概率论与数理统计课件04B 重要分布

1、1第四章：重要分布第四章：重要分布1. 1. 二项分布的实际背景和数学模型及其数字二项分布的实际背景和数学模型及其数字特征。特征。2. 2. 超几何分布的实际背景和数学模型及其超几何分布的实际背景和数学模型及其数字特征。数字特征。3. 3. 能够用二项分布把实际问题模型化，并进能够用二项分布把实际问题模型化，并进行相关计算与讨论。行相关计算与讨论。2在第一章介绍过独立试验概型在第一章介绍过独立试验概型knkknqpCkP作作n n次相互独立的试验次相互独立的试验, , 每次试验事件每次试验事件A A出现的概率出现的概率为为p p, , 不出现的概率为不出现的概率为q q=1-=1-p p, ,

2、 n n次试验中事件次试验中事件A A出现出现的次数的次数 为一离散型随机变量为一离散型随机变量, ,则有则有 如假设第如假设第i i次试验时事件次试验时事件A A发生的次数为随机变量发生的次数为随机变量 i, 则则 i服从服从0-10-1分布分布, ,即即 P i=1=p, P i=0=q=1 p, (i=1,2,.,n)因此有因此有 = 1+ 2+.+ n31.二项分布二项分布其中其中0p1, q=1 p, 则称则称 服从参数为服从参数为n,p的二的二项分布项分布. 简记作简记作 B(n,p). 在这里在这里P P x x=k=k的值恰好是二项式的值恰好是二项式( (q q+ +pxpx)

3、 )n n展开式中第展开式中第k k+1+1项项x xk k的系数的系数. .如果如果 B(n,p), 则则 可看作是由可看作是由n个取个取1概率为概率为p的相互独的相互独立的立的0-1分布的随机变量分布的随机变量 i,i=1,2,.,n的和的和, 即即 = 1+ 2+.+ n), 1 , 0(nkqpCkPpknkknk如果随机变量如果随机变量 有概率函数有概率函数:4 的分布函数为的分布函数为mlkknkknmkknkknxkknkknqpCmlPmlAqpCmPmAqpCxF0)(0的概率是不大于出现次数不小于事件次的概率是至多出现事件1.二项分布二项分布5某工厂每天用水量保持正常的概率

4、为某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4, 求最近求最近6天天内用水量正常的天数的分布内用水量正常的天数的分布.178. 04360044. 0414310002. 041045166PCPP解解: : 设最近设最近6 6天内用天内用水量保持正常的天水量保持正常的天数为数为, 则则 B B(6,0.75(6,0.75), 因此因此例例16其分布表如下表所示其分布表如下表所示0123456P0.0002 0.0044 0.0330.13180.29660.3560.178概率分布图为概率分布图为:例例1710部机器各自独立工作部机器各自独立工作, 因修理调整的原因因修理调整的原因, 每部机每部机

5、器停车的概率为器停车的概率为0.2. 求同时停车数目求同时停车数目 的分布的分布. 0 01 12 23 34 45 56 67 78 89 91010P0.110.110.270.270.30.30.20.20.090.090.030.030.010.010 00 00 00 0解解: B(10,0.2), 用贝努里公式计算用贝努里公式计算P(P(k)k)如下表如下表所示所示例例28概率分布图如下图所示概率分布图如下图所示0.000.000.050.050.100.100.150.150.200.200.250.250.300.300 01 12 23 34 45 56 67 78 89 9

6、 1010例例29使概率使概率P =k取最大值的取最大值的k0称为二项分布的最可能值称为二项分布的最可能值, 如图示意如图示意由上图可知 P(=k0)P(=k0+1) 且P(=k0)P(=k01)k0k0+1 k0+2k01k02.二项分布的最可能值二项分布的最可能值10000000000000101110001110000!(1)!(1)!1!()!(1)1(1),()1(1)1,1knknkkn knkkn knkkn knkkn knCnknknkCk nknkCp qnkpCpqk qnpknppkCpqnkpCp qkqnppknppknpp 证 由得再由即二项分布的最可能值二项分布

