高一数学竞赛课讲义练习 映射（含答案）

1、A1.映射一、基础知识映射：设和是两个给定的非空集合,如果按照某种对应法则使得对于每一个都有唯一确定的一个与之对应,那么就称是到的一个映射,记为其中集合叫做映射的定义域,集合叫做映射的值域.函数是特殊的映射,是非空数集到非空数集的映射.单射：对于映射若对任意的当时,有则称映射为单射.满射：对于映射若对任意的都存在使得则称映射为满射.一一映射：若既是单射又是满射,则称映射为一一映射或双射.二、典型例题与基本方法1.已知映射其中,对应法则若对实数在集合中不存在元素使得则的取值范围是 2.已知映射中,则在映射的作用下得到的图形的面积为 3.定义在正整数集上的函数满足,求的值.4.设集合集合映射其中是

2、整数集,使得已知求的值.5.函数定义在上,且若对不同的都有证明：6.设正实数满足求函数的值域,这里的表示不超过的最大整数.7.已知且证明：方程的两实根有8.设且证明：9.函数定义为：.求在区间上的取值范围.B29.练习 姓名： 1.函数满足则这样的函数个数为 2.定义在正整数集上的函数满足,求的值.3.定义在上的函数对任意的都有求的值.A1.映射一、基础知识映射：设和是两个给定的非空集合,如果按照某种对应法则使得对于每一个都有唯一确定的一个与之对应,那么就称是到的一个映射,记为其中集合叫做映射的定义域,集合叫做映射的值域.函数是特殊的映射,是非空数集到非空数集的映射.单射：对于映射若对任意的当

3、时,有则称映射为单射.满射：对于映射若对任意的都存在使得则称映射为满射.一一映射：若既是单射又是满射,则称映射为一一映射或双射.二、典型例题与基本方法1.已知映射其中,对应法则若对实数在集合中不存在元素使得则的取值范围是 解：2.已知映射中,则在映射的作用下得到的图形的面积为 解：线段上任意一点满足变为其中所以 线段上任意一点满足变为其中所以即线段上任意一点满足变为其中所以即所以在映射的作用下得到的图形是圆心角为半径为2的扇形,其面积为3.定义在正整数集上的函数满足,求的值.解：记因为所以因为于是所以4.设集合集合映射其中是整数集,使得已知求的值.解：由已知得相加得相减得因为又所以所以或当时,

4、于是于是从而此时矛盾.当时,于是于是又所以或若则从而矛盾.若则从而所以5.函数定义在上,且若对不同的都有证明：证明：不妨设若则若由可得所以6.设正实数满足求函数的值域,这里的表示不超过的最大整数.解：不妨设当时,则于是当时,则于是.设则,因为在单调递增,所以于是从而所以函数的值域为7.已知且证明：方程的两实根有证明：由得于是,所以于是所以8.设且证明：证明：设则因为所以且所以即9.函数定义为：.求在区间上的取值范围.解：当且则当于是则因为所以于是即因为且,于是设,则所以,所以.注意到化为,所以于是而所以从而当时,所以在区间上的取值范围为.B29.练习 姓名： 1.函数满足则这样的函数个数为 解：若是单元素集合,则一定满足这样的有3个.若则满足的有1个.若是两元素集合,的两元子集有3个,若为则于是或若于是即从而若于是即从而于是总共有6个.所以共有1