高斯的连分数

1、除数函数除数函数为定义一个整数之和th权力(正整数)因数的,(1)它的实现Wolfram语言作为DivisorSigma(k,n)。的符号(哈代和赖特1979,p . 239),(矿石1988,p . 86)(伯顿1989,p . 128)有时用于,提供的因数。而令人惊讶的是,许多因素的多项式也给出了。的值可以找到逆默比乌斯变换1,1,1,(斯隆和普劳夫1995,p . 22)。Heath-Brown(1984)证明经常无限。数字因数叫做的增量最大数量高度综合的数字。这个函数满足身份(2)(3)在哪里不同的素数,是质因数分解的数量.除数函数是奇怪的敌我识别是一个平方数.这个函数出的因子的总和通

2、常是没有下标写的,也就是说,.作为一个说明性的例子的计算,考虑到140号因数、2、4、5、7、10、14、20、28岁,35岁,70年到140年,总共因数。因此,(4)(5)(6)(7)下面的表总结了前几的值对小和2 .斯隆为,2,0A0000051、2、2、3、2、4、2、4、3、4、2、61A0002031、3、4、7、6、12、8、15日,13日,18日2A0011571、5、10,21岁,26岁,50岁,50岁,85年,91年,130年3A0011581,9日,28日,73,126,252,344,585,757,1134,的总和因数的不包括本身(即。,适当的因子的)称为限制因子函数并

3、表示。最初几个值是0,1,1,3,1、6、1、7、4、8、1,16日(OEISA001065).因子的总和可以找到如下。让与和。对于任何因子的,在那里的因子和的因子。的因数1,。的因数1, .,。总结的因数(8)(9)对于一个给定的,(10)对所有求和,(11)所以。分裂和为主要因素,(12)对于一个权力因数是1, .,所以(13)为因此,(14)(Berndt 1985)。的特殊情况一个, (14)简化(15)同样的,对一个权力2、(14)简化(16)身份()和()可以推广到(17)(18)金额涉及的除数函数(19)为,(20)为更一般的,(21)为和(哈代和赖特1979,p . 250)。

4、一个生成函数为给出的兰伯特系列(22)(23)(24)(25)在哪里是一个q-polygamma函数.的函数的级数展开(26)哈迪(1999)。Ramanujan给美丽的公式(27)在哪里是函数和(威尔逊1923),这是使用英的证据素数定理(哈代1999,pp . 59-60)。这就给了特例(28)(哈代1999年,p . 59)。除数函数也满足不平等(29)在哪里是Euler-Mascheroni常数(1984年罗宾,Erds 1984)。Gronwall定理州(30)在哪里是Euler-Mascheroni常数(哈代和赖特1979,p . 266)。是2的幂吗敌我识别或是不同的产品吗梅森素

5、数(Sierpiski 1958/59,1989年Sivaramakrishnan Kaplansky 1999)。最初几个这样的是1、3、7、21日31日,93,127,217,381,651,889,2667,(OEISA046528的权力),这些对应于2 0,2,3,5,5,7,7,8,9,10,10,12日,12日,13日,14日,(OEISA048947).好奇的身份得到使用模块化的形式理论是由(31)(32)(很有1997,p . 1997),一起(33)(34)(35)(m . Trott per。通讯)。除数函数(事实上,为)是奇怪的敌我识别是一个平方数或两次平方数。除数函数满

6、足同余(36)对所有质数也没有合数除了4、6和22(苏巴拉奥1974)。因子的数量是每当本身是(Honsberger 1991)。分解的为由Sorli给出。1838年,狄利克雷显示的平均数量因数所有的数字从1到是渐近(37)哈迪(康威和盖1996;1999年,p . 55;Havil 2003年,页112 - 113),正如上文所述,薄固体曲线地块实际值和厚短划线情节渐近函数。这是相关的狄利克雷除数问题,旨在找到“最好”的系数在(38)(哈代和赖特1979,p . 264)。的summatory功能为与是(39)为,(40)(哈代和赖特1979,p . 266)。除数函数也可以推广到高斯整数。