7、的最可能值11二项分布的最可能值二项分布的最可能值01, , nppnppnppknppnpp所以,或当非整数时当非整数时12一批产品的废品率一批产品的废品率p=0.03, 进行进行20次重复抽样次重复抽样(每每次抽一个次抽一个, 观察后放回去再抽下一个观察后放回去再抽下一个), 求出现废品求出现废品的频率为的频率为0.1的概率的概率.0988.097.003.0)2(1.020182220CPP解解: 令令表示表示20次重复抽取中废品出现的次数次重复抽取中废品出现的次数, 则则B(20, 0.03)例例313一些例子一些例子(1)如果是反复地掷硬币试验掷了如果是反复地掷硬币试验掷了100次次

8、, 则则 B(100, 0.5), 最可能值是最可能值是(2)k0=100 0.5+0.5=50+0.5=50(3)如果如果 B(1000,0.3), 则最可能值是则最可能值是(4)k0=1000 0.3+0.3=300(5)在实际应用中在实际应用中, np+p正好是整数的情况几乎不存正好是整数的情况几乎不存在在,但也不排出特殊情况的可能但也不排出特殊情况的可能. 14某批产品有某批产品有80%的一等品的一等品, 对它们进行重复抽样检验对它们进行重复抽样检验, 共取出共取出4个样品个样品, 求其中一等品数求其中一等品数 的最可能值的最可能值k0, 并并用贝努里公式验证用贝努里公式验证.解解:

9、B(4, 0.8), 因np+p=40.8+0.8=4是整数, 所以k0=4和k0=3时P=k为最大, 即3和4为最可能值.01234P0.00160.02560.15360.40960.4096例例415一般说来一般说来, 在在n很大时很大时,有不等式有不等式.,111000最大即频率为概率的可能性故近似等于零和中即pnknpnpnppnknpppnpkpnp注意注意:16(1)Enp(2)Dnpq二项分布的期望和方差(3)npq17超几何分布超几何分布:解：解： 可取可取0,1,2,3,4,5这这5个值个值, 相应概率为相应概率为:)4,3 ,2, 1 ,0()(4204155kCCCkP

10、kk某班有学生某班有学生2323名名, , 其中有其中有5 5名女同学名女同学, , 今从班上任选今从班上任选4 4名学生去参观展览名学生去参观展览, , 被选到的女同学数被选到的女同学数是一个随是一个随机变量机变量, , 求求 的分布的分布. .先看一个例子先看一个例子: :18概率分布表为概率分布表为: 01234P0.28170.46960.21670.03100.0310概率分布图为概率分布图为:超几何分布超几何分布:19定义定义: 设设N个元素分为两类个元素分为两类, 有有N1个元素属于第一类个元素属于第一类, N2个元素属于第二类个元素属于第二类(N1+N2=N). 从中按不重复抽

11、从中按不重复抽样取样取n个个, 令令 表示这表示这n个中第一个中第一(或二或二)类元素的个数类元素的个数, 则则 的分布称为超几何分布的分布称为超几何分布. 其概率函数为其概率函数为:0,), 1 ,0()(21rnnNmnNmNCrnnmCCCmP则如果规定超几何分布超几何分布:20根据概率分布的性质根据概率分布的性质, 必有必有1200()1,1,mn mnnNNnmmNC CPmC即超几何分布超几何分布:12120nmn mnNNNNmC CC或者21和二项分布相比和二项分布相比, , 二项分布是有放回抽样二项分布是有放回抽样, , 而超几何而超几何分布是不放回抽样分布是不放回抽样. .

