高三数学专题七曲线的性质和轨迹问题ppt课件

1、专题七专题七 曲线的性质和轨迹问题曲线的性质和轨迹问题 【考点搜索】【考点搜索】【考点搜索】【考点搜索】 1.掌握圆锥曲线的第一定义和第二定掌握圆锥曲线的第一定义和第二定义反映的几何性质；义反映的几何性质； 2.求曲线的方程的常见方法：求曲线的方程的常见方法： 待定系数法，即先确定方程的方待定系数法，即先确定方程的方式，再确定方程的系数；式，再确定方程的系数； 定义法，即根据知条件，建立坐定义法，即根据知条件，建立坐标系、列出标系、列出x和和y的等量关系、化简关系的等量关系、化简关系; 代入法代入法; 参数法参数法.【课前导引】【课前导引】【课前导引】【课前导引】 1. 知知F1、F2是双曲线

2、是双曲线 的两焦点，以线段的两焦点，以线段F1F2为边为边作正三角形作正三角形MF1F2，假设边，假设边MF1的中点的中点在双曲线上，那么双曲线的离心率是在双曲线上，那么双曲线的离心率是( )12222 byax)0, 0( ba13D. 213C. 13B. 324 A. 解析解析 设的中点为设的中点为P P，依题意，依题意， ,212aPFPF 13132,23 aceacc故故 解析解析 设的中点为设的中点为P P，依题意，依题意， ,212aPFPF 13132,23 aceacc故故 答案答案 D D2. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：以下四个关于圆锥曲线的命题中：设设A、B为两个定

3、点，为两个定点，k为非零常数，为非零常数， ，那么动点，那么动点P的轨迹的轨迹为为 双曲线；双曲线；过定圆过定圆C上一定点上一定点A作圆的动点弦作圆的动点弦AB， O为坐标原点，假设为坐标原点，假设 那么动点那么动点P的轨迹为椭圆；的轨迹为椭圆；kPBPA |),(21OBOAOP 方程方程 的两根可分别作的两根可分别作 为椭圆和双曲线的离心率；为椭圆和双曲线的离心率； 02522 xx有有与与椭椭圆yxyx双曲线双曲线 一样的焦点一样的焦点. 其中真命题的序号为其中真命题的序号为_写写出一切真命题的序号出一切真命题的序号 解析解析 的轨迹能够是双曲线的的轨迹能够是双

4、曲线的一支，也能够是一条射线，也能够一支，也能够是一条射线，也能够无轨迹；无轨迹； 的轨迹是圆；计算知的轨迹是圆；计算知正确。正确。【链接高考】【链接高考】 【链接高考】【链接高考】 .| , 0, ,1:,)05( 221222221OPOBOAPFPFOCPCBAbyaxCFF 已已知知坐坐标标原原点点为为上上一一点点是是椭椭圆圆的的右右顶顶点点和和上上顶顶点点圆圆分分别别是是椭椭、的的左左右右焦焦点点圆圆是是椭椭设设如如图图届届长长郡郡月月考考题题xyAPF1F2OB 例例11(1)设椭圆的离心率为，证明设椭圆的离心率为，证明 (2)证明：证明： (3)设设 求椭圆的方程求椭圆的方程.

5、;212 e;PAOP , 15 PAxyAPF1F2OB 解析解析 ,0 )1(221cOFOPPFPF 知知由由,),(,22112rPFrPFyxPcab 设设依题设有依题设有22122221212,4,2brrcrrarr 有有则则.,22cbycyb 由由面面积积相相等等得得212222 ecacbcby xyAPF1F2OB( 另：由另：由ab=c2知：知：) 21251,21111)(222244222422 eeeeeccaacba或解出或解出xyAPF1F2OB(2) 由由(1)有有 cby2 bcbccbbacbccbcycx 224224424222),(),(22cbb

6、aPAcbbP 那那么么则则xyAPF1F2OB0)1( )(222222222224224 cccbaccbbccbbabcbbabPAOPPAOP xyAPF1F2OB1515 )3( bPA即即215:, 012242 eeecab解解得得得得由由22,222222 aacbacbac有有则则xyAPF1F2OB1526422 yx故所求椭圆的方程为故所求椭圆的方程为xyAPF1F2OB1526422 yx故所求椭圆的方程为故所求椭圆的方程为 阐明阐明 此题采用了待定系数法求轨迹方程此题采用了待定系数法求轨迹方程. .xyAPF1F2OB 例例2 2 在在ABCABC中中, , 知知B(