7、定义需要一些护理从原则上,有歧义的,四个同事每个因子的选择。斯派拉(1961)定义了复数的因子的总和通过分解在权力截然不同的高斯质数的乘积,(41)在哪里是一个单位,每个位于第一象限的复平面,然后写作(42)这使得一个乘法函数,也给了。这个扩展的实现Wolfram语言作为DivisorSigma(1 z GaussianIntegers - 真实)。下面的表给出对于小型非负的值和.012345611234456参见:模块化的判别定义(参看通常省),是在半平面上。然后定义的模块化判别(1)然而,一些保健需要一些作者忽略的因素当定义判别(兰金1977,p . 1977;Berndt 196,p .

8、 326;米尔恩2000)。如果和是椭圆不变量的维尔斯特拉斯椭圆函数与时间和,然后定义判别(2)让,然后(3)(4)(5)的傅里叶级数的为,在那里是半平面上,是(6)在哪里是函数,是整数(很有1997年,p . 20)。判别还可以表达的绰金函数通过(7)(很有1997年,p . 51)。椭圆不变量的不变量维尔斯特拉斯椭圆函数被定义的艾森斯坦级数(1)(2)在这里,(3)在哪里和的half-periods吗椭圆函数。的Wolfram语言命令WeierstrassInvariants,给出了不变量和half-periods对应和.写作,(4)(5)和不变量傅里叶级数(6)(7)在哪里是半周期比和是

9、除数函数(很有1997)。参见:绰金函数窗体顶端最小值马克斯窗体底端绰金函数的定义半平面上通过(1)(2)(3)(4)(5)(6)(OEISA010815),的平方省,是半周期比,是一个q系列(韦伯1902,pp。85年和112年,特金和Morain 1993;Berndt 1994,p . 139)。绰金函数的实现Wolfram语言作为DedekindEta()。重写的定义明确的半周期比给出了产品(7)窗体顶端最小值马克斯再保险即时通讯窗体底端上文所述的复平面.是一个模块化的形式绰金在1877年首次引入的特性,是相关的模块化的判别的维尔斯特拉斯椭圆函数通过(8)(很有1997年,p . 47

10、)。一个紧凑的导数是由封闭的形式(9)在哪里是维尔斯特拉斯函数和和相对应的不变量是half-periods吗。的导数满足(10)在哪里是一个艾森斯坦级数,(11)是由一种特殊的价值(12)(13)(OEISA091343),是函数。另一个特殊情况是(14)(15)(16)在哪里是塑料常数,代表一个多项式的根,.让是一个根的团结,满足(17)(18)(19)在哪里是一个整数(韦伯1902,p . 113;特金和Morain 1993;很有1997年,47页)。绰金函数有关雅可比的函数通过(20)(韦伯1902,3卷,112页)(21)(很有1997年,p . 1997)。麦克唐纳(1972)相关

11、的大多数扩张的形式以仿射根系。不包括在麦克唐纳的治疗包括异常由Hecke和罗杰斯发现,发现Ramanujan,赖宁格,发现特金(和米尔恩1999)。使用绰金函数雅可比三重积身份(22)可以写(23)(雅可比1829年,哈代和赖特1829年,赫塞豪恩1999年,林文杰和米尔恩1999)。绰金,如果函数方程的状态,在那里是模块化组织,(是半平面上),然后(24)在哪里(25)和(26)是一个绰金总和(很有1997,pp。52-57)的层功能.层功能地板上功能,也被称为最伟大的整数函数或整数值(Spanier和奥尔德姆1987),给出了最大整数小于或等于。地板上函数的名称和标志是由ke艾弗森(Gra

