导热问题的数值解法实用教案

1、导热问题的三种基本(jbn)方法：理论分析法；数值计算法；实验法。 理论分析法：在理论分析的基础上，直接对微分方程(wi fn fn chn)在给定的定解条件下进行积分，这样获得的解称之为分析解，或叫理论解； 实验法：在传热学基本理论的指导下，采用实验的方法(fngf)对所研究对象的传热过程进行研究，从而求得所求量的方法(fngf)。 数值法：数值计算法，把原来在时间和空间连续的物理量的场，用有限个离散点上的值的集合来代替。通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，从而获得离散点上被求物理量的值；并称之为数值解；有限差分法、有限元法、边界元法、分子动力学模拟。第1页/共66页第一页，共

2、67页。 分析法：能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据；局限性很大，对复杂(fz)的问题无法求解；分析解具有普遍性，各种情况的影响清晰可见。 实验法：是传热学的基本研究方法(fngf)。适应性不好； 费用昂贵。 数值(shz)法：在很大程度上弥补了分析法的缺点，适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性；与实验法相比成本低。三种方法的特点：第2页/共66页第二页，共67页。分析解法与数值解法的异同点： 相同点：根本(gnbn)目的相同，即确定： t=f( x, y, z,) ； 热流量。 不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法

3、求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。 第3页/共66页第三页，共67页。 数值求解(qi ji)的步骤 建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程设立迭代初值求解代数方程组是否收敛解的分析改进初场是否4-1导热问题数值求解(qi ji)的基本思想第4页/共66页第四页，共67页。0tyf3thf2thf1thx二维矩形(jxng)域内稳态无内热源，常物性的导热问题一、建立控制(kngzh)方程及定解条件 22220ttxy控制(kngzh)方程：0210030,fx Hx Hfyyfy Wy Wxttthttxth ttythtty定解条件： 4-1导

4、热问题数值求解的基本思想第5页/共66页第五页，共67页。基本概念：网格线、步长、节点(ji din)(内、外)、界面线、控制容积xyxynm(m,n)MN二、区域离散(lsn)化（确立节点）4-1导热问题数值(shz)求解的基本思想第6页/共66页第六页，共67页。三、建立节点(ji din)物理量的代数方程（离散方程） 节点上物理量的代数方程称离散方程。 首先划分各节点的类型； 其次，建立(jinl)节点离散方程； 最后，代数方程组的形成。 对节点(ji din) (m,n) 的代数方程，当 x=y 时，有： ,1,1,1,11()4m nmnmnm nm nttttt4-1导热问题数值求

5、解的基本思想第7页/共66页第七页，共67页。四、设立(shl)迭代初场代数方程组的求解方法有直接解法与迭代(di di)解法，传热问题的有限差分法中主要采用迭代(di di)法。采用迭代(di di)法求解时，需对被求的温度场预先设定一个解，这个解称为初场，并在求解过程中不断改进。 4-1导热问题数值(shz)求解的基本思想第8页/共66页第八页，共67页。五、求解(qi ji)代数方程组 本例中除 m=1 的左边界上各节点的温度已知外，其余 (M-1)N 个节点均需建立(jinl)离散方程，共有 (M-1)N 个方程，则构成一个封闭的代数方程组。xyxynm(m,n)MN 求解(qi ji

6、)时遇到的问题： 线性； 非线性； 收敛性等。 4-1导热问题数值求解的基本思想第9页/共66页第九页，共67页。2 ）非线性代数方程组：代数方程一经建立，其中各项系数在整个求解过程中不断更新。 3 ）是否收敛(shulin)判断：是指用迭代法求解代数方程是否收敛(shulin)，即本次迭代计算所得之解与上一次迭代计算所得之解的偏差是否小于允许值。 1 ）线性代数方程组：代数方程一经建立，其中各项系数在整个求解过程中不再(b zi)变化；4-1导热(dor)问题数值求解的基本思想五、求解代数方程组 第10页/共66页第十页，共67页。六、解的分析(fnx) 通过求解代数方程，获得物体中的温度分