7、-3,0), C(3,0), B(-3,0), C(3,0), 的垂心的垂心H H分有向分有向线段线段 所成的比为所成的比为 ABCDBCAD ,于于AD.81(1) 分别求出点分别求出点A和点和点H的轨迹方程的轨迹方程;?1,1,1),0 , 1(),0 , 1()2( 为为什什么么能能成成等等差差数数列列吗吗那那么么设设QHPQHPQP 解答解答 设设H H点的坐标为点的坐标为(x,y),(x,y),对应的对应的A A的坐标的坐标为为(x1, y1), (x1, y1), 那么那么D D的坐标为的坐标为(x1, 0), (x1, 0), 由由H H分分有向线段有向线段 知知所所成成的的比比

8、为为81AD 1198yyxxACBH 又又13311 xyxy, 13893 xyxy故故),0( 18922 yyx即即此即点此即点H的轨迹方程的轨迹方程.得得代代入入上上式式再再将将,9811 yyxx,yx, 181892121 yx即即).0( 1818922 yyx的的轨轨迹迹方方程程为为故故点点A (2)由由(1)可知可知, P, Q分别为椭圆的左右焦分别为椭圆的左右焦点点, 设设H(x, y), 且且数列数列, 那么那么 能能成成等等差差QHPQHP1,1,1但但,112HQHPPQ 故故,313,313, 2xHQxHPPQ 27,313131312

9、22 xxx化化简简得得.1,1,1不不可可能能成成等等差差数数列列故故QHPQHP!, 03191822矛矛盾盾但但此此时时 xy.1,1,1不不可可能能成成等等差差数数列列故故QHPQHP!, 03191822矛矛盾盾但但此此时时 xy 阐明阐明 此题采用了代入法求轨迹方程此题采用了代入法求轨迹方程. . 例例3 3 如图，设抛物线的焦点为如图，设抛物线的焦点为F F，动，动点点P P在直线上运动，过在直线上运动，过P P作抛物线作抛物线C C的两的两条切线条切线PAPA、PBPB，且与抛物线，且与抛物线C C分别相切分别相切于于A A、B B两点两点. . (1) (1)求求APBAPB

10、的重的重心心G G的轨迹方程的轨迹方程. . (2) (2)证明证明PFA=PFA=PFB.PFB.ABPFOyxl 解答解答 (1) (1)设切点设切点A A、B B坐标分别为坐标分别为 )(,(),(01211200 xxxxxx 和和; 02:200 xyxxAP的的方方程程为为切切线线; 02:211 xyxxBP的方程为的方程为切线切线1010,2:xxyxxxPPP 点的坐标为点的坐标为解得解得ABPFOyxl所以所以APB的重心的重心G的坐标为的坐标为 ,310PPGxxxxx ,2433210212010PPPGyxxxxxyyyy ABPFOyxl).24(31, 02)43

11、(22 xxyxyx即即:,43 2迹迹方方程程为为的的轨轨从从而而得得到到重重点点上上运运动动直直线线在在由由点点所所以以GlPxyyGGp ABPFOyxl).41,(),41,2(),41,(:1)2( 2111010200 xxFBxxxxFPxxFA因为因为方法方法由于由于P点在抛物线外，点在抛物线外，. 0| FP则则ABPFOyxl|41)41(|)41)(41(2|cos10220202010010FPxxxxFPxxxxxxFAFPFAFPAFP ABPFOyxl|41)41(|)41)(41(2|cos10221212110110FPxxxxFPxxxxxxFBFPFBFP

12、BFP 同理有同理有AFP=PFB.ABPFOyxl. 041)41(,4141:;2|:),0 ,2(, 0, 0,0)1( 1121121111000101 xyxxxxxxyBFxdAFPxPyxxxxx即即的方程为的方程为直线直线而而的距离为的距离为点到直线点到直线则则点坐标为点坐标为所以所以则则设设不妨不妨由于由于时时当当方法方法2：2|412|)41()()41(|42)41( |:1211212122111212xxxxxxxxxdBFP 的距离为的距离为点到直线点到直线所以所以所以所以d1=d2，即得，即得AFP =PFB., 041)41(),0(04141:,0)2(002

