItITttiTI 直流分量：直流分量：谐波分量：谐波分量：20) (dsin)(1ttktibSKK为偶数为偶数K为奇数为奇数20)cos1(0kItkkImmtT/2TSimIo0sin12)(dcos)(2020tkkIttktiamSk22k2kkkIbabAmK（k为奇数）为奇数）si的展开式为：的展开式为：)5sin513sin31(sin22tttIIimmSttt基波基波直流分量直流分量三次谐波三次谐波五次谐波五次谐波七次谐波七次谐波周期性方波波形分解周期性方波波形分解基波基波直流分量直流分量直流分量直流分量

7、+ +基波基波三次谐波三次谐波直流分量直流分量+ +基波基波+ +三次谐波三次谐波)5sin513sin31(sin22tttIIimmStT/2TSimIIS01si3si5siIS01si3si5si等效电源等效电源)5sin513sin31(sin22tttIIimmS11117 5 3 Akmo矩形波的矩形波的幅度幅度频谱频谱tT/2TSimI11117 5 3 k1o-/21kk矩形波的矩形波的相位频谱相位频谱20200)(dcos 0)(dsinttkttk13.3 13.3 有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率1. 1. 三角函数的性质三角函数的性质正弦、余弦信号一个

8、周期内的积分为正弦、余弦信号一个周期内的积分为0。k整数整数 sin2、cos2 在一个周期内的积分为在一个周期内的积分为。)(dcos )(dsin202202ttkttk 0)(dsinsin 0)(dcoscos0)(dsincos202020ttptkttptkttptkpk 三角函数的正交性三角函数的正交性2. 2. 非正弦周期函数的有效值非正弦周期函数的有效值)cos()(10kkkmtkIIti若若则有效值则有效值: :)(dcos1)(d1201002ttkIITttiTITkkkmT)(dcos12010ttkIITITkkkm d)(cos102122TkkkmIttkIT

9、 d102020TItIT 0d)cos(2100TkttkIT 0d)cos()cos(210TqqmkkmttqItkITqk 21220kkmIII 周期函数的有效值为直流分量及各周期函数的有效值为直流分量及各次谐波分量有效值平方和的方根。次谐波分量有效值平方和的方根。 222120 IIII结论3. 3. 非正弦周期函数的平均值非正弦周期函数的平均值00d)(1IttiTIT其直流值为：其直流值为：)cos()(10kkkmtkIIti若若其平均值为：其平均值为：TavttiTI0d)(1正弦量的平均值正弦量的平均值(绝对平均值绝对平均值)为：为： 898. 0dcos10TmavIt

10、tITI4.4.非正弦周期交流电路的平均功率非正弦周期交流电路的平均功率TtiuTP0d1)cos()(10ukkkmtkUUtu)cos()(10ikkkmtkIIti利用三角函数的正交性，得：利用三角函数的正交性，得：.)( cos210100PPPIUIUPikukkkkkk平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率 coscos 22211100IUIUIUP结论 13.4 13.4 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路的计算的计算1. 1. 计算步骤计算步骤对各次谐波分别应用相量法计算；（注意对各次谐波分别应用相量法计算；（注意: :交流交流各谐

11、波的各谐波的 XL、XC不同，对直流不同，对直流 C 相当于开路、相当于开路、L 相于短路。）相于短路。）利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若利用傅里叶级数，将非正弦周期函数展开成若干种频率的谐波信号；干种频率的谐波信号；将以上计算结果转换为瞬时值迭加。将以上计算结果转换为瞬时值迭加。2. 2. 计算举例计算举例例例1方波信号激励的电路。求方波信号激励的电路。求u, 已知：已知：s28. 6 A157pF1000 mH1 20TICLRm、tT/2TSimI解解(1) (1) 方波信号的展开式为：方波信号的展开式为：)5sin51 3sin31(sin22tttIIimmSs28. 6 ,

