高中数学题库-不等式

1、. 1. 解不等式一含参数的分式不等式研究1. 函数的定义域为集合.1假设函数的定义域也为集合，的值域为，求；2,假设,数的取值围.解：1由，得， ，当时，于是，即， 2由，得，即.当时，满足；当时，因为，所以 解得，又，所以；当时，因为，所以解得，又，所以此时无解； 综上所述，实数的取值围是 2. 假设m 0对一切*4恒成立，则实数m的取值围是3. 解关于的不等式4. ，其中是常数.1假设的解集为，求的值，并解不等式；2假设不等式有解，且解区间长度不超过5个长度单位，数的取值围.5.好题，涉及二次函数的开口大小假设函数对于任意的，不等式成立.1假设，求的最大值；2对于给定的正数，当为何值时，

2、最大？并求出这个最大的. ,6.不等式，1解上述不等式；2假设存在实数，使得不等式的解集中所有整数元素的和为28，求的取值围【解】1不等式可化为当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为2由题意，不等式的解集为由，解得所以符合条件的的取值围是变式：假设，且不等式的解集中有且只有三个整数，则所有满足条件的值之和为_. 217.为常数，函数1假设对一切恒成立，求的取值围；2解不等式.8. 函数1当关于*的不等式f(*) 0的解集为1，3时，数a，b的值；2假设对任意实数a，不等式f(2) 0恒成立，数b的取值围；3设b为常数，求关于a的不等式f(1) 0的解集2. 线性规划1. 假设函数的定义域为，

3、则的取值围是_2.反比例型在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(0，1)，(4，2)，(2，6)如果P(*，y)是ABC围成的区域(含边界)上的点，则当 = *y取到最大值时，点P的坐标是_(eq f(5,2)，5)3. 可转化为斜率的线性规划问题1实数，满足不等式，则的取值围是2*，y，满足，*1，则的最大值为4. 2011年清华等该高水平大学自主招生在锐角中，则的取值围是_. 5. 函数 ，函数的定义域为B.假设，解关于的不等式；2假设时，关于的不等式的解集为A, 且,求的取值围；3假设函数的一个零点在，一个零点在，求的取值围.解：1当时，不等式为，-2分2 因函数的定义域为B ，

4、所以 -3分解得 ：B= -4分当时，不等式即，-5分方程，解得两解 需分类讨论：eq oac(,1)=0时，解得A=，与矛盾，故不成立 -6分eq oac(,2) 当时，解得A= ，又有，所以 有 -8分eq oac(,3)时，解得A=，又有，所以 有 -10分综合eq oac(,1)eq oac(,2)eq oac(,3)得，的取值围为3假设函数的一个零点在，一个零点在，故等价于， -12分 得到可行域如图阴影局部 得到交点A，C, -14分令当直线在b轴上的截距的相反数就是的取值围，故当直线经过点A，得到 当直线经过点C,得到，所以 -16分6. 线性规划问题：1. 点在直线的下方，则实

5、数的取值围是_. 2. 不等式组，表示的平面区域的形状为_. 等腰梯形.3. 点在直线的左侧，则实数的取值围是_.4. 不等式组表示的平面区域的整点个数为_. 12 线性规划问题：1、如下图，表示满足不等式(*y)(*2y2)0的点(*，y)所在的区域为_2、不等式组eq blcrc (avs4alco1(4*3y12，,*y1，,y0)表示的平面区域整点的个数是_3、在平面直角坐标系中，不等式组eq blcrc (avs4alco1(*y0，,*y40，,*a) (a为常数)表示的平面区域的面积是9，则实数a的值为_4、不等式组eq blcrc (avs4alco1(*y1，,*y1，,*y

6、1，,*y1)表示的平面区域的形状为_5、假设实数*，y满足不等式组eq blcrc (avs4alco1(*3y30，,2*y30，,*y10，)则*y的最大值为_6、设变量*，y满足约束条件eq blcrc (avs4alco1(*y20，,*5y100，,*y80，)则目标函数z3*4y的最大值_7、1*y4且2*y3，则z2*3y的取值围是_3. 根本不等式一根本不等式的应用1. 向量与根本不等式在中，假设，则的最小值为变式：在ABC中，则角A的最大值为_解：转化为边的关系余弦定理；余弦定理结合根本不等式2. 二次不等式的解集为，且，则的最小值为_ 3. 设，则的最小值为44. 在中，