13、002021 xyxxxxxxyAFxx即即的方程的方程直线直线时时、当当所以所以P点到直线点到直线AF的间隔为：的间隔为：|2|41)41( |2|)41(|41)2)(41( |1020201020220012010201xxxxxxxxxxxxxxd 同理可得到同理可得到P点到直线点到直线BF的间隔的间隔 2|012xxd 因此由因此由d1=d2，可得到，可得到AFP=PFB.同理可得到同理可得到P点到直线点到直线BF的间隔的间隔 2|012xxd 因此由因此由d1=d2，可得到，可得到AFP=PFB. 阐明阐明 此题采用了代入法求轨迹方程此题采用了代入法求轨迹方程. . 例例4 4 如

14、右图如右图, , 知知A: (x+2)2+y2 = A: (x+2)2+y2 = 425 B: (x2)2+y2 = , 动圆动圆P与与 A、 B都相外切都相外切. 41yxABP (1)动圆圆心动圆圆心P的的轨迹方程；轨迹方程； (2)假设直线假设直线y=kx+1与与(1)中的曲中的曲线有两个不同的交点线有两个不同的交点P1、P2，求，求k的取值的取值范围范围. 解答解答 (1) (1)依题意，依题意，PAPAPB= PB= 22125 故故P的轨迹是双曲线的右支，的轨迹是双曲线的右支，a=1，c=2，其方程为：其方程为： )1(1322 xyxyxABP(2)联立方程组联立方程组:1312

15、2得得消消yyxkxy (*)042)3(22 kxxk在在1, +)有两不同的解，有两不同的解， 012)1(0)3(164132222kkfkkkk则则)3,213()3, 2( 的范围是的范围是解得解得k 例例5 A5 A、B B是抛物线是抛物线 y2 = 2px(p0) y2 = 2px(p0)上上的的两点，且两点，且OAOBOAOB， 1. 1. 求求A A、B B两点的横坐标之积两点的横坐标之积和纵坐标之积；和纵坐标之积； 2. 2. 求证：直线求证：直线ABAB过定点；过定点； 3. 3. 求弦求弦ABAB中点中点P P的轨迹方程；的轨迹方程； 4. 4. 求求AOBAOB面积的

16、最小值；面积的最小值； 5. 5. 求求O O在在ABAB上的射影上的射影M M轨迹方轨迹方程程. . 解答解答 (1) (1)设设A(x1, y1)A(x1, y1)，B(x2, y2)B(x2, y2)，中点，中点P(x0, y0)P(x0, y0)， 2211,xykxykOBOA OAOB kOAkOB=-1， x1x2+y1y2=0 y12 = 2px1，y22 = 2px2 022212221 yypypy y10, y20, y1y2=4p2 x1x2=4p2.(2) y12=2px1，y22=2px2 (y1y2)(y1+y2) = 2p(x1x2)2121212yypxxyy

17、 212yypkAB )(2:1211xxyypyyAB 直直线线21112122yypxyyypxy 21211212122yyyypxyyypxy 2211214,2pyypxy 2122142yypyypxy )2(221pxyypy AB过定点过定点(2p, 0)，设，设M(2p, 0).(3)设设OA y = kx，代入，代入y2=2px 得得: x=0， )2,2(2kpkp同理，同理， 以代以代k得得B(2pk2, -2pk) .k1 )1()1(0220kkpykkpx2)1(1222 kkkkk2)(200 pypx即即 y02 = px0-2p2， 中点中点M轨迹方程轨迹方

18、程 y2 = px-2p2|)|(|)|(|212121yypyyOMSSSBOMAOMAOB (4)2214|2pyyp 当且仅当当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立时，等号成立. (5)法一：设法一：设H(x3, y3), 那么那么 33xykOH 33yxkAB )(:3333xxyxyyAB 得得代代入入即即pyxyyxyx2)(23333 , 02223323332 pxxpyxpyy由由(1)知，知，y1y2=-4p2， 23323422ppxxpy 整理得：整理得：x32+y32 -2px3=0， 点点H轨迹方程为轨迹方程为x2+y2-4x=0(去掉去掉(0, 0). H