12、ham et al . 1994年)。不幸的是,在许多年长的和当前(如工作。Honsberger 1976,30页;Steinhaus指出1976,p。小腿Ribenboim 1996;1993;300;希尔伯特Cohn-Vossen 1999 p。38岁;哈代1999年,18页),象征而不是使用(Graham et al . 1994年,p . 67)。事实上,这个符要追溯到高斯在他的第三个1808年二次互反性的证据。然而,由于地板的优雅的对称函数的和天花板上的函数符号和,因为这是一种有用的符号当解释为一个吗艾弗森支架,使用表示函数应该弃用的地板上。在这部作品中,象征是用来表示最近的整数的函

13、数因为它自然瀑布之间和符号。窗体顶端最小值马克斯再保险即时通讯窗体底端地板上函数的实现Wolfram语言作为地板上z,推广到复杂的值正如上文所述。因为使用小数部分/值和整数部分/值可以迷惑,下表给出了总结的名称和符号使用。在这里,所以显示Spanier和奥尔德姆(1987)。符号的名字年代格雷厄姆et al。Wolfram语言天花板上的函数- - -天花板,最小整数天花板x同余- - - - -国防部(m,n)层功能地板上,最大的整数,整数部分地板上x分数值小数部分或SawtoothWavex小数部分没有名字FractionalPartx整数部分没有名字IntegerPartx最近的整数的函数

14、- - - - -轮x商- - - - -商(m,n)地板函数满足的身份(1)所有整数.许多geometric-like序列与地板功能分子可以做分析。例如,资金的形式(2)可以做理性分析吗。为一个单位分数,(3)这种形式的资金导致魔鬼的楼梯式的行为。对不合理的,连分数的收敛,(4)(Borwein et al . 2004年,p . 12)。这导致了相当惊人的结果有关的地板的倍数的函数到连分数的通过(5)(马勒Borwein et al . 1929;1929年,12页)。参见:天花板上的函数这个函数这使最小的整数,显示为厚曲线在上面的阴谋。施罗德(1991)调用上限函数符号“木架上“因为外表

15、相似的结构用于这个函数这使最小的整数,显示为厚曲线在上面的阴谋。施罗德(1991)调用上限函数符号“木架上“因为外表相似的结构用于绞刑。上限函数的名称和符号创造的ke艾弗森(Graham et al . 1994年)。窗体顶端最小值马克斯再保险即时通讯窗体底端上限函数的实现Wolfram语言作为天花板z,推广到复杂的值正如上文所述。虽然有些作者使用了象征表示上限函数(通过类比与年长的符号为层功能五次方程与二次、三次和四次多项式,一般五次不能用代数方法解决有限数量的添加,删除工作,乘法,分歧,拔根严格证明了亚伯(亚伯的不可能性定理)和伽罗瓦。然而,某些类的五次方程可以用这种方式解决。不可约五次方

16、程可以被关联到一个伽罗瓦群,这可能是一个对称群,metacyclic集团,反组,互联,或循环群正如上文所述。可解性的五次就建立其相应的组作为一个可解群。五次方程可解的循环群的一个例子(1)中出现的计算.可以解决的五次的情况下,可以找到根使用公式发现1771年由极糟,谁是第一个来“解决”五次使用溶剂的第六度(皮蓬特1895年)。一般五次可以解决的雅可比的函数在1858年,最初是由埃尔米特。克罗内克随后获得相同的解决方案更简单,而且Brioschi派生的方程。为此,减少一般五次(2)成把五次形式(3)定义(4)(5)(6)在哪里是椭圆模量,最初的五次的根是由(7)(8)(9)(10)(11)在哪里

17、(12)是逆省,这是表述的比率雅可比的函数.欧拉减少一般五次(13)五次也可以用代数方法减少主五次形式(14)通过求解四次、五次可以用代数方法减少的把五次形式,最初是由Jerrard完成。龙格(1885)和Cadenhad和年轻的找到了一个可以解决的五次的参数化形式(15)显示所有不可约可解的五次系数的,失踪有以下形式(16)在哪里和是理性的.斯皮尔曼和威廉姆斯(1994)表明,一个不可约五次的形式(15)有理性的系数由激进分子可以解决的敌我识别存在有理数,这样(17)(18)(斯皮尔曼和威廉姆斯1994)。的根然后(19)在哪里(20)(21)(22)(23)(24)(25)(26)(27)