7、布，根据温度场应进一步计算通过的热流量，热应力及热变形等。因此，对于数值分析计算所得的温度场及其它物理量应作详细分析，以获得定性(dng xng)或定量上的结论。 4-1导热(dor)问题数值求解的基本思想第11页/共66页第十一页，共67页。0tyf3thf2thf1thx一、建立控制(kngzh)方程及定解条件 22220ttxy控制(kngzh)方程：0210030,fx Hx Hfyyfy Wy Wxttthttxth ttythtty定解条件(tiojin)： 4-2 稳态导热问题的数值解法二维矩形域内稳态、有均匀内热源、常物性导热问题第12页/共66页第十二页，共67页。0tyf3

8、thf2thf1thx二、区域离散(lsn)化（确立节点）二维矩形(jxng)域内稳态、有均匀内热源、常物性导热问题(m,n)xy4-2 稳态导热问题(wnt)的数值解法第13页/共66页第十三页，共67页。三、建立节点物理量的代数方程(dish fngchng)（离散方程） (1) (1) 泰勒泰勒(ti l)(ti l)级数展开法级数展开法根据泰勒(ti l)级数展开式，用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m+1,n)的温度tm+1,n! 3! 23,332,22, 1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm! 3!23,332,22, 1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm

9、用节点(m,n)的温度tm,n来表示节点(m-1,n)的温度tm-1,n4-2 稳态导热问题的数值解法内节点第14页/共66页第十四页，共67页。三、建立节点物理量的代数方程（离散(lsn)方程） 4-2 稳态导热(dor)问题的数值解法(1) 泰勒(ti l)级数展开法差分：忽略上面式子中的级数余项。得到差分式，并代替微分式。 ! 22,22, 1xxtxxtttjijijijixttxtjijiji, 1,)(向前差分 ! 22,22, 1xxtxxtttjijijijixttxtjijiji , 1,)(向后差分内节点第15页/共66页第十五页，共67页。中心(zhngxn)差分xttx

10、tjijiji2)(, 1, 1,几种差分(ch fn)的比较xttxtjijiji, 1,)(xttxtjijiji , 1,)(或三、建立节点(ji din)物理量的代数方程（离散方程） 4-2 稳态导热问题的数值解法(1) 泰勒级数展开法xttxtjijiji, 2/ 1, 2/ 1,)(内节点第16页/共66页第十六页，共67页。三、建立节点(ji din)物理量的代数方程（离散方程） ! 3! 23,332,22, 1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm! 3! 23,332,22, 1xxtxxtxxtttnmnmnmnmnm4-2 稳态导热问题(wnt)的数值解法(1) 泰

11、勒(ti l)级数展开法若取上面式右边的前三项，将上两式相加21,1,22,2mnm nmnm nttttxx2,1,122,2m nm nm nm nttttyy同样：内节点第17页/共66页第十七页，共67页。三、建立节点(ji din)物理量的代数方程（离散方程） 4-2 稳态导热问题(wnt)的数值解法(1) 泰勒(ti l)级数展开法21,1,22,2mnm nmnm nttttxx2,1,122,2m nm nm nm nttttyy22220ttxy,1,1,12,11(4)m nmnmnm nm ntttttxxy =0时：,1,1,1,11()4mnmnmnmnmnttttt

12、内节点第18页/共66页第十八页，共67页。三、建立节点物理量的代数方程(dish fngchng)（离散方程） 4-2 稳态导热问题的数值(shz)解法(2) 热平衡法0tyf3thf2thf1thx(m,n)(m-1,n)(m,n-1)(m+1,n)(m,n+1)基本思想：对每个有限大小的控制(kngzh)容积应用能量守恒，从而获得温度场的代数方程组，它从基本物理现象和基本定律出发，不必事先建立控制(kngzh)方程，依据能量守恒和Fourier导热定律即可。内节点第19页/共66页第十九页，共67页。三、建立节点物理量的代数方程(dish fngchng)（离散方程） 4-2 稳态导热问