12、当在不放回抽样时当在不放回抽样时, , 超几何分布中的超几何分布中的NN1 1/ /NN相当于二相当于二项分布中的参数项分布中的参数p p, , NN2 2/ /NN相当于二项分布中的相当于二项分布中的q q=1-=1-p p. .超几何分布也可以和二项分布一样看作是超几何分布也可以和二项分布一样看作是n个个0-1分布的随分布的随机变量机变量 i的和的和, i=1,2,.,n, i表示第表示第i次抽样抽到第一类元次抽样抽到第一类元素的事件的次数素的事件的次数, 根据抽签原理根据抽签原理P( i=1)=N1/N, 但如果但如果i j, i与与 j相互之间是不独立的相互之间是不独立的.超几何分布与

13、二项分布的比较超几何分布与二项分布的比较:22超几何分布的数学期望超几何分布的数学期望因为因为 可看作可看作n个相互并不独立但仍然服从同样的个相互并不独立但仍然服从同样的0-1分布的随机变量分布的随机变量 1, 2,., n的和的和,即即 = 1+ 2+.+ n, 其中其中NNnnpEEEniNNpEniiniii1111,2, 1,因此可以认为可以认为,当当N很大时超几何分布的数学期望与二项分布很大时超几何分布的数学期望与二项分布的一样的一样.23因因 i服从服从0-1分布分布, 则则 i2也服从同样的也服从同样的0-1分布分布, 则则E i2=N1/N, 当当i j时时, i j也服从也服

14、从0-1分布分布, )()() 1() 1() 1(21222121211121211nnnnnnnjijiEEEENNNNP而超几何分布的方差超几何分布的方差24因此因此22111222221111212(1)()(1)()(1)()(1)11NN NEnnnNN NDEENN NNnnnnNN NNNNNnNnnnpqNNNN25也可以直接用定义来计算也可以直接用定义来计算E 和和D NNnCCNCCCNEmkCmNmNCNCmNmNmCCCCmmmPEnNnNknNnkkNnNnmmnNnNnmmnNnNnmnNmnNmNnm1111110111111111002122211)!()!1

15、()!1()!( !1)(则令26计算计算D 必须要先计算必须要先计算E ( 1) 1() 1() 1() 1() 1()!()!2()!2() 1()!()!2(!1) 1()() 1()1(11221120)2(21122111121120212221NNnnNNCCNNCCCNNCmNmNCNNCmNmNCCCCmmmPmmEnNnNnkknNkNnNmknmmnNnNnmmnNnNnmnNmnNmNnm27因此因此NnNNNnnNNEEE1112) 1() 1() 1()1(11) 1() 1() 1()(21221211122NnNnpqNnNNNNNnNNnNnNNNnnNNEED

16、28在实际应用中在实际应用中(1)(1)元素的个数元素的个数NN是相当大的是相当大的, , 例如例如, , 从中国人民从中国人民中任抽几千个人观察中任抽几千个人观察, , 从一个工厂的几十万件从一个工厂的几十万件产品中任抽几千件观察产品中任抽几千件观察, , 等等等等. .(2)(2)而在而在NN非常大的情况下非常大的情况下, , 放回抽样和不放回放回抽样和不放回抽样的结果几乎是相同的抽样的结果几乎是相同的. .(3)(3)因此有因此有, , 当当NN很大的时候很大的时候, , 超几何分布可用二超几何分布可用二项分布来近似项分布来近似. .(4)(4)或者换句话说或者换句话说, , 当当NN趋

17、于无穷时趋于无穷时, , 超几何分布超几何分布的极限是二项分布的极限是二项分布. .29为证明这一点为证明这一点, 首先给出一个近似公式首先给出一个近似公式!)11()21)(11(!)1()2)(1(!mnnmnnmnmmnnnnCmnCmnmnmmnmmn 这是因为保持不变的时候很大而当30因此因此, 如果如果 服从超几何分布服从超几何分布, 则当抽样数则当抽样数n保持保持不变且远小于样本数不变且远小于样本数N即也小于即也小于N1和和N2时时mnmmnmnmnmnmnNmnNmNqpCNNNNmnmnnNmnNmNCCCmP2121)!( !)!(!)(21这正是二项分布的概率函数表达式这正是二项分布的概率函数表达式当当N趋于无穷时趋于无穷时, 上面的约等于就成为等于上面的约等于就成为等于31一大批种子的发芽率为一大批种子的发芽率为90%, 今从中任取今从中任取10粒粒, 求求播种后播