18、(28)费力克斯克莱茵用Tschirnhausen转换一般五次减少到表单(29)然后他解了相关的二十面体方程(30)在哪里是一个函数的激进分子的,。这个方程的解可以得到的超几何函数作为(31)另一个可能的方法使用一系列扩张,使一个根(下面列表中的第一个)把五次形式。五根可以用微分方程导出(折皱1860年,哈雷1860)。让(32)(33)(34)(35)(36)然后根是(37)(38)(39)(40)(41)这种技术给出了封闭形式的解决方案超几何函数在任何一个变量多项式方程可以写在表单中(42)考虑到五次(43)在哪里和和是复数,这是相关的de Moivre的五次(斯皮尔曼和威廉姆斯1994)

19、,和总结(44)扩张,(45)在哪里(46)(47)(48)(49)(50)(51)(斯皮尔曼和威廉姆斯1994)。的年代满足(52)(53)(54)(55)(56)(斯皮尔曼和威廉姆斯1994)。参见:亚伯的不可能性定理一般来说,多项式方程高于第四度不能在有限数量的代数解添加,删除工作,乘法,分歧,拔根。这也是显示罗菲尼于1813年(威尔斯1986年,p . 59)。四次方程四次方程是一个四阶多项式方程的形式(1)虽然一些作者(拜尔1987 b,34页)使用术语“双二次方程“四次方程的同义词,其他人(Hazewinkel 1988年,据传et al . 1989年)储备的术语四次方程没有立方

20、项,即:,一个二次方程在.法拉利是第一个开发一个代数方法求解一般的四次,被盗,Cardano Ars的麦格纳在1545年出版(Boyer Merzbach 1991,p . 283)。的Wolfram语言可以解决四次方程完全使用内置的命令吗解决a4 x 4 + a3 x 3 a1 + a2 x 2 + x + a0 = = 0,x)。解决方案也可以表达的Wolfram语言代数根对象首先发行setoption(根、四次- 错误)。的根这个方程的满足Vieta的公式:(2)(3)(4)(5)右侧分母都是哪里。写作的四次标准形式(6)的属性对称多项式出现在Vieta的公式然后给(7)(8)(9)(1

21、0)消除,分别给出了关系(11)(12)(13)以及他们的循环排列。法拉利是第一个开发一个代数方法求解四次。他应用技术(被偷了,发表的Cardano)方程(14)(史密斯1994年,p . 1994)。的术语可以消除从一般四次()通过一个替换的形式(15)所以(16)让所以(17)然后给出了标准形式(18)在哪里(19)(20)(21)四次可以通过写作来解决它的一般形式,允许它是代数可分解,然后找到条件用这种形式。必须解决的方程可分解因子的叫做有溶解力的立方。要做到这一点,请注意,四次将可分解因子的如果它可以写成两个平方项的区别,(22)事实证明,这种形式的分解可以通过加减(现在任意数量,但不

22、久将指定)方程()获得(23)这个方程可以改写(24)(比尔科夫和Mac巷1966)。立即注意,第一项是一个完美的正方形与(25)和第二项将是一个完美的正方形如果选择的是平方可以完成(26)这意味着我们想要的(27)这要求(28)或(29)这是有溶解力的立方.因为立方的解析解是已知的,我们可以立即解决代数的三个方程解(29日),说,将方程(29日)方程(26),那么让(30)与(31)因此是线性的和是二次,所以每一项和使用二次,可以解决吗二次方程,从而使所有四个解决方案最初的四次。明确,堵塞,回()(32)这可以简化通过替换(33)使溶剂三次方程(34)让是一个真正的根(34),然后四个根由原