13、题(wnt)的数值解法(2) 热平衡法从所有(suyu)方向流入控制体的总热量 控制体内热源生成热 控制体内能的增量稳态、有热源时：从所有方向流入控制体的总热量+内热源生成热00nsewx y 内节点对控制体每个界面线（图中虚线）应用傅立叶导热定律。第20页/共66页第二十页，共67页。xttynmnmw, 1xttynmnme, 1yttxnmnmn,1,0wensx y yx,1,1,2,1,10.25()m nmnmnm nm ntttttx三、建立节点(ji din)物理量的代数方程（离散方程） (2) 热平衡法(m, n)oyx(m-1,n)(m+1,n)(m,n-1) x x y

14、y (m,n+1)4-2 稳态导热(dor)问题的数值解法内节点(ji din)yttxnmnms,1,第21页/共66页第二十一页，共67页。（3）边界节点的有限差分(ch fn)方程三、建立节点物理量的代数方程(dish fngchng)（离散方程） 4-2 稳态导热问题的数值(shz)解法边界节点为什么要建边界节点离散方程？一类边界条件：方程组封闭，可直接求解二类、三类边界条件：边界温度未知，方程组不封闭0tyf3thf2thf1thx将第二类边界条件及第三类边界条件合并起来考虑，用qw表示边界上的热流密度或热流密度表达式。用 表示内热源。第22页/共66页第二十二页，共67页。2,1,

15、1, 1,224xttqxttnmnmnmwnmnm1,1,1,2022mnm nm nm nwm nm nttttxyyqxyttxxyy xy 从所有方向流入控制体的总热量(rling) 控制体内热源生成热 0平直边界(binji)节点三、建立(jinl)节点物理量的代数方程4-2 稳态导热问题的数值解法（3）边界节点的有限差分方程第23页/共66页第二十三页，共67页。从所有方向(fngxing)流入控制体的总热量 控制体内热源生成热 0边界(binji)外角点1,1,2220222mnm nwwm nm nm nttyyxqqxttxxyyxy 2,1,1222m nmnm nwxxt

16、ttq三、建立(jinl)节点物理量的代数方程4-2 稳态导热问题的数值解法（3）边界节点的有限差分方程第24页/共66页第二十四页，共67页。从所有(suyu)方向流入控制体的总热量 控制体内热源生成热 0边界(binji)内角点0432222,1,1, 1, 1yxqxyttxyttxqyxttyxttynmwnmnmnmnmwnmnmnmnm22,1,1,11,132(22)62m nmnm nm nmnwxxtttttqxy 三、建立(jinl)节点物理量的代数方程4-2 稳态导热问题的数值解法（3）边界节点的有限差分方程第25页/共66页第二十五页，共67页。边界节点离散(lsn)方

17、程中的两个问题：边界热流密度(md)的具体处理方法绝热边界(binji)第二类边界第三类边界constqw0wq)(,nmfwtthq不规则边界的处理方法多段折线模拟不规则边界，网格越密越接近实际坐标变换：保角变换4-2 稳态导热问题的数值解法三、建立节点物理量的代数方程第26页/共66页第二十六页，共67页。建立节点离散方程的泰勒级数法与热平衡法的比较：泰勒级数法属于纯数学方法，而热平衡法基于能量守恒原理，物理概念明确，且推导过程简捷；泰勒级数法对于建立边界节点的离散方程较困难；当导热物体物性或内热源不均匀时，泰勒级数法不适用，而热平衡法能够方便(fngbin)处理。4-1 导热问题数值(s