12、A157 TIm代入已知数据：代入已知数据：0RLCuSi直流分量：直流分量：A5 .78215720IImA 10014.357.1221mmII基波最大值：基波最大值：A205115mmII五次谐波最大值：五次谐波最大值：rad/s101028.614.32266T角频率：角频率：三次谐波最大值：三次谐波最大值：A3.333113mmIIA5 .780SI 电流源电流源各频率的谐波分量为：各频率的谐波分量为：A10sin10061tisA103sin310063tisA105sin510065tis （2 2） 对对各次谐波分量单独计算：各次谐波分量单独计算：（a) a) 直流分量直流分量

13、 IS0 作用作用A5 .780SI电容断路，电感短路电容断路，电感短路mV57. 1105 .7820600SRIURu0SI（b)基波作用基波作用A 10sin10061tisk11010k110100010113611261LCk50)( j)j ()j()(1RCLRXXXXRXXRZCLCLCLXLRmV2500050210100(6111）ZIURLCu1Si(c)三次谐波作用三次谐波作用A 103sin310063tis03333119.895 .374)( j)j)(j()3(CLCLXXRXXRZk3101033k33. 01010001031313611261LC06133

14、19.895 .3742103 .33)3(ZIUSmV2 .89247.120RLCu3Si(d)五次谐波作用五次谐波作用A105sin510065tis53.893 .208)5( j)j)(j()5(55551CLCLXXRXXRZk5101055k2 . 01010001051513611261LCmV53.892166. 453.893 .20821020)5(615s5ZIURLCu5Si (3)各各谐波分量计算结果瞬时值迭加：谐波分量计算结果瞬时值迭加：mV)53.895sin(166.4 )2 .893sin(47.12 sin500057.15310tttuuuUumV57.

15、 10UmV2 .89247.123UmV250001UmV53.892166. 45UV. )42000cos(601000cos12030: ttu已知已知求电路中各表读数求电路中各表读数( (有效值有效值) ) 。例例2V1L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30bcdA3A2V2V1A1a解解(1)u0=30V作用于电路，作用于电路，L1、L2短路，短路，C1、C2开路。开路。i0= iL20 = u0/R =30/30=1A, iC10=0, uad0= ucb0 = u0 =30VaiiC1iL2L1C1C2L240mH10mHu+_25F25F30bcdaiC10i

16、L20L1C1C2L2+_30bcdu0i0(2) u1=120cos1000t V作用作用40102510001111010101000 40104010006213231CCLLV01201U00cb1211UIILA90340j0120j1111UCICV012011adUU1U1I11CI21LIj40j40j40j10a+_30bcd并联谐振并联谐振(3) u2=60cos(2000t+ /4)V作用作用20102520001212120101020002 ,801040200026213231CCLLV45602UA45320j4560j22122LUIL0122CIIV4560

17、0 2cb2ad2UUU2I12CI22LIj80j20j20j202Ua+_30bcd并联谐振并联谐振i=i0+ i1 + i2 =1A 所求电压、电流的瞬时值为：所求电压、电流的瞬时值为：iC1= iC10 +iC11 +iC12 =3cos(1000t+90) AiL2= iL20 +iL21 +iL22 =1+3cos(2000t 45) Auad= uad0 + uad1 + uad2 =30+120cos1000t Vucb= ucb0 + ucb1 + ucb2 =30+60cos(2000t+45) VA 1I表表A1的读数：的读数：2.12A 2/3表表A2的读数：的读数：A

18、35. 2)2/3(122表表A3的读数：的读数：V90)2/120(3022表表V1的读数：的读数：V0 .52)2/60(3022表表V2的读数：的读数：例例3已知已知u(t)是周期函数，波形如图，是周期函数，波形如图，L=1/2 H，C=125/ F，求理想变压器原边电流求理想变压器原边电流i1(t)及输及输出电压出电压u2的有效值。的有效值。2410.5u/Vt/ms12解解rad/s102/23T) cos(1212)(ttuA5 . 18/121i（1 1）当）当u=12V作用时，作用时，电容开路、电感短路，电容开路、电感短路，有：有：02u*C1i2i+2u+2 : 18Lu*o

