矩阵的广义逆定义和基本理论

1、矩阵的广义逆定义和基本理论2但是，在许多实际问题中所遇到的矩阵往往是奇异方阵或是 ，这就促使人们去想象能否推广逆矩阵的概念，引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵，使方程组的解仍可以表示为的形式 矩阵（一般），显然不存在通常的逆矩阵 广义逆矩阵是通常逆矩阵的推广，这种推广的必要性，是线性方程组的求解问题的实际需要，设有线性方程组阶方阵，且时，则方程组存在唯一解且可表示为：当是 1920Moore）首先提出了广义逆矩阵的概念，但其后的30 年未引起人们的重视直到1955年彭诺斯（Penrose）利用四个矩阵方程给出了广义逆矩阵的新的更简便实用的定义之后，广义逆矩阵的研究才进入了一个新的时期，其理论

2、和应用得到了迅速发展，已成为矩阵论的一个重要分支，广义逆矩阵在数理统计、最优化理论、控制理论、系统识别、数字图象处理等许多领域都具有重要应用3第4章 矩阵的广义逆 Moore-Penrose广义逆矩阵4.2 广义逆矩阵4.3 广义逆矩阵A1,24.4 广义逆矩阵A1,3 4.5 广义逆矩阵A1,4 4.6 M-P广义逆矩阵 4. 7 广义逆在解线性方程组中的应用4. 8 几种计算 的直接方法4线性方程组一般理论复习定理A:线性方程组Ax=b, ACnn,x,bCn对任意右端b都有唯一解的充要条件是A-1存在.证:必要性 令Ax(i)=ei,i=1,n,X=(x(1),x(n)Cnn 其中ei为

3、En的第i列(今后将常用此记号) 则 AX=(Ax(1),Ax(n)=(e1,en)=En A-1=X.充分性 若A-1存在,则对任意右端b Ax=b x=A-1b 即 x=A-1b是线性方程组Ax=b的唯一解. 本章着重介绍广义逆矩阵的概念、性质、计算方法和应用5减号逆若一般线性方程组Ax=b, ACmn,xCn,bCm (1)对任意bR(A)的解都可表示为x=A-b,则矩阵A-Cnm 称为A的一个减号逆.因为当ACnnn时,(1)的解都可表示为 x=A-1b,所以,在此情形下A有唯一减号逆: A-=A-1. 这一事实说明减号逆是普通逆矩阵的推广.6减号逆举例例: A= C23有下列两个实质

4、不同的减号逆: A-= 或 证:易见两种情形都有AA-=E2,从而,对任意bC2,AA-b=b Ax=b 有解 x=A-bC2即对任意 bR(A)=C2,Ax=b 的解都可表示为x=A-b 所以,这两个A-都是A的减号逆.注:此例说明减号逆一般不唯一.7 矩阵的单边逆8命题1（2）同理可证9推论初等变换求左(右)逆矩阵:10例 1解 11例2解 12 Moore-Penrose广义逆矩阵4. 1. 1 广义逆矩阵的基本概念定义2 设为任意复数矩阵，如果存在复矩阵，满足（1）（2）（3）（4）定义1 134个方程的全部或一部分，则称G为A 的一个广义逆矩阵，并把上面4个方程叫做穆尔-彭诺斯（M-

5、P）方程进一步，如果 G满足M-P的4个方程式，则G称为A 的穆尔-彭诺斯广义逆，记为 ， 一般地，如果 G满足4个M-P方程式中的第 个，则称 G为 A的一种弱逆，记为14 （2）满足方程（1）与（2）的广义逆矩阵类记为其中任意一个确定的广义逆，称为自反减号逆，记为（3）满足方程（1）与（3）的广义逆矩阵类记为其中任意一个确定的广义逆，称为最小范数广义逆，记为（4）满足方程（1）与（4）的广义逆矩阵类记为其中任意一个确定的广义逆，称为最小二乘广义逆，记为（5）满足全部4个M-P方程的广义逆矩阵类记为下面分别介绍这5类广义逆矩阵.称为加号逆，或穆尔-彭诺斯广义逆记为这类广义逆对给定的来说只有唯

6、一的一个广义逆，15问题的引入4.2 广义逆矩阵则 一定是解，那么称 是 的一种广义逆。定理116定理1174.2.1 广义逆 的定义和构造 显然，减号广义逆不唯一，并且减号逆是普通逆矩阵的推广18证明 因为对任意的，都有所以19证明 因为对任意的，都有所以反过来，对任意的 ，若满足则必有，即20对 其中分别是的任意矩阵由于21故 所以，反之，由，即有 由例2可知： 22（1）求非奇异矩阵, 使得注意到：对矩阵进行初等变换，E的位置记录了对A进行变换的过程说明：1. （*）式实际上是A的秩分解。 2. 定理2 告诉我们 的一般形式，从而告诉我们有解方程组AX=b的一般解。（2）写出的减号逆23