7、则的最小值为.根本不等式、几何解释！5. 正实数*，y满足，则*y 的最小值为和定或积定6. 在平面直角坐标系*Oy中，曲线上的点到原点O的最短距离为 57. 设平面向量a，b满足，则ab的最小值为8.函数 ，假设对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值围是9a 0，b 0，且，其中a，b表示数a，b中较小的数，则h的最大值=10. 正实数*，y，z满足，则的最小值为_11. *，y，z为正实数，则的最大值为_12. 实数*，y，z满足* + y z = 1，*2 + y2 z2 = 3，则*yz的最大值为_13. 正数满足，则的最小值为 9二应用题1. 现有长度为48cm的钢管和面积为Sm2

8、的铁皮，用钢管焊接一个长方体框架，再用铁皮围在框架的六个外表做成一个长方体水箱不考虑建材和焊接的损失.(1)无论如何焊接长方体，在钢管全部用完的前提下，假设要确保铁皮够用，求铁皮面积S的最小值.(2)假设铁皮面积为90 m2，分别求出以下两种方案下水箱容积的最大值(i) 铁皮和钢管全部用完；(ii) 钢管全部用完，铁皮未用完；(iii) 铁皮全部用完，钢管未用完；1解：由题可设长方体的长、宽、高分别为由题得，所求,当且仅当时等号成立.2解：i铁皮和钢管全部用完;此时三元方程的处理问题由根本不等式可得，则求导后得当时，.(ii) 钢管全部用完，铁皮未用完;则，由三元均值不等式，当且仅当时等号成立

9、，此时，不合题意(iii) 铁皮全部用完，钢管未用完；此时由三元均值不等式可得：可得：，当且仅当时等号成立，此时成立注：假设钢管和铁皮均为用完，情况略复杂，应涉及的是三元线性规划问题2. *村方案建造一个室面积为的矩形蔬菜温室，在温室，沿左、右两侧与后侧墙各保存宽的通道，沿前侧墙保存宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？根本不等式左侧边长40m，后侧边长为20m，蔬菜的种植面积为三综合应用1. 三次函数f(*) = 4*3a*2b*c(a，b，c)(1) 如果f(*)是奇函数，过点2，10作y = f(*)图象的切线l，假设这样的切线有三条，数b的取值围

10、；(2) 当1*1时有1f(*)1，求a，b，c的所有可能的取值解 (1) 因为f(*)是奇函数，所以由f(*) = f(*)得a = c = 0，设切点为P(t，4t3bt)，则切线l的方程为y(4t3bt) = (12t2b)(*t)，由于切线l过点2，10，所以10(4t3bt) = (12t2b)(2t)，整理得b = 4t312t25，令g(t) = 4t312t25b，则g(t) = 12t 224t = 12t(t2)，所以g(t)在(，0)上是增函数，在(0，2)上是减函数，在(2，)上是增函数，要使切线l有三条，当且仅当g(t) = 0有三个实数根，g(t) = 0有三个实数

11、根当且仅当g(0)0，且g(2)0，解得11b5(2)由题意，当* = 1，eq f(1,2)时，均有1f(*)1，故14abc1， 14abc1，即14abc1， 1eq f(1,2)eq f(a,4)eq f(b,2)c1， 1eq f(1,2)eq f(a,4)eq f(b,2)c1，即1eq f(1,2)eq f(a,4)eq f(b,2)c1， 得282b2，从而b3；得212b2，从而b3代入得ac = 0，eq f(a,4)c = 0，从而a = c = 0下面证明：f(*) = 4*33*满足条件事实上，f (*) = 12*23 = 3(2*1)(2*1)，所以f(*)在(1

12、， eq f(1,2)上单调递增，在(eq f(1,2)，eq f(1,2)上单调递减，在(eq f(1,2)，1)上单调递增，而f(1) = 1，f(eq f(1,2) = 1，f(eq f(1,2) = 1，f(1) = 1，所以当1*1时 f(*)满足1f(*)12. 设函数的定义域为，且，对于任意，假设，是直角三角形的三条边长，且，也能成为三角形的三条边长，则的最小值为变式：如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(*)的定义域，就有f(a)，f(b)，f(c)也是*个三角形的三边长，则称f(*)为“保三角形函数. 1判断以下函数是不是“保三角形函数，并证明你的结论：

13、f(*) eq r(*)； g(*)sin*(*(0，). 2假设函数h(*)ln* (*M，)是保三角形函数，求证：M的最小值为2解：1【答】f(*) eq r(*)是保三角形函数，g(*)sin*(*(0，)不是保三角形函数.【证明】 f(*) eq r(*)是保三角形函数. 对任意一个三角形的三边长a，b，c，则abc，bca，cab，f(a) eq r(a)，f(b) eq r(b)，f(c) eq r(c). 因为( eq r(a) eq r(b)2a2 eq r(ab)bc2 eq r(ab)( eq r(c)2，所以 eq r(a) eq r(b) eq r(c).同理可以证明：