23、来的四次根方程的(35)这是(36)(37)(38)(39)在哪里(40)(41)(42)(阿布拉莫维茨和Stegun 1972,p . 17,拜尔1987,p。12)。另一种方法解决四次()定义了(43)(44)(45)第二种形式遵循从哪来(46)和定义(47)(48)这个方程可以写成的原始系数,作为(49)的根三次方程然后给,方程()()可以解决的四根最初的四次(Faucette 1996)。Lauricella功能Lauricella函数是高斯超几何函数的推广到多个变量。四个这样的归纳调查Lauricella(1893),和更充分地阿佩尔和Kampe de Feriet(1926,第11

24、7页)。让变量的数量,那么Lauricella函数定义如果减少,那么这些功能阿佩尔超几何函数,分别。如果,所有四个成为高斯超几何函数(Exton 1978年,p . 29)。参见:麦克罗伯特的E-Function在哪里是函数和其他细节讨论Gradshteyn和Ryzhik(2000)。梅耶尔准备功能梅耶尔的函数是一个非常通用功能,减少在许多常见情况下简单的特殊功能。梅耶尔的函数被定义为(1)在哪里是函数(Erdelyi et al . 1981年,p . 1068;Gradshteyn和Ryzhik 2000)。形式不同但功能等价的形式被Prudnikov et al .(1990,第793页

25、),(2)这种形式提供了更多的一致性的定义这个函数通过一个逆梅林变换.梅耶尔的函数的实现Wolfram语言作为MeijerGa1,一个,(n + 1),美联社,b1、bm,b(m + 1),bq,z。一个广义的定义的函数形式(3)实现的Wolfram语言作为MeijerGa1,一个,(n + 1),美联社,b1、bm,b(m + 1),bq,z,r)。在这两种(2)和(3),轮廓之间的谎言波兰人的和波兰人的。例如,轮廓为如上图,在吗复平面和叠加函数本身(m . Trott)。Prudnikov et al。(1990)包含了一个广泛的近200页的清单梅耶尔的公式函数。特殊情况包括(4)(5)(

26、6)(7)的一个特例2-argument形式(8)参见:Ramanujan超几何身份(1)(2)(3)(4)在哪里是一个超几何函数,是一个广义超几何函数,是一个函数.正则化超几何函数给定一个超几何或广义超几何函数,相应的正则化超几何函数的定义在哪里是一个函数。正则化超几何函数的实现Wolfram语言的功能Hypergeometric0F1Regularizedb,z,Hypergeometric1F1Regularized(a,b,z),Hypergeometric2F1Regularized(a,b,c,z),一般来说,HypergeometricPFQRegularizeda1,美联社,b

27、1、bq,z。黎曼p系列的解决方案黎曼P-differential方程被称为黎曼吗系列,或者有时黎曼函数,由(1)给出的解决方案超几何函数通过(2)(3)(4)(5)在哪里(6)参见:黎曼P-Differential方程微分方程在哪里首先获得形式Papperitz巴恩斯(1885;1885)。解决方案黎曼p系列(阿布拉莫维茨和Stegun 1972,页564 - 565)。Zwillinger(1995,第414页)是调用这个方程的“超几何方程”。Saalschutz定理(1)在哪里是一个广义超几何函数和是函数。它可以源自于Dougall-Ramanujan身份和书面的对称形式(2)为(3)与

28、一个负的整数和的Pochhammer象征(贝利1935年,p . 9;Petkovek et al . 1996;1998年Koepf 32页)。如果一个人的,是负的,但现在还不知道,另一个由于w高斯伯(per配方。通讯)给出了形式(4)它是对称的和.如果不是(5)然后(6)(w高斯伯,珀耳斯。通讯)。斯莱特的公式斯莱特(1960,31页)的身份为一个非负整数的“求和定理。“在这里,是一个广义超几何函数与参数和是一个Pochhammer象征.这是一个更一般的身份的特殊情况这适用于(o . Marichev珀耳斯。都会定理都会定理,也叫做都会的转换,是广义超几何函数身份(1)在哪里是函数,是一个