18、hz)求解的基本思想三、建立(jinl)节点物理量的代数方程第27页/共66页第二十七页，共67页。例1： 对如图所示的圆截面直肋的一维稳态、无内热源、常物性导热问题，试分别(fnbi)列出内节点m和端部节点M的离散方程式。已知圆截面直径为d。第28页/共66页第二十八页，共67页。四、设立(shl)迭代初场4-2 稳态导热问题(wnt)的数值解法五、求解(qi ji)代数方程组 写出所有内节点和边界节点的温度差分方程式：11 112 21121 122 2221 12 2.n nn nnnnn nna ta ta tba ta ta tba ta ta tb直接解法迭代解法直接解法直接解法：

19、矩阵求逆、高斯消元法等缺点：所需内存较大、方程数目多时不便、不适用于非线性问题（若物性为温度的函数，节点温度差分方程中的导热系数不再是常数，而是温度的函数。这些系数在计算过程中要相应地不断更新）第29页/共66页第二十九页，共67页。4-2 稳态导热问题(wnt)的数值解法五、求解(qi ji)代数方程组 迭代解法：简单迭代（迭代解法：简单迭代（JacobiJacobi迭代）、高斯迭代）、高斯- -赛德尔（赛德尔（Gauss-Gauss-SeidelSeidel）迭代、块迭代、交替方向迭代等）迭代、块迭代、交替方向迭代等 先对要计算的场作出假设（给定初始值）、在迭代计算过先对要计算的场作出假设

20、（给定初始值）、在迭代计算过程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差程中不断予以改进、直到计算结果与假定值的结果相差(xin (xin ch)ch)小于允许值。称迭代计算已经收敛。小于允许值。称迭代计算已经收敛。Gauss-Seidel迭代法：每次迭代时总是使用节点温度的最新值第30页/共66页第三十页，共67页。4-2 稳态导热问题的数值(shz)解法五、求解(qi ji)代数方程组 在计算(j sun)后面的节点温度时应采用最新值：根据第 k 次迭代的数值：(k)n(k)2(k)1. ttt、)(1)(1)(212)(111) 1(1.kknnkkkbtatatat)()() 1(

21、11) 1(22) 1(11) 1()(3)(3) 1(232) 1(131) 1(3)(2)(2)(222) 1(121) 1(2.knknnnknnnknknknkknnkkkkknnkkkbtatatatatbtatatatbtatatatGauss-Seidel迭代法第31页/共66页第三十一页，共67页。判断迭代是否收敛(shulin)的准则：)(max)()1()()()1()()1(maxmaxmaxkkikikikikikikittttttttoror 为允许的偏差(pinch)，一般取10-310-6(k)maxt为k次迭代(di di)得到的计算域温度最大值计算域温度存在近

22、于0的值时采用4-2 稳态导热问题的数值解法五、求解代数方程组 第32页/共66页第三十二页，共67页。4-2 稳态导热(dor)问题的数值解法五、求解(qi ji)代数方程组 如何避免迭代(di di)发散？必须满足对角占优原则：每个迭代变量的系数总大于/等于该式中其它变量系数绝对值的代数和 (参考教材例题4-1)1213212331321122331,1,1aaaaaaaaa该条件可表示为：第33页/共66页第三十三页，共67页。例4-1：利用高斯-赛德尔迭代法求解下列(xili)方程：123123123822952322428ttttttttt先将上式改写成迭代(di di)形式：123

23、213321129281322512824ttttttttt第34页/共66页第三十四页，共67页。123213321129281322512824ttttttttt假设(jish)t1、t2、t3的初始值均取零，迭代值为：(1)1(1)2(1)3129003.62581323.62505.67551285.67523.6253.7694ttt(2)1(2)2(2)312925.6253.7691.73581321.73523.7694.54551284.5452 1.7354.9964ttt第35页/共66页第三十五页，共67页。如此经过七次迭代后，在四位有效数字内得到了与精确(jngqu)

24、解一致的结果。迭代次数迭代次数 t1 t2 t3 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 3.625 5.675 3.769 1.735 4.545 4.996 1.864 4.038 5.058 1.983 3.980 5.013 2.003 3.994 5.000 2.001 4.000 5.000 2.000 4.000 5.000第36页/共66页第三十六页，共67页。123123123822952322428ttttttttt312123213298232522824ttttttttt假设(jish)t1、t2、t3的初始值均取零，迭代值为（经三次迭代）：迭代次数迭代次数 t1