19、在以在以OM为直径的圆上为直径的圆上 点点H轨迹方程为轨迹方程为(x-p)2+y2=p2, 去掉去掉(0, 0). 评注：此类问题要充分利用评注：此类问题要充分利用(1)的结论的结论. 法二：法二： OHM=90, 又由又由(2)知知OM为定线段为定线段专题七专题七 曲线的性质和轨迹问题曲线的性质和轨迹问题 第二课时第二课时【考点搜索】【考点搜索】【考点搜索】【考点搜索】 1. 在求动点轨迹方程的过程中，一是寻觅在求动点轨迹方程的过程中，一是寻觅与动点坐标有关的方程等量关系，偏重于与动点坐标有关的方程等量关系，偏重于数的运算，一是寻觅与动点有关的几何条件，数的运算，一是寻觅与动点有关的几何条件

20、，偏重于形，注重图形几何性质的运用；偏重于形，注重图形几何性质的运用； 2. 留意向量与解析几何的亲密联络留意向量与解析几何的亲密联络.由于向由于向量具有几何方式和代数方式的量具有几何方式和代数方式的“双重身份，双重身份，使向量与解析几何之间有着亲密联络，大量的使向量与解析几何之间有着亲密联络，大量的轨迹问题都是以向量作为背景编拟的轨迹问题都是以向量作为背景编拟的 ； 3.留意利用曲线系解题留意利用曲线系解题.【课前导引】【课前导引】 1. 知反比例函数知反比例函数 的图像是等的图像是等轴双曲线，那么其焦点坐标是轴双曲线，那么其焦点坐标是 ( )xy3 【课前导引】【课前导引】A.B.C.D.

21、)6,6(),6,6( )3,3(),3,3( )32 ,32(),32,32( )62,62(),62 ,62( 解答解答 双曲线的实轴为直线双曲线的实轴为直线 x-y = 0, x-y = 0, 故故两个顶点坐标两个顶点坐标为为 , , 且且 )0 ,3(),0 ,3( ).6,6(),6,6(,3226,623 焦焦点点坐坐标标是是图图像像知知结结合合ca 解答解答 双曲线的实轴为直线双曲线的实轴为直线 x-y = 0, x-y = 0, 故故两个顶点坐标两个顶点坐标为为 , , 且且 )0 ,3(),0 ,3( ).6,6(),6,6(,3226,623 焦焦点点坐坐标标是是图图像像知

22、知结结合合ca 答案答案 A A 2. 知圆知圆x2+y2=1，点，点A(1，0)，ABC内内接于此圆，接于此圆，BAC=60o，当，当BC在圆上运动在圆上运动时，时，BC中点的轨迹方程是中点的轨迹方程是( )A. x2+y2 = 21B. x2+y2 = 41C. x2+y2 = )21(21 xD. x2+y2 = )41(41 x 解析解析 记记O O为原点，依题意，为原点，依题意，且且OB=OC=1, OB=OC=1, 故原点到直线故原点到直线BCBC的间隔为的间隔为由图像可知，由图像可知，BCBC中点的横坐标小于中点的横坐标小于应选应选D. D. ,32 BOC,21，41【链接高考

23、】【链接高考】【链接高考】【链接高考】 例例1 1 假设直线假设直线mx+y+2=0mx+y+2=0与线段与线段ABAB有有交点，其中交点，其中A(-2, 3)A(-2, 3)，B(3, 2)B(3, 2)，务虚，务虚数数m m的取值范围的取值范围. . 解答解答 直线直线mx+y+2=0mx+y+2=0过一定点过一定点C(0, -2), C(0, -2), 直直线线mx+y+2=0mx+y+2=0实践上表示的是过定点实践上表示的是过定点(0, -2)(0, -2)的的直线系，由于直线与线段直线系，由于直线与线段ABAB有交点，那么直线有交点，那么直线只能落在只能落在ABCABC的内部，设的内