29、广义超几何函数,(2)和(贝利1935年,p . 14)。这是一个概括的迪克森定理(斯莱特1966,52页)。一个等价的配方是由(3)(哈代1999,p . 104)。这种形式的对称性被Ramanujan在他的身份证明,这都会是一样的。有趣的是,这是为数不多的情况下,Ramanujan给出一个明确的证明了他的一个命题(哈代1999年,p . 1999)。给出定理的一个特例(4)(j . Sondow per。通讯,2003年5月25日)。参见:沃森的定理在哪里是一个广义超几何函数和是函数(贝利1935年,p . 16;Koepf 1998年,32页)。惠普尔的身份惠普尔衍生许多身份广义超几何函

30、数,其中许多是因此被称为惠普尔身份(转换,等等)。包括在惠普尔的身份(贝利1935年,p . 15;Koepf 1998年,32页),在那里是一个广义超几何函数和是一个函数,(贝利1935年,p . 28)。惠普尔的转变(贝利1935年,p . 25)和是广义超几何函数与参数和是函数.另一个转换将惠普尔(1926 ab)给出为一个和一个非负整数(1993年安德鲁斯和伯吉斯)。封闭的形式一个离散函数称为闭型(有时“超几何”)在两个变量如果比率和都是理性的功能。一对闭型函数据说是一个Wilf-Zeilberger一对如果“超几何函数”这个词不太常用的意思是“封闭的形式,”和“超几何级数”有时被用来

31、指超几何函数。一个微分k-form据说是一个封闭的形式如果.值得注意的是,这个形容词“封闭”用于描述一个数学概念,例如:的概念封闭的解。松说,解决一个方程是封闭的解,如果解决特定的问题,所以从一个给定的功能和数学操作组公认的“基本概念。“这个封闭的概念是完全分开的观念封闭收获正如上面所讨论的:特别是,超几何函数(,因此,任何封闭函数继承其属性)被为是一个“特殊函数”,不是使用的操作通常被视为“小学。“更重要的是,某些像的insolvability公认的真理五次失败是真实的如果一个人考虑扩展到一个类的功能包括超几何函数,结果由于克莱因(1877)有理函数一个商两个多项式和,被称为有理函数,有时一

32、个理性的多项式函数。更一般的,如果和是多项式在多个变量,他们的商被称为多元有理函数。“有理多项式”一词有时被用作有理函数的同义词。然而,这种用法不提倡通过类比Wilf-Zeilberger一对一双封闭的形式功能据说是一对Wilf-Zeilberger如果(1)Wilf-Zeilberger形式主义提供了简洁的已知身份的证明,并允许新的身份被发现时成功地找到了为一个已知的身份证明证书。然而,如果出发点是一个未知的超几何和,然后Wilf-Zeilberger方法不能发现一个封闭形式的解决方案,Zeilberger的算法可以。Wilf-Zeilberger对证明非常有用超几何身份的形式(2)的加数都

33、消失了外一些有限区间。现在除以右边获得(3)在哪里(4)现在使用一个有理函数所提供的Zeilberger的算法,定义(5)身份(),那么结果。对所有整数加法的关系然后望远镜右侧为0,(6)因此,是独立于,所以必须一个常数。如果合理规范化,那么它会是真的吗.例如,考虑一下二项式系数身份(7)这个函数返回的Zeilberger的算法是(8)因此,(9)和(10)(11)(12)(13)采取(14)然后给出了所谓的身份(15)扩大和评估表明身份并持有,也可以验证(16)所以(Petkovek et al . 1996年,页25日- 27日)。对于任何Wilf-Zeilberger一对,(17)每当两侧收敛(Zeilberger 1993)。此外,(18)(19)和(20)在哪里(21)(22)(Amdeberhan和Zeilberger 1997)。后者的身份已经被用于计算摹仿的常数大量的小数(Wedeniwski)。参见:微分k-Form一个微分构成是一个张量的张量排名这是反对称在交换任何一对指数。的数量代数无关组件维度的二项式系数。特别是,一个1 -(通常是简单地称为“微分”)是一个数量(1)在哪里, ., .,的组件吗协变张量。改变变量来给了(2)(3)(4)在哪里(5)这是协变转换法。一个- - - - - -交替多重