14、 eq r(b) eq r(c) eq r(a)， eq r(c) eq r(a) eq r(b). 所以f(a)、f(b)、f(c)也是*个三角形的三边长，故 f(*) eq r(*)是保三角形函数. g(*)sin*(*(0，)不是保三角形函数. 取，显然这三个数能作为一个三角形的三条边的长. 而sin1，sineq f(1,2)，不能作为一个三角形的三边长. 所以g(*)sin*(*(0，)不是保三角形函数. (2)【解】M的最小值为2. (i)首先证明当M2时，函数h(*)ln* (*M，)是保三角形函数. 对任意一个三角形三边长a，b，cM，)，且abc，bca，cab，则h(a)l

15、na，h(b)lnb，h(c)lnc.因为a2，b2，abc，所以(a1)(b1)1，所以ababc，所以lnablnc，即lnalnblnc.同理可证明lnblnclna，lnclnalnb.所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长. 故函数h(*)ln* (*M，)，M2)，是保三角形函数. (ii)其次证明当0M2时，h(*)ln* (*M，)不是保三角形函数. 当00,前n项的和为Sn,设,且，求证：.变式：设数列an是由正数组成的等比数列，前n项的和为Sn，证明：. 4. 假设实数成等比数列，且，则的取值围是_. 不等式第一课时：不等关系等与不等是哲学中的辩证关系，不等式是刻画

16、现实世界中不等关系的重要模型.自学教材73-74页的三个例题，要求对问题中包含的数量关系进展认真、细致的分析，试用相应的不等式模型刻画上述三个例题的不等关系解读：1数学模型为一元一次不等式；2数学模型为一元二次不等式；3数学模型是二元一次不等式组线性规划问题. 练习：教材74页1-5.问题研究两则：探究1：糖水中有糖，假设再添加糖，则糖水变得更甜. 试根据这个事实写出所满足的不等关系. 这个不等式就是著名的糖水不等式.思考1：该不等式迄今为止给出了32种证明方法，你能想到几种呢？思考2：该不等式在日常生活中还有哪些应用？实例1：一般的人，下半身长与全身长的比值在之间，而芭蕾舞演员在表演时，脚尖

17、立起给人以美的享受. 原来，脚尖立起调整了身段的比例. 如果设人的脚尖立起提高了，则下半身与全身的长度比由变成了，这样比值就非常接近黄金分割值golden section0.618. 女士们追求美而穿高跟鞋，有些男士穿增高鞋，其目的之一就是在追求这个比值. 用来解释这种现象的数学关系是： 实例2：建筑设计规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积. 但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值应不小于，且这个比值越大，住宅的采光条件越好. 同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件变好了，用来解释这种现象的数学关系为思考3：假设，试比拟与的大小.探究2：甲、乙两人同时从地出发沿同一条路线走到地，

18、所用时间分别为，甲有一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走，且.1请你与同学各自计算用表示；2与同学一起比拟的大小，并判断甲、乙谁先到达地. 变式：甲、乙两人同去一家粮店买了两次粮食，两次粮食的价格不同，两人的购粮方式也不同，其中，甲每次买，乙每次买1000元.1求两人的购粮均价；2谁的购粮方式更合算？探究3：设，且，求证：.思路1：能否从初中的“一元二次方程“的角度给出证明？思路2：能否从“集合与简易逻辑“的角度给出证明？思路3：能否从“根本初等函数“的角度给出证明？思路4：能否从“数列“的角度给出证明？思路5：能否从“根本初等函数三角函数“的

19、角度给出证明？思路6：能否从“平面向量“的角度给出证明？后续的研究：思路7：能否从“不等式“的角度给出证明？思路8：能否从“立体几何“的角度给出证明？思路9：能否从“排列、组合与概率“的角度给出证明？思路10：能否从“导数“的角度给出证明？思路11：能否从“圆锥曲线“的角度给出证明？第二课时：含参的一元二次不等式的解法问题探究两则一、根底小题：回忆如何求解一元二次不等式？1. 假设关于的一元二次方程有实数解，则实数的取值围是_.变式：假设二次函数的值域为，则实数的值为_.2. 不等式对一切实数恒成立，则实数的取值围是_.拓展1：二次函数的值恒大于0，数的取值围；拓展2：一元二次不等式的解集为，

20、数的取值围；拓展3：假设不等式的解集为，数的取值围；拓展4：假设函数的解集为，数的取值围；拓展5：假设不等式对满足的所有都成立，数的取值围. 3. 解不等式：；4. 解不等式：二、例题选讲：探究1：含参的一元二次不等式的解法解关于的不等式：练习1： 解关于的不等式：练习2： 函数假设在区间上单调，则实数的取值围为_变式：函数f(*)*2，g(*)*1，设F(*)f(*)mg(*)1mm2，且|F(*)|在0,1上单调递增，数m的取值围.例2. 数m的取值围，使关于*的方程有两实根。1有两个实根，并且一根小于2，另一根大于2；2有两个实根，且都比1大；3有两个实根，且满足. 反应检测：1. 不等