24、部，设BCBC、CACA这两条直线这两条直线的斜率分别为的斜率分别为k1k1、k2k2，那么由斜率的定义可知，那么由斜率的定义可知，直线直线mx+y+2=0mx+y+2=0的斜率的斜率k k应应满足满足kk1kk1或或kk2kk2， A(-2, 3) B(3, 2) A(-2, 3) B(3, 2) 25 3421 kk25342534 mmmm或或即即或或C(0, -2)ABxyO 阐明阐明 此例是典型的运用数形结合的思想此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题，这里要清楚直线来解题的问题，这里要清楚直线mx+y+2=0mx+y+2=0的斜率的斜率m m应为倾角的正切，而当倾角在应为倾角的

25、正切，而当倾角在(0(0, 90, 90) )或或(90(90, 180, 180) )内，角的正切内，角的正切函数都是单调递增的，因此当直线在函数都是单调递增的，因此当直线在ACBACB内部变化时，内部变化时，k k应大于或等于应大于或等于kBCkBC，或者，或者k k小小于或等于于或等于kACkAC，当，当A A、B B两点的坐标变化时，两点的坐标变化时，也要能求出也要能求出m m的范围的范围. . 例例2 2 根据以下条件，求双曲线方程根据以下条件，求双曲线方程. .).2 ,23( ,1416)2();32 , 3( ,1169)1(2222且且过过点点有有公公共共焦焦点点与与双双曲曲

26、线线且且过过点点有有共共同同渐渐近近线线与与双双曲曲线线 yxyx 解答解答 方法一：方法一：,34116922xyyx 的的渐渐近近线线为为双双曲曲线线(1),)0(34)32 , 3(, 432, 4, 3轴轴上上双双曲曲线线焦焦点点在在轴轴负负半半轴轴之之间间及及在在射射线线故故点点因因令令xxxxyyx 故故设设双双曲曲线线方方程程为为),0, 0( , 12222 babyax 1)32()3(342222baab 44922ba解之得：解之得：. 144922 yx双双曲曲线线方方程程为为)0, 0( 1)2(2222 babyax设设双双曲曲线线方方程程为为 12)23(2022

27、2222baba那那么么 81222ba， 解之得：解之得： . 181222 yx双双曲曲线线的的方方程程为为方法二：方法二：(1)设双曲线方程为设双曲线方程为 )0(16922 yx41,16)32(9)3(22 . 144922 yx双双曲曲线线方方程程为为(3)设双曲线方程为设双曲线方程为 141622 kykx 04016kk14216)23(22 kk， 解之得：解之得：k=4 双曲线方程为双曲线方程为 181222 yx).0, 0( 11.,0;,0),0(1:222222222222222222 kbkakbykaxbyaxyxbyaxbyax共共焦焦点点的的双双曲曲线线为为

28、与与双双曲曲线线轴轴上上焦焦点点在在时时当当上上轴轴焦焦点点在在时时当当方方程程为为共共渐渐近近线线的的双双曲曲线线与与双双曲曲线线评评注注 比较上述两种解法可知，引入适当比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准利用含参数方程的几何意义，可以更准确地了解解析几何的根本思想确地了解解析几何的根本思想.)0( 12222 babyax 例例3 3 知直线知直线l l与椭圆与椭圆有且仅有一个交点有且仅有一个交点Q Q，且与，且与x x轴、轴、y y轴分别交轴分别交于于R R、S S，求以线段，求以线段SRSR

29、为对角线的矩形为对角线的矩形ORPSORPS的的一个顶点一个顶点P P的轨迹方程的轨迹方程. .)0( 12222 babyax 例例3 3 知直线知直线l l与椭圆与椭圆有且仅有一个交点有且仅有一个交点Q Q，且与，且与x x轴、轴、y y轴分别交轴分别交于于R R、S S，求以线段，求以线段SRSR为对角线的矩形为对角线的矩形ORPSORPS的的一个顶点一个顶点P P的轨迹方程的轨迹方程. . 解答解答 由知，直线由知，直线l l 不过椭圆的四个顶不过椭圆的四个顶点，所以设直线点，所以设直线l l的方程为的方程为代入椭圆方程代入椭圆方程 得得).0( kmkxy，222222bayaxb .)2(22222222bamkmxxkaxb 化简后，得关于的一元二次方程化简后，得关于的一元二次方程. 02)(222222222 bamamxkaxbka于是其判别式于是其判别式 ).(4)(4)2(222222222222222mbkababamabkamka 由知，得由知，得=0即即