19、作作用用时时( (2 2) )当当) cos(12 tu410125102163CXC-j42Uj0012*1I+2 : 18*2I00121I+8j4-j4+1U1102110233LXLA3 j4 j124 j1UIV01201UUV061012UnUV243. 4262UA)90cos(35 . 101ti振幅相量振幅相量例例4求求Uab、i、及功率表的读数。及功率表的读数。V)303cos(2100cos2220 Vcos2220021ttutu : :已知已知解解一次谐波作用：一次谐波作用：V04400)1(abUA4 .1896. 620j604400)1(I三次谐波作用：三次谐波

20、作用：V301000)3(abUA1518. 160j603010000)3(IV22.45110044022abUA)153cos(218. 1)4 .18cos(296. 600ttiW92.14524 .18cos96. 6220P测的是测的是u1的功率的功率I+60j20+1UWab2U*例例5L=0.1H，C31F，C1中只有基波电流，中只有基波电流，C3中中只有三次谐波电流，只有三次谐波电流，求求C1、C2和各支路电流。和各支路电流。A 3000cos101000cos205ttis: :已已知知解解FLC52210911C1中只有基波电流，说明中只有基波电流，说明L和和C2对三次

21、谐波发对三次谐波发生并联谐振。即：生并联谐振。即：1i100LC3C2C1200Si2i3i1i100LC3C2C1200Si2i3i0)1( jj1221CLCLC C3中只有三次谐波电流，说明中只有三次谐波电流，说明L、C1、C2对一对一次谐波发生串联谐振。即：次谐波发生串联谐振。即：F109851C直流作用：直流作用：5AS1 iiA 1000cos20)(S2titi一次谐波作用：一次谐波作用：三次谐波作用：三次谐波作用：A4823. 2310j2001001010003)3(3IA1167. 810j930100)3(3)3( 1IIISA)113000cos(67. 85)(01t

22、tiA)483000cos(23. 2)(03tti1i100LC3C2C1200Si2i3i2iSi1i100C3200Si3i 13.5 13.5 对称三相电路中的高次谐波对称三相电路中的高次谐波)(AtuuBC2(),()33TTuu tuu tBC2(),()33TTuu tuu t设设展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数( ( k 为奇数为奇数) ) ，则有：，则有：Am( )1cos()kkuUkt Bm( )12 cos()3kkkuUkt Cm( )12 cos()3kkkuUkt A相相B相相C C相相 1. 1. 对称三相电路中的高次谐波对称三相电路中的高次谐波令令 k =6n

23、+1，(n =0,1,2)，即：即：k =1,7,13 讨论各相的初相分别为：各相的初相分别为： A相相B相相C C相相)(k2(4 )3kn2(4 )3kn正序对称正序对称三相电源三相电源令令 k =6n+3，即：即：k =3,9,15 各相的初相分别为：各相的初相分别为： 零序对称零序对称三相电源三相电源令令 k =6n+5，即：即：k =5,11,17 A相相B相相C C相相)(k(21)2)kn(21)2)knA相相B相相C C相相)(k2(22)2)3kn2(22)2)3kn各相的初相分别为：各相的初相分别为： 负序对称负序对称三相电源三相电源结论三相对称的非正弦周期量（奇谐波）可分解为三相对称的非正弦周期量（奇谐波）可分解为3 3类对称组，即正序对称组、负序对称组和零序类对称组，即正序对称组、负序对称组和零序对称组。对称组。在上述对称的非正弦周期电压源作用下的对称三在上述对称的非正弦周期电压源作用下的对称三相电路的分析计算，按相电路的分析计算，按3 3类对称组分别进行。对于类对称组分别进行。对于正序和负序对称组，可直接引用第正序和负序对称组，可直接引用第1212章的方法和章的方法和有关结论，有关结论， 2. 2. 零序组分量的响应零序组分量