25、t2 t3 0 1 2 3 0 0 0 32 -36 -155 522 -396 -3355 8722 -3996 -61755第37页/共66页第三十七页，共67页。1213212331321122331,1,1aaaaaaaaa123213321129281322512824ttttttttt312123213298232522824ttttttttt123213312325228242982ttttttttt第38页/共66页第三十八页，共67页。例2 ：某方形物体，导热系数(xsh)为常数，已知各边界温度如图所示，试用高斯-塞德尔迭代法求其内部节点1、2、3、4点的温度。2006004

26、00800 2 3 4第39页/共66页第三十九页，共67页。解：1）列节点(ji din)方程（内节点(ji din)）1：2：3：4：04600400241ttt23120040040tttt23480060040ttt200600400800 2 3 4设:t10=500,t20=650,t30=650,t40=7501232143144230.256000.2510000.2510000.251400tttttttttttt第40页/共66页第四十页，共67页。01110122013301445000.25 6506506004756500.25 475750

27、1000556.256500.25 4757501000556.257500.25 556.25556.25 1400628.53oooooooo=tCtCtCtCtCtCtCtC迭代次数迭代次数 t1 t2 t3 t4 0 1 2 3 4 5 500 650 650 750 475 556.25 556.25 628.15 428.125 514.06 514.06 607.03 407.057 503.52 503.52 601.76 401.76 500.88 500.88 600.44 400.44 500.22 500.22 600.11第41页/共66页第四十一页，共67页。4-2

28、 稳态导热问题的数值(shz)解法六、解的分析(fnx) 如何(rh)判断数值解的准确性？三个检验标准：实验验证、精确分析解验证、特定问题的基准解验证数值计算中偏差 总存在，增加节点数目可减小误差。计算网格独立性。第42页/共66页第四十二页，共67页。例3：如图所示，一等截面之类，高H=45mm，厚=10mm，肋根温度t0=100，流体温度tf=20，表面传热系数h=25W/(m2K),肋片导热系数=50W/(mK),设肋端绝热。将该肋片等分成(fn chn)4个节点。试列出节点2,3,4的离散方程式，并计算其温度。第43页/共66页第四十三页，共67页。解：这是一个一维稳态无内热源、常物性

29、的导热问题。利用(lyng)热平衡法列节点的离散方程。节点(ji din)2：123222()0ftttthx ttxx节点(ji din)3：234332()0ftttthx ttxx节点4：344()0ftth x ttx 式中x=H/3，将已知条件（t1=100）代入可得：第44页/共66页第四十四页，共67页。32234342.045100.902.0450.901.02250.450ttttttt利用(lyng)迭代法解得：23492.287.786.2oootCtCtC，与精确解 相比较(bjio)，此时：0ch ()ch()m HxmH00f=tt =10020=80oC222

30、251050 0.01chPh lhmAl=0.045mH第45页/共66页第四十五页，共67页。=10m=0.045H223242ch10(0.045 0.015)0.015,20 8095.823ch(10 0.045)2ch10(0.045 0.03)0.03,20 8093.353ch(10 0.045)10.045,20 8092.53ch(10 0.045)oooHxtCHxtCxHtC23492.287.786.2oootCtCtC，第46页/共66页第四十六页，共67页。第47页/共66页第四十七页，共67页。 4-3 非稳态导热问题的数值(shz)解法非稳态项稳态项（扩散(k