7、24其中，是任意常数.如果都取0就有特别地，就是的一个减号逆.25，26其中，是任意常数特别地，取得因此，并且的一个减号逆：定理3定理44.2.2 广义逆 的性质故同理33344.3 广义逆矩阵A1,2（自反广义逆）354.3 .1 广义逆A1,2的定义及存在性结论成立4.3 .2 广义逆A1,2的性质充分性 法二定理4之（5） 证明 充分性 法一定理7 3842定理10定理11证明104310 11定理12 定义6 444.3 .3 广义逆A1,2的构造定理13 45464748解 因为 所以为行满秩矩阵，故49解 因为 所以为列满秩矩阵，故50解 因为 所以既非行也非列满秩矩阵，先对其进行

8、满秩分解，由于令 于是 并且51故 524.4 广义逆矩阵A1,3 4.4.1 广义逆A1,4 的定义和构造53即得 54证明 首先证明对于任何矩阵，式所确定的是的最小二乘广义逆事实上，从而所以，式所确定的确是的最小二乘广义逆其次证明对任意的最小二乘广义逆必存在使具有式的形式所以，由于，事实上，可取 55定理18 证明 75657584.5 广义逆矩阵A1,4 4.5.1 广义逆A1,4 的定义和构造5960证明 设并且有满秩分解即 用右乘上式两端，得即 所以满足式其次它也满足式，因为故 是的一个最小范数广义逆 是一个减号逆，所以 因616263从而其中是任意常数如取显然，最小范数广义逆不唯一

9、，不同方法获得不同结果就是解法一结果.64定理21证明65 M-P广义逆存在及性质4.6 M-P广义逆矩阵 66 定理 22 对任意 ACmn , A+存在且唯一. 证 存在性. 当A=O时，显然 存在，就是零矩阵；当A是非零矩阵时，设 rankA=r ，A 的最大秩分解为 A=BC，则说明 和 是满秩的r阶方阵。现在来证就是 ，事实上 广义逆矩阵 的计算 67 可见 唯一性. 设 和 均满足方程（1）-（4）,68则 证毕70定理23证明71 定理23 的证明过程告诉我们若 ACmn , rankA=r ，A=BC 是A 的最大秩分解，则 73类似地，若rankA=n，则 例10 设 ，求

10、解 因为 而特别地，若rankA=m，则因为此时A的最大秩分解为因为此时A的最大秩分解为74所以75 例11 设 ，求 解 列数76 例12 设 ，求 解 因为所以 于是有从而7778定理24 证明7980定理25 证明81 M-P广义逆几种显示表示 证明 由定理16、定理18、定理19可知，式所给出得矩阵是一个加号逆，所以，我们仅仅要证明其唯一性即可设，是两个加号逆，于是同理 所以故加号逆是唯一的82定理27 证明83定理28844. 7 广义逆在解线性方程组中的应用85 线性方程组求解问题的提法8687884.7.2 广义逆 应用于解线性方程组推论2证明 89定理29证明 90证明 因为相

11、容，所以必有一个维向量，使 是方程组的一个特解，亦即，由此得出 成立又由于是的一个减号逆，所以，则有意向量定理30 如果线性方程组是相容的， 是的任一个减号逆，可表示成 其中是与同维的任则线性方程组的一个特解可表示成 ， 而通解 的解而且当为任意一个解时，若令，则有所以，式确定的是方程组其次，在式两端左乘，则有91的通解 从而方程的任意一个解均可表示为的形式这表明由式确定的解是方程组的解而且当为任意一个解时，若令，则有所以，式确定的是方程组性方程组总是有解的。特别地，当 时， 为齐次线性方程组，而齐次线92例11 求线性方程组的通解 解 方程组的系数矩阵与常数列为由于所以方程组是相容的，并且有

12、减号逆故所求方程组的通解为：其中为任意常数9394定理31 不相容方程组有最小二乘解 其中是的最小二乘广义逆证明 设是的一个最小二乘广义逆，于是对任意的恒有 所以是不相容方程组的最小二乘解4.7.3 广义逆 应用于解线性方程组959697推论4 证明8 98解 由于系数矩阵为列满秩矩阵，所以又因向量于是，最小二乘解为将代入误差公式可得误差994.7.4 广义逆 应用于解线性方程组引论1 证明100证明 设和是的两个不同的最小范数广义逆，应有记 为线性方程组的两个最小范数解，则所以这说明不同的最小范数广义逆和，按求得的最小范数解是唯一的101证明 因为是的一个减号逆，所以可设的通解为由于而且 同理所以 故 是最小范数解定