21、式对任意实数恒成立，求自然数的值. 变式：日本高考题不等式对任意实数恒成立，求的值. 2. 不等式对一切实数恒成立，则实数的取值围是_.13我国西部*地区去年各季度*种农产品的价格如下表：季度第一季度第二季度第三季度第四季度每担售价单位：元203.5200.5195.5200.5今年*农贸公司方案按去年各季度市场价的“最正确近似值mm是其与上表中各售价差的平方和取最小值时的值收购该种农产品，并按每100元纳税10元又称征税率为10个百分点，方案可收购a万担政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定征税率降低*个百分点，预测收购量可增加2*个百分点.1根据题中条件填空，m=元/担2写出税收y万元

22、与*的函数关系式；3要使此项税收在税率调节后不少于原方案税收的83.2%，试确定*的取值围14. *地区上年度电价为0.80元/kW h，年用电量为a kW h本年度方案将电价降到0.55元/kWh至0.75元/kWh之间，而用户期望电价为0.4元/kWh经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)该地区电力的本钱为0.3元/kWh1 写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价*的函数关系式2 设k=0.2a，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ (注：收益=实际用电量(实际电价本钱价)15. 设是方程的两个实根，则的最小

23、值为_. 116. 有纯农药桶一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的，则桶的容积最大为_升. 设桶的容积为升，则由题意得：，解得第三课时：二元一次不等式组表示的平面区域数学来源于灵感，数学来源于猜测. 二元一次不等式的解集是什么呢？直线的一般式方程1一元一次不等式的解集是什么？如何用数轴表示？2一元一次不等式的解集可以在一维数轴上表示出来，则二元一次不等式的解集呢？3二元一次方程的解集是什么？则二元一次不等式的解集又是什么呢？*教学过程一：预习教材82-83页包括两个例题，时间5分钟，边学边思：思考1：如何用二元一次不等式表示平面区域？思考2：判断二元

24、一次不等式表示的平面区域的方法是什么？一般地，直线把平面分成两个区域：表示直线_方的区域；表示直线_方的区域方向法. 例1：对于不含边界的区域，要将边界化为_线；例2：表示出二元一次不等式时，如何确定不等号？练习1-6：练习3变式：假设点和在直线的异侧，数的取值围. 练习4思考题：对于二元一次不等式，如何确定它所表示的平面区域？*教学过程二：预习教材84-86页包括三个例题，时间5分钟二元一次不等式组所表示的平面区域是二元一次不等式表示的平面区域的交集公共局部.例1思考：如何寻找满足2的不等式组的整数解？思考：三边，的长都是整数，且，如果，则这样的三角形共_个.练习86：1-6练习62思考：对

25、角形区域怎么表示？变式：画出不等式组所表示的平面区域. 练习63思考：整点个数有多少？8.*地区共有100户农民从事蔬菜种植，据调查，每户年均收入为3万元为了调整产业构造，当地政府决定发动局部种植户从事蔬菜加工据估计，如果能发动*(*0)户农民从事蔬菜加工，则剩下从事蔬菜种植的农民每户年均收入有望提高2*%，从事蔬菜加工的农民每户年均收入为万元。1在发动*户农民从事蔬菜加工后，要使从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于发动前从事蔬菜种植的年总收入，试求*的取值围；2在1的条件下，要使这100户农民中从事蔬菜加工农民的年总收入始终不高于从事蔬菜种植农民的年总收入，试数的最大值。解1由题意得，即，解得

26、，又因为，所以；-6分2从事蔬菜加工的农民的年总收入为万元，从事蔬菜种植农民的年总收入为万元，根据题意得，恒成立，即恒成立又，所以恒成立，而5当且仅当时取得等号，所以的最大值为5-10分变式：*企业有员工共100名，平均每人每年创造利润10万元，为了进一步提高经济效益，该企业决定优化产业构造，调整局部员工从事第三产业. 经测算，假设名员工从事第三产业，则剩下的员工平均每人每年创造的利润可提高，而从事第三产业的员工平均每人每年创造的利润为万元. 1如果要保证调整后该企业的全体员工创造的年总利润，至少比原来的年总利润多150万元，求可从事第三产业的员工的最小人数与最多人数；如果要使调整后该企业的全体员工创造的年总利润最大，求从事第三产业的员工人数.9.BACD地