31、usn)项）源项由于非稳态项的存在，除了对空间坐标离散外，还需要对时间坐标进行离散处理(chl)。稳态扩散项的离散格式：中心差分格式非稳态项的离散格式：向前差分格式、向后差分格式、中心差分格式222222()ttttxyzc第48页/共66页第四十八页，共67页。tfhtfhxt 0平板加热(ji r)问题第三类边界条件xtat2200tt，00txx，()ftxh ttx，定解条件(tiojin)：控制(kngzh)方程：一、建立控制方程及定解条件 一维非稳态、无内热源、常物性导热问题 4-3 非稳态导热问题的数值解法第49页/共66页第四十九页，共67页。0tyf3thf2thf1thx二

32、、区域(qy)离散化（确立节点）(m,n)x一维非稳态、无内热源、常物性(w xn)导热问题 4-3 非稳态导热问题的数值(shz)解法第50页/共66页第五十页，共67页。向前差分(ch fn)格式向后差分(ch fn)格式中心(zhngxn)差分格式x 为空间步长 为时间步长(1)( )nnnittiit，( )( 1)nnnittiit，( 1)( 1)nnn itt2iit，三、建立节点物理量的代数方程（离散方程） 非稳态项(1) 泰勒级数展开法 4-3 非稳态导热问题的数值解法第51页/共66页第五十一页，共67页。22xtat控制方程(fngchng)离散化：非稳态项向前(xin

33、qin)差分扩散项中心(zhngxn)差分点（n,i）(1)( )( )( )( )nnn+1nn-12ttt2ttiiiiix 4-3 非稳态导热问题的数值解法扩散项(1) 泰勒级数展开法三、建立节点物理量的代数方程（离散方程） 2( )( )( )11222=iiinnnttttxx第52页/共66页第五十二页，共67页。(1)( )( )( )112221()()iiiinnnnttttxx ( )( )( )11(12)()iiinnnFo tFo tt2()Fox 其中(qzhng)： 一维非稳态导热(dor)内部节点的显式差分方程(1) 泰勒级数(j sh)展开法三、建立节点物理量

34、的代数方程（离散方程） 4-3 非稳态导热问题的数值解法第53页/共66页第五十三页，共67页。Edxxx)()1()(1)()()(1ininEinindxxininxttxcAxttAxttA从所有方向流入控制(kngzh)体的总热量 控制(kngzh)体内能的增量内节点(ji din) n(2) 热平衡法三、建立节点(ji din)物理量的代数方程（离散方程） 4-3 非稳态导热问题的数值解法第54页/共66页第五十四页，共67页。内节点(ji din) n(2) 热平衡法三、建立(jinl)节点物理量的代数方程（离散方程） ( 1)( )( )( )( )nnn+1nn-12ttt2t

35、tiiiiix 4-3 非稳态导热问题(wnt)的数值解法( 1)( )( )( )11(1 2)()iiiinnnntFo tFo tt2()Fox 其中： 第55页/共66页第五十五页，共67页。(2) 热平衡法三、建立(jinl)节点物理量的代数方程（离散方程） 0,0txxii12tt左边对称(duchn)绝热边界 4-3 非稳态导热问题(wnt)的数值解法第56页/共66页第五十六页，共67页。)() 1()()()(12)(iNiNiNfiNiNttxctthxtt(1)( )( )1222222(1)iiiNNNfhhttttc xxxc x 4-3 非稳态导热(dor)问题的数

36、值解法(2) 热平衡法三、建立节点物理量的代数方程(dish fngchng)（离散方程） 右边(yu bian)第三类边界第57页/共66页第五十七页，共67页。显示格式存在稳定性问题：如果节点 tn(i) 前面(qin mian)的系数小于零，则数值解出现不稳定的震荡结果。显示(xinsh)格式显示(xinsh)格式：格式右边全部为第 i 时间层的温度值，只要 i 时间层温度已知，即可计算得到 i+1 时间层的温度。即：空间步长x和时间步长的选取有限制5 . 002122xaFoxa显示格式的稳定性条件：(1)( )( )( )( )nnn+1nn-12ttt2ttiiiiix(1)( )( )( )112221iiiinnnnttttxx 4-3 非稳态导热问题的数值解法四、一维导热问题显式差分格式的不稳定性讨论